Chapt薄板弯曲实用

会计学1Chapt薄板弯曲实用第九章薄板弯曲问题

薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了3个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面。第1页/共54页1三个基本假定取薄板中面为xy面，z轴向下Z方向线应变极其微小，可以不计这说明在中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都有相同的z向位移，也就等于挠度。xzyo第2页/共54页与z有关的应力分量远小于其余应力分量，因而是次要的，它们引起的变形可以不计（但它们本身却是维持平衡所必须的，不能不计）以上两个假设说明：中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，且成为弹性曲面(薄板中面弯曲后成为一个曲面）的法线，即直法线假设第3页/共54页因为不计z向正应力引起的形变，固薄板弯曲时的本构方程与薄板平面应力问题一样第4页/共54页最后一个假设：薄板中面内各点都没有平行于中面的位移第5页/共54页第九章薄板弯曲问题

因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。由于故最后一个假设：薄板中面内各点都没有平行于中面的位移第6页/共54页第九章薄板弯曲问题

(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。

说明：第7页/共54页第九章薄板弯曲问题

⑵薄板弯曲问题的物理方程与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。第8页/共54页第九章薄板弯曲问题

1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这3个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题第9页/共54页第九章薄板弯曲问题

§9-2薄板弯曲的基本方程

本节从空间问题的基本方程出发，应用3个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。

薄板问题解法第10页/共54页1、形变分量用位移w表示对假设2结果积分，得由假设3得第11页/共54页由几何方程得第12页/共54页2、把与x,y有关的三个应力分量用w表示把本构方程代入得到此，应力与应变分量有何规律？第13页/共54页第14页/共54页3、利用平衡微分方程求与z有关的应力分量第15页/共54页第九章薄板弯曲问题

3.次要应力用表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵向体力），有

代入式(c)，并对z积分，得：其中第16页/共54页第九章薄板弯曲问题

因为上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件

由此求出及，代入得到第17页/共54页第九章薄板弯曲问题

4.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入式(d)，并对z积分，得第18页/共54页第九章薄板弯曲问题

由下板面的边界条件

求出，故更次要应力为第19页/共54页5.导出w的微分方程在薄板的上表面，有边界条件为薄板弯曲刚度第20页/共54页6.薄板横截面上的应力与内力第21页/共54页第九章薄板弯曲问题

x面面积上，应力的主矢量和主矩为：x面内力─合成主矢量称为横向剪力,─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,第22页/共54页第23页/共54页代入并积分第24页/共54页第九章薄板弯曲问题

xyz内力符号第25页/共54页应力与内力关系第26页/共54页薄板最大应力发生在何处？其值与内力之关系？弯应力和扭应力数值上最大，是主要的应力；横向切应力在数值上较小，是次要应力；挤压应力是更次要的应力。第27页/共54页7边界条件固定边界简支边界自由边界第28页/共54页第九章薄板弯曲问题

§9－4边界条件薄板的边界条件：

在上下板面（大边界），已精确地满足了3个应力边界条件。

边界条件第29页/共54页第九章薄板弯曲问题

板边为小边界，可以应用圣维南原理来简化边界条件,将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。

板边（小边界）的边界条件尚未考虑,是求解挠曲线微分方程的边界条件。

，可看成是中面的挠曲微分方程,或中面的平衡方程；边界条件第30页/共54页第九章薄板弯曲问题

薄板板边的边界条件分为三类：

1.固定边

--若为广义固定边，则其中为给定的约束位移。若完全固定，则固定边(a)第31页/共54页第九章薄板弯曲问题

2.简支边

--

若为广义简支边，则其中，分别为给定的约束位移和弯矩。若，则一般的简支边条件为简支边第32页/共54页第九章薄板弯曲问题

故第二个条件可以简化。简支边的条件为因简支边第33页/共54页第九章薄板弯曲问题

3.自由边

--若为一般的自由边，则上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。经过约20年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。自由边第34页/共54页第九章薄板弯曲问题

第35页/共54页第九章薄板弯曲问题

在EF=dx微分段上，总扭矩，化为E、F上等效的一对力，分别向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，总扭矩，化为F、G上等效的一对力，分别向下（F）和向上（G）。

图中，取出板边AB（y面），

扭矩的等效剪力第36页/共54页第九章薄板弯曲问题

在F点，合成集中力,向下。再化为宽度上的分布剪力。故AB边界总的分布剪力为

第37页/共54页第九章薄板弯曲问题

此外，在A，B两端，还有两个未被抵的集中剪力

用挠度表示为

因此，自由边的边界条件成为

同理可导出的自由边条件。第38页/共54页第九章薄板弯曲问题

4.自由边交点的角点条件─在角点B，集中力为

若B点有支承，阻止挠度的发生，则有

若B点无支承，应无集中力，有

角点条件第39页/共54页第九章薄板弯曲问题

角点集中力的正负号及方向，根据扭矩确定，见习题9-2。

固定边是位移边界条件，自由边是内力边界条件，简支边是混合边界条件。第40页/共54页第九章薄板弯曲问题

小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲线微分方程和板边的边界条件。

§9－5矩形薄板的经典解法求w条件第41页/共54页第九章薄板弯曲问题

对于四边简支的矩形板，边界条件为(b)四边简支第42页/共54页第九章薄板弯曲问题

纳维将w表示为重三角级数，

其中m，n为正整数。代入式(b)，全部边界条件满足。第43页/共54页第九章薄板弯曲问题

将q(x,y)也展为重三角级数，再代入式(a)，得将q代入上式，比较两边系数，得

第44页/共54页第九章薄板弯曲问题

纳维解答是用多种正弦波形的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q

，均可方便地求出解答。它的主要是，只能适用于四边简支的薄板。第45页/共54页第九章薄板弯曲问题

设矩形板的两对边为简支边，其余两边为任意边界。§9－6矩形薄板的单三角级数解两对边简支第46页/共54页第九章薄板弯曲问题

其中是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了的简支边条件,

莱维采用单三角级数表示挠度，

将式(a)代入挠曲线微分方程，得两对边简支第47页/共54页第48页/共54页9能量法应用:求临界荷载当薄板在一定的纵向荷载作用下处于平面内平衡时，为了判断这个状态是否稳定，只须判别：如果薄板受有横向干扰力而进入临近的某一弯曲状态，当干扰力移去后，它是否会恢复原来的状态。为此，又只须判别：当薄板从该平面状态进入弯曲状态时，势能是增加还是减少。如增加，就表示该平面状态下的势能为极