BB向量的数量积与向量积

会计学1BB向量的数量积与向量积2一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设向量的夹角为,称

记作数量积(点积、内积、标量积).引例.

设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F

所做的功为注：数量积是数，不是向量第1页/共30页3记作故2.性质为两个非零向量,则有两个向量的数量积＝其中一个向量的模和另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积。第2页/共30页43.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;第3页/共30页54.数量积的坐标表示设则利用数量积的运算律与性质得：两个向量的数量积＝它们对应坐标的乘积之和。第4页/共30页6当为非零向量时,由于,得两向量的夹角公式则当第5页/共30页7例1.

已知三点AMB.解:则求故第6页/共30页8例2：已知求的模解：根据数量积的限制和定义，得第7页/共30页9例3.

证明三角形余弦定理证:则如图.设第8页/共30页10二、两向量的向量积引例.

设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为

是一个向量

M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F

作用在杠杆上的力矩在研究物体转动问题时，还要分析这些力所产生的力矩。其大小不但要考虑物体所受的力，其中称为力臂——0点到力的作用线的距离。第9页/共30页11力矩的方向是这样确定的：其方向符合右手规则也就是垂直于和所确定的平面。即：构成右手系。即当右手的四个手指指向的方向，拳转向时，大拇指所指的方向为力矩的方向。这由两个已知向量按上述方法确定另一个向量，数学上称这个向量是已知两个向量的向量积。第10页/共30页121.定义定义向量方向:(叉积、外积)记作且符合右手规则模:向量积,称引例中的力矩思考:

对应的三角形面积S＝注：在几何上表示以为邻边的的平行四边形的面积。第11页/共30页132.性质为非零向量,则∥∥3.运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)证明:注：第12页/共30页144.向量积的坐标表示式设则第13页/共30页15向量积还可用三阶行列式表示第14页/共30页16向量积还可用三阶行列式表示第15页/共30页17向量积的行列式计算法上式均称为向量积的坐标表达式。第16页/共30页18上式可以推出：当因上式右端有整理得：第17页/共30页19解：例2：已知第18页/共30页20解例3第19页/共30页21例4：设求同时垂直于的1.单位向量2.模为解：先求出同时垂直于的向量第20页/共30页222.

设由题意可知得令即或例4：设求同时垂直于的2.模为第21页/共30页23例5.已知三点求三角形

ABC

的面积解:

如图所示,第22页/共30页24在顶点为三角形中,求AC

边上的高BD.解：为邻边的平行四边形的面积为例6.而故有第23页/共30页25例7已知解求m.为邻边的平行四边形面积为第24页/共30页26内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:叉积:第25页/共30页27思考与练习1.设计算并求夹角

的正弦与余弦.答案:2.用向量方法证明正弦定理:第26页/共30页28证:由三角形面积公式所以因第27页/共30页29P3911，3,4