ch两类换元积分法和分部积分法实用

会计学1ch两类换元积分法和分部积分法实用在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第1页/共57页第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为定理1关键

找出合适的函数f和

第2页/共57页例1

求解（一）解（二）解（三）方法:凑系数；三角恒等式.第3页/共57页例2

求解一般地，方法:凑系数.第4页/共57页例3

求解练习求(1)(2)第5页/共57页例4

求解方法:直接凑.第6页/共57页例5

求解方法:直接凑.第7页/共57页练习

求第8页/共57页例6

求解方法:添平衡项.第9页/共57页例7

求解方法:配方后用积分公式.第10页/共57页例8

求原式解方法:有理化.第11页/共57页例9

求解(一)方法:三角函数恒等式变形.解（二）第12页/共57页例10

求解第13页/共57页例11

求解结论:当被积函数是三角函数正弦或余弦的多项式时，奇次直接凑微分;偶次降次.第14页/共57页例12

求解第15页/共57页例13

求解第16页/共57页例14

求解（一）（应用三角函数恒等变形）第17页/共57页解(二)类似地可推出第18页/共57页解例15

设求.令第19页/共57页练习解第20页/共57页

作业

P246:1(书上，不交).P259:1,2(3,4,5,6,19,20).第21页/共57页问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）2、第二类换元法第22页/共57页证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第23页/共57页第二类积分换元公式第24页/共57页例16

求解令第25页/共57页例17

求解令第26页/共57页例18

求解令第27页/共57页说明（1）以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令第28页/共57页说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例中,令第29页/共57页说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换例19

求令解练习：试用拆项的方法求此积分第30页/共57页

积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（倒代换或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(4)例20

求（三角代换很繁琐）令解第31页/共57页基本积分表(2)3、基本积分表第32页/共57页第33页/共57页4、两类换元法的比较两类积分换元法（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)两类积分换元法比较相同:(1)引入新积分变量;(2)复合函数求导不同

变量类型

代换方式第一类

中间变量

直接代入第二类

自变量

求反函数后再代

第34页/共57页思考题求积分第35页/共57页思考题解答第36页/共57页练习

求解令第37页/共57页问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式三、分部积分公式第38页/共57页问题：u,v如何选择？分部积分公式例

求积分若令显然，选择不当，积分更难进行.第39页/共57页例1

求积分解令⑤②④①③第40页/共57页例2

求积分解（再次使用分部积分法）总结

若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)第41页/共57页例3

求积分解令#第42页/共57页例4

求积分解总结

若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u

.#第43页/共57页例5

求积分解注意循环形式第44页/共57页例6

求积分解第45页/共57页课堂练习：求积分#1.#2.第46页/共57页例7

求积分解第47页/共57页第48页/共57页

第49页/共57页解法例9

求下面求法同例2第50页/共57页解两边同时对求导,得例10第51页/共57页解第52页/共57页扩展

用与课上不同的方法求积分第53页/共57页3