D14无穷小无穷大67239

会计学1D14无穷小无穷大67239说明:除0以外任何很小的常数都不是无穷小

!时,函数(或)则称函数为定义1.

若(或)则时的无穷小

.机动目录上页下页返回结束第1页/共40页其中为时的无穷小量.定理1.

(无穷小与函数极限的关系)机动目录上页下页返回结束第2页/共40页二、无穷大定义2

.

若任给

M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在机动目录上页下页返回结束第3页/共40页注意:无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.机动目录上页下页返回结束第4页/共40页三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则(自证)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2.

在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束第5页/共40页

第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则第6页/共40页一、无穷小运算法则定理1.

有限个无穷小的和还是无穷小.机动目录上页下页返回结束说明:

无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.第7页/共40页定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1

.

常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.

有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束第8页/共40页例1.求解:

利用定理2可知说明:

y=0是的渐近线.机动目录上页下页返回结束第9页/共40页二、极限的四则运算法则则有证:因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知定理结论成立.定理3.

若机动目录上页下页返回结束第10页/共40页推论:

若且则(P45定理5)利用保号性定理证明.说明:

定理3可推广到有限个函数相加、减的情形.提示:

令机动目录上页下页返回结束第11页/共40页定理4

.若则有提示:

利用极限与无穷小关系定理及本节定理2证明.说明:

定理4可推广到有限个函数相乘的情形.推论1.(C

为常数)推论2.(n

为正整数)例2.

设

n次多项式试证证:机动目录上页下页返回结束第12页/共40页定理5.

若且B≠0,则有机动目录上页下页返回结束第13页/共40页定理6

.

若则有提示:

因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3,4,5直接得出结论.机动目录上页下页返回结束第14页/共40页

x=3时分母为0!例3.

设有分式函数其中都是多项式,试证:证:说明:

若不能直接用商的运算法则.例4.

若机动目录上页下页返回结束第15页/共40页例5.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束第16页/共40页例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束第17页/共40页一般有如下结果：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)机动目录上页下页返回结束口算P49D1（6）——（9）第18页/共40页三、复合函数的极限运算法则机动目录上页下页返回结束定理6.

设且x

满足时,又则有

说明:若定理中则类似可得第19页/共40页例7.求解:

令已知∴原式=机动目录上页下页返回结束第20页/共40页例8.求解:

方法1则令∴原式方法2机动目录上页下页返回结束第21页/共40页二、两个重要极限一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则第六节机动目录上页下页返回结束极限存在准则及两个重要极限

第一章第22页/共40页一、函数极限与数列极限的关系及夹逼准则1.函数极限与数列极限的关系定理1.有定义,为确定起见,仅讨论的情形.有机动目录上页下页返回结束第23页/共40页定理1.有定义且有说明:此定理常用于判断函数极限不存在.法1

找一个数列不存在.法2

找两个趋于的不同数列及使机动目录上页下页返回结束第24页/共40页例1.

证明不存在.证:

取两个趋于0的数列及有由定理1知不存在.机动目录上页下页返回结束第25页/共40页2.函数极限存在的夹逼准则定理2.且(利用定理1及数列的夹逼准则可证)机动目录上页下页返回结束第26页/共40页圆扇形AOB的面积二、两个重要极限证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注注目录上页下页返回结束第27页/共40页当时注第28页/共40页例2.

求解:例3.

求解:

令则因此原式机动目录上页下页返回结束第29页/共40页例4.

求解:

原式=机动目录上页下页返回结束第30页/共40页2.机动目录上页下页返回结束第31页/共40页例6.

求解:

令则说明

：若利用机动目录上页下页返回结束则原式第32页/共40页的不同数列内容小结1.函数极限与数列极限关系的应用(1)利用数列极限判别函数极限不存在(2)数列极限存在的夹逼准则法1

找一个数列且使法2

找两个趋于及使不存在.函数极限存在的夹逼准则机动目录上页下页返回结束第33页/共40页2.两个重要极限或注:

代表相同的表达式机动目录上页下页返回结束第34页/共40页思考与练习填空题

(1～4)第七节目录上页下页返回结束第35页/共40页内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动目录上页下页返回结束第36页/共40页思考及练习1.是否存在?为什么?答:

不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件