D115对坐标曲面积分1

会计学1D115对坐标曲面积分1其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定第1页/共38页二、对坐标的曲面积分的概念与性质

1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.分析:若是面积为S

的平面,则流量法向量:

流速为常向量:

第2页/共38页对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则第3页/共38页设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义.第4页/共38页引例中,流过有向曲面的流体的流量为称为Q

在有向曲面上对

z,x

的曲面积分;称为R

在有向曲面上对

x,

y

的曲面积分.称为P

在有向曲面上对

y,z

的曲面积分;若记正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式第5页/共38页3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用ˉ表示的反向曲面,则第6页/共38页三、对坐标的曲面积分的计算法定理:

设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则证:∵取上侧,第7页/共38页

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则第8页/共38页例1.

计算其中是以原点为中心,边长为

a

的正立方体的整个表面的外侧.解:

利用对称性.原式的顶部取上侧的底部取下侧第9页/共38页解:

把分为上下两部分根据对称性

思考:

下述解法是否正确:例2.计算曲面积分其中为球面外侧在第一和第五卦限部分.第10页/共38页第11页/共38页例3.设S是球面的外侧,计算解:

利用轮换对称性,有第12页/共38页四、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画第13页/共38页令向量形式(A在

n上的投影)第14页/共38页例4.

位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解:。求E

通过球面:r=R外侧的电通量

.第15页/共38页例5.设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:第16页/共38页例6.

计算曲面积分其中解:

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.第17页/共38页原式=第18页/共38页五、高斯(Gauss)公式定理1.设空间闭区域由分片光滑的闭曲上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面所围成,的方向取外侧,则有(Gauss公式)第19页/共38页证明:设为XY型区域,则第20页/共38页所以若

不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：第21页/共38页例7.用Gauss

公式计算其中为柱面闭域的整个边界曲面的外侧.解:

这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3

所围空间思考:

若改为内侧,结果有何变化?若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?第22页/共38页例8.利用Gauss公式计算积分其中为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为,则第23页/共38页利用重心公式,注意第24页/共38页例9.设为曲面取上侧,求解:

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标第25页/共38页在闭区域上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例10.

设函数其中是整个边界面的外侧.分析:高斯公式第26页/共38页证:令由高斯公式得移项即得所证公式.第27页/共38页内容小结定义:1.两类曲面积分及其联系

第28页/共38页性质:联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与的方向无关,一个与第29页/共38页2.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:第30页/共38页3.常用计算公式及方法曲面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化第31页/共38页当时，（上侧取“+”,下侧取“”)类似可考虑在yoz面及zox面上的二重积分转化公式.第32页/共38页取外侧.解:注意±号其中思考与练习1.第33页/共38页利用轮换对称性第34页/共38页所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)为2.第35页/共38页

练习题

设是一光滑闭曲面,所围立体的体

是外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:

设的单位外法向量为则的夹角,积为V,第36页/共38页高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数