chap专题定积分的近似计算实用

会计学1chap专题定积分的近似计算实用2矩形法定积分的定义：定积分的近似计算第1页/共31页3矩形法n

充分大，△x

充分小定积分的近似：

通常我们取左点法右点法中点法点可以任意选取，常见的取法有：

左端点，右端点和中点。第2页/共31页4步长节点

右点法：

中点法：

左点法：左点法、右点法和中点法第3页/共31页5解：矩形法举例==>h=1/100=0.01,xi=i*h,a=0,b=1,n=100例：用不同的矩形法计算下面的定积分(取n=100)，

并比较这三种方法的相对误差。左点法：右点法：中点法：(i=0,1,2,...,100)第4页/共31页6理论值：左点法相对误差：误差分析矩形法举例右点法相对误差：中点法相对误差：不同的方法有不同的计算精度有没有更好的近似计算定积分的方法

?第5页/共31页7定积分几何意义第6页/共31页8

曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似整个曲边梯形的面积：梯形法第7页/共31页9

如果我们n

等分区间[a,b]，即令：则==>梯形公式梯形法梯形公式与中点公式有什么区别

?第8页/共31页10解：==>例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)，

并计算相对误差梯形法举例a=0,b=1,n=100,f(x)=1/(1+x2)==>h=1/100=0.01,xi=i*h,yi=f(xi)

相对误差：第9页/共31页11

2n

等分区间[a,b]，得该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？

计算每个节点上的函数值：抛物线法

在区间[x0,x2]上，用过以下三点的抛物线来近似原函数f(x)。第10页/共31页12设过以上三点的抛物线方程为：则在区间[x0,x2]上，有y=

x2+x

+

=p1(x)

抛物线法第11页/共31页13同理可得：相加即得：抛物线法第12页/共31页14整理后可得：或辛普森(Simpson)公式抛物线法公式抛物线法第13页/共31页15==>例：用抛物线法计算下面定积分(取n=100)，

并计算相对误差解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)相对误差：抛物线法第14页/共31页16梯形法：trapztrapz(x,y)

x

为分割点（节点）组成的向量，

y为被积函数在节点上的函数值组成的向量。

Matlab近似计算定积分的相关函数Matlab计算定积分函数介绍第15页/共31页17前面的做法例：用梯形法计算下面定积分(取n=100)解：a=0,b=1,n=100,yi

=f(xi)=1/(1+xi2)>>

x=0:1/100:1;>>

y=1./(1+x.^2);>>

trapz(x,y)trapz函数trapz(x,1./(1+x.^2))trapz举例第16页/共31页18quad(f,a,b,tol)f=f(x)为被积函数，[a,b]为积分区间，tol

为计算精度将自变量看成是向量抛物线法：quad不用自己分割积分区间可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是10-6精度越高，函数运行的时间越长此处的函数

f是数值形式，应该使用数组运算，即

点运算：.*，./，.\，.^

注：抛物线法第17页/共31页19解：>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-10)>>

quad('1./(1+x.^2)',0,1,10e-16)函数表达式一定要用单引号括起来！涉及的运算一定要用数组运算！例：用quad

计算定积分：quad举例第18页/共31页20抛物线法计算二重积分：dblquaddblquad(f,a,b,c,d,tol)tol为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6

f(x,y)

可以由inline

定义，或通过一个函数句柄传递

[a,b]

是第一积分变量的积分区间，[c,d]是第二积分变量

的积分区间按字母顺序，大写字母排在小写字母的前面二重积分的计算第19页/共31页21>>

f=inline('4*x*y+3*y^2');>>

I=dblquad(f,-1,1,0,2)

f(x,y)

中关于第一自变量的运算是数组运算，

即把x

看成是向量，y

看成是标量。也可以全部采用数组运算例2：计算二重积分>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x^2'),-1,1,0,2)>>

dblquad(inline('4*x.*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)例1：计算二重积分dblquad举例第20页/共31页22例：计算二重积分>>

dblquad(@(x,y)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)指定x、y

分别是第一和第二积分变量>>

dblquad(inline('4*x*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)被积函数f(x,y)

的另一种定义方法：匿名函数>>

dblquad(@(y,x)4*x*y+3*x.^2,-1,1,0,2)下面的命令运行结果和上面的一样吗？dblquad举例第21页/共31页23抛物线法计算二重积分：triplequadtriplequad(f,a,b,c,d,e,f,tol)tol为计算精度，若不指定，则缺省精度为10-6

f(x,y)

可以由inline

定义，或通过一个函数句柄传递

[a,b]

是第一积分变量的积分区间，[c,d]是第二积分变量

的积分区间，[e,f]

是第三积分变量的积分区间，三重积分的计算第22页/共31页24>>

f=inline('y*sin(x)+z*cos(x)');>>

I=dblquad(f,0,pi,0,1,-1,1)例1：计算三重积分triplequad举例>>

Q=triplequad(...@(x,y,z)(y*sin(x)+z*cos(x)),...0,pi,0,1,-1,1)第23页/共31页25triplequad举例>>

f=inline('(x*y*z)^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)例1：计算三重积分>>

f=inline('(x.*y.*z).^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)>>

f=inline('(x.*y*z).^2');>>

I=dblquad(f,0,1,0,1,-1,1)第24页/共31页26int(f,a,b)

计算

f

关于默认自变量

的定积分，积分区间为[a,b]。int(f)

计算

f

关于默认自变量

的不定积分。int(f,v,a,b)

计算函数f

关于自变量v

的定积分，积分区间为[a,b]int(f,v)

计算函数

f

关于自变量

v

的不定积分findsym(f,1)符号积分：

intint符号积分第25页/共31页27>>

symsxy;>>

f=y*sin(x);>>

int(f,x)>>

int(f,y)>>

int(f)>>

int('a+b')ans=-y*cos(x)ans=1/2*y^2*sin(x)ans=-y*cos(x)ans=a*b+1/2*b^2例：指出下面各条语句的输出结果int举例第26页/共31页28例：用int

函数计算定积分：解：>>

symsx;>>

f=1/(1+x^2);>>

int(f,x,0,1)>>

f=sym('1/(1+x^2)');>>

int(f,x,0,1)>>

int('1/(1+x^2)',x,0,1)或>>

int('1/(1+x^2)',0,1)或或int举例第27页/共31页29double(a)将a

转化为双精度型，若a

是字符，则取对应的ASCII码>>

a=3;>>

double(a)>>

double('a')例：ans=3ans=97其它相关函数第28页/共31页30>>

x=1:0.001:2;>>

y=exp(x.^(-2));>>

trapz(x,y)梯形法：抛物线法：>>

quad('exp(x.^(-2))',1,2,10e-10)符号积分法：>>

s