概率论与数理统计第一章习题解答

精选精选《概率论与数量统计》第一章习题解答1、写出下列随机试验的样本空间：（1）记录一个班 一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）生产产品直到有 10件正品为止，记录生产产品的总件数。（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的产品记上“正品” ，不合格的记上“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果。（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标。解：（1）设该班有n人，则该班总成绩的可能值是0,1,2,……，100n。故随机试验的样本空间S=｛i/n|i=0,1,2,……,100n｝。（2）随机试验白^样本空间S=｛10,11,12•,••…｝。（3）以 0表示检查到一个次品，1表示检查到一个正品，则随机试验的样本空间S=｛00,0100,0101,0110,0111,100,1010,1011,1100,1101,1110,1111｝。（4）随机试验白样本空间S=｛（x,y）|x2+y2<1｝。2、设 A，B，C为三个事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件：A发生，B与C都不发生。2）A与B都发生，而 C不发生。A，B，C中至少有一个发生。A,B,C都发生。A,B,C都不发生。A,B,C中不多于一个发生。A,B,C中不多于两个发生。A,B,C中至少有两个发生。解：(1)ABC ⑵ABC⑶AUBUC (4)ABC(5)ABC(6)abcUAbcUaBCUabC(7)S-ABC(8)ABCUABCUAbCUaBC3、(1)设A,B,C为三个事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一个发生的概率。(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30，求AUB,在后，AUBUC,ABC,ABC,ABUC的概率。(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容，求P(Ab),(ii)若P(AB)=1/8,求P(AB)。解：(1)因为P(AB)=0,所以P(ABC)=0。故P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3/4-1/8=5/8。(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3-1/10=11/15,P(AB)=1-P(AUB)=4/15,P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=1/2+1/3+1/5-1/10-1/15-1/20+1/30=51/60，P(ABC)=1-P(AUBUC)=3/20,P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=7/60,P(ABUC)=P(AB)+P(C)-P(aBC)=4/15+1/5-7/60=7/20。(3)⑴因为A,B互不相容，所以AB=O),P(AB)=0。故P(Ab)=P(A)-P(AB)=1/2。(ii)P(AB)=P(A)-P(AB)=1/2-1/8=3/8。4、设A,B为两个事件。(1)已知AB=AB,验证A=B。(2)验证事件A和事件B恰有一个发生的概率为P(A)+P(B)-2P(AB)。证明：(1)A=A(BUB)=ABUAB=ABUaB=(AUA)B=B。(2)因为ABAB=①，所以P(ABUaB)=P(AB)+P(AB)-P(ABaB)=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)。5、10片药片中有5片是安慰剂。(1)从中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率。(2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率。解：p=1-c；/c；0-c5c：/C150。(2)p=A53/Ai。6、在房间里有 10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码。（1）求最小号码为 5的概率。（2）求最大号码为 5的概率。解：（1）从10人中任选3人的选法有CM种。要求最小号码为5,即有一个人的号码是5,其他两人的号码都在6到10之间。故共有C；种不同的选法。故最小号码为5的概率p=C52/C130。（2）同理最大号码为 5的概率p=C42/C130。7、某油漆公司发出 17桶油漆，其中白漆 10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客。问一个订货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所订颜色如数得到订货的概率是多少？解：p=C140C43C32/C197。8、在 1500件产品中有 400件次品、 1100件正品。任取 200件。（1）求恰有90件次品的概率。（2）求至少有 2件次品的概率。解：90 110 200（1）恰有90件次品的概率 p=C400C1100/C1500。200 200 1 199 200（2）至少有 2件次品的概率 p=1-C1100/C1500-C400C1100/C1500。9、从5双不同的鞋子中任取4只。问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：设A为事件”这4只鞋子中没有配成一双”，则事件“这4只鞋子中至少有两只配成一双”是其。从10只鞋子中任取4只有4种取法，事件A的取法可以有10（第一只的取法）X8（第二只的取法，和第一只一双的那一只也不能取了）X6（第三只的取法）X4（第一只的取法）。故P（A）=16A4/A：。P（A）=1-P（A）=1-16A//镰。1R在11张卡片上分别写上probability这11个字母，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability的概率。解：从11个字母中选取7个字母有a7i种选法。由于b和i各有两个，故排列ability共有4种不同的选法。因此排列结果为ability的概率p=4/A71。11、将3只球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为,2,3的概率。解：杯子中球的最大个数为1的概率p=A3/43。杯子中球的最大个数为2的概率p=1--A4/43-A：/43。杯子中球的最大个数为3的概率p=A：/43。12、50只钟钉随机地取来用在10个部件上，其中有3只钟钉强度太弱。每个部件用3只钟钉。若将3只强度太弱的钟钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱。问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

解：解：一个部件强度太弱的事件相当于从 50只铆钉中随机地选出的3只铆钉恰好都是强度太弱的且装在了同一个部件上。故 p=C110/C530p=cp=c110c4277/c33030C5013、一个俱乐部有 5名一年级学生，2名二年级学生，3名三年级学生，名四年级学生。（1）在其中任选 4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概率。（2）在其中任选 5名学生，求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率。解：（1）在其中任选 4名学生，求一、二、三、四年级的学生各一名的概^=c5c2c1c2C1/c4（2）设事件 A为“一年级有 2名学生，其他年级各有一名”，事件BTOC\o"1-5"\h\z为“二年级有 2名学生，其他年级各有一名”，事件C为“三年级有 2名学生，其他年级各有一名”，事件D为“四年级有 2名学生，其他年级各有一名”，。则A，B，C，D两两不相容，且P（A）=C52C21C31C21/C152，1211 5 11 2 1 5 11 22 5P（B）=C5C2C3C2/C12 ，P（C） =C5C2C3C2/ C12， P（D）=C5C2 C3C2/ C12 ，所以在其中任选5名学生，一、二、三、四年级的学生均包含在内的概^=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=240/d。14(1)已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求条件概率P(B|AUB)o(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2，求P(AUB)O解：(1)因为P(B|AUB)=P(B(AUB))/P(AUB),P(AUB)=P(A)+P(B)-P(Ab)=1-P(a)+1-P(B)-0.5=0.85,P(B(AUB))=P(AB)=P(A)-P(Ab)=0.7-0.5=0.2,所以P(B|AUB)=0.25。(2)因为P(B|A)=P(AB)/P(A),所以P(AB)=1/12。又因为P(A|B)=P(AB)/P(B),所以P(B)=1/6。故P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/3。15掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。1&据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：P｛孩子得病｝=0.6,P｛母亲得病|孩子得病｝=0.5,P｛父亲得病|母亲及孩子得病｝=0.4,求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解：设事件A为“孩子得病”，事件B为“母亲得病”，事件C为“父亲得病”，则要求的概率为P(ABC)。由已知，P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|AB)=0.4,所以P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)口-P(C|AB)]=0.6X0.5X0.6=0.1817、已知在10件产品中有2件次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样。求下列事件的概率。(1)两件都是正品。(2)两件都是次品。(3)一件是正品，一件是次品。(4)第二次取出的是次品。解：设事件A为“第一件是正品”，事件B为“第二件是正品”，则(1)两件都是正品的概率P(AB)=C82/C120(或=P(A)P(B|A)=4/5X7/9)。(2)两件都是次品的概率P(AB)=C；/C1：(或=P(A)P(B|A)=1/5x1/9)。(3)一件是正品，一件是次品的概率P(AbUaB)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X8/9。(4)第二次取出的是次品的概率P(B)=P(Ab)+P(ab)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=4/5X2/9+1/5X1/9。1&某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率。 若已知最后一个数字是奇数，则此概率是多少？解：设A表示事件“第一次拨通所需电话”，B表示事件“第二次拨通所需电话”，C表示事件“第三次拨通所需电话”，D表示事件“拨号不超过三次接通所需电话"。则D=AUaBUABC,所以P(D)=P(A)+P(AB)+P(ABC)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(AB)P(C|AB)=P(A)+P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)P(C|AB)=1/10+9/10X1/9+9/10x8/9x1/8。当已知最后一个数字是奇数时，则P(D)=1/5+4/5X1/4+4/5X3/4X1/3。1H(1)设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任意取一只球放入袋中，再从乙袋中任意取一只球。问取到白球的概率是多少？(2)第一只盒子装有4只白球、5只红球；第二只盒子装有5只白球、4只红球。先从第一个盒子中任取2只球放入第二个盒子中，然后从第二个盒子中任取一只球。求取到白球的概率。解:(1)设A表示事件“从甲袋中取到的是红球”，B表示事件“从乙袋中取到的是白球”。则P(B)=P(AB)+P(AB)=+P(abC)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)=m/(m+n)xN/(M+N+1)+ n/(m+n)乂(N+1)/(M+N+1)。(2)设A表示事件”从第一个盒子中取到0个红球”，B表示事件“从第一个盒子中取到1个红球”，C表示事件”从第一个盒子中取到2个红球”，D表示事件“从第二个盒子中取到白球”。则P(D)=P(AD)+P(BD)+P(CD)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)—p2 2X「1 1 1 1 2X「1 1 2 2X「1 1(D|C)=C4/C9KC7/C11+C4C5/C9KC6/C11+C5/C9KC5/C11°2R某种产品白商标是“MAXAM”，其中有2个字母脱落，有人捡起随意放回，求放回后仍“MAXAM”的概率。解:设Ai,A2,A3,A4,A5分别为事件“脱落M、M”，“脱落A、A”，“脱落M、A”，“脱落M、X”，“脱落A、X”，。D为事件“放回后仍为MAXAM因为P(Ai)=P(A2)=C；/C；,P(A3)=C；C2/C；,P(A4)=C；c2/C；,P(A5)=Ci1C2/C；,P(D|A1)=P(D|A2)=1,P5(D|A3)=P(D|A4)=P(D|A5)=1/2,所以P(D)=P(D|AJP(Ak)°k121、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A表示事件“选出的是男性”，H表示事件“选出的人是色盲患者”。则已知条件P(A)=1/2,P(入)=1/2,P(H|A)=0.05,P(H|A)=0.0025。由贝叶期公式可得P(A|H)=P(H|A)P(A)/[P(H|A)P(A)+P(H|A)P(A)]。22、一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为 p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p;若第一次不及格则第二次及格的概率为p/2。11)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解：设事件A表示“第1次考试及格”，事件B表示“第2次考试及格”，事件C表示“他能取得某种资格”。由已知条件可知，P(A)=p,P(B|A)=p,P(B|A)=p/2。(1)因为C=AUAB,所以P(C)=P(A)+P(AB)=P(A)+P(a)P(B|A)=p+(1-p)p/2。(2)P(A|B) =P(AB)/P(B)=P(B|A)P(A)/[ P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)尸p2/[p2+(1-p)p/2]=2p/(p+1)。23将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误收作B的概率是0.02,而B被误U^作A的概率是0.01。信息A与信息B传送的频繁程度为2:1。若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？解：设A表示事件“将信息A传送出去产”，B表示事件“接收站收到的信息是A”。则由已知，P(A)=2/3,P(B|A)=0.02,P(B|A)=0.01。则 P ( A|B )=P(AB)/P(B尸P(A)P(B|A)/[P(A)P(B|A)+P(a)P(B|a)]=2/3X0.98/[2/3X0.98+1/3X0.01]。24有两箱同种类的零件，第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱装30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。2）在第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解以H表示事件“从第一箱中取零件”，则月表示事件”从第二箱中取零件二由已知条件尸(H)=p(H)=1/2.又以从表示事件”第，,次从箱中(不放回抽样)取得的是一等品，,3=1,2.(1)由条件F(AjH)=1/5,PtAjH)=3/5,故P(At)=P(AjH)P(H)+P(Aj月)P(后)=1/10+3/10=2/5,②箫要求的是P(A3②箫要求的是P(A31A).因P(A21Al)P(AJ，而P(AiAz>=P(AxA2\h)P(H)十P(AyA2\h)P(H)由条件概率的含义，P(A]An|H)表示在第一箱中取两次，每次取一只产品，作不放回抽样，且两次都取得一等品的概率,因第一箱共有50只产品，其中有1。只一等品.故有p(AiA/H)=4x言同理,P(AA|无)=修乂羔故有P(AtAa)P(AJ=p(^i)EP(A1A21H)P(J+F(A1A2|H>P(H)]2&病树的主人外出。委托邻居浇水，设已知如果不浇水，树死去的概率是0.8。若浇水则树死去的概率是0.1S有0.9的把握确定邻居会记得浇水。(1)求主人回来树还活着的概率。(2)若主人回来树已死去，求邻居忘记浇水的概率。27、设本题涉及的事彳^均有意义。没A,B都是事件。(1)已知P(A)>0,证明P(AB|A)三P(AB|AUB)。(2)若P(A|B)=1,证明P(B|A)=1。(3)若设C也是事件，且有P(A|C)三P(B|C),P(A|C)三P(B|C),证明P(A)三P(B)。2&有两种花籽，发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗，设各花籽是否发芽相互独立。求(1)这两颗花籽都能发芽的概率。(2)至少有一颗能发芽的概率。(3)恰有一颗能发芽的概率。2a根据报道美国人血型的分布近似地为： A型为37%,O型为44%,B型为13%,AB型06%。夫妻拥有的血型是相互独立的。(1)B型的人只有输入B、。两种血型才安全。若妻为B型，夫为何种血型未知，求夫是妻的安全输血者的概率。(2)随机地取一对夫妇，求妻为B型夫为A型的概率。(3)随机地取一对夫妇，求其中一人为A型，另一人为B型的概率。(4)随机地取一对夫妇，求其中至少有一人是O型的概率。3R(1)给出事件A、B的例子，使得(i)P(A|B)<P(A)。(ii)P(A|B)=P(A)。(iii)P(A|B)>P(A)。(2)设事件A,B,C相互独立，证明(i)C与AB相互独立。(ii)C与AUB相互独立。(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A,B相互独立。(4)证明事件A,B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A|B)。31、设事件A,B的概率均大于零，说明以下的叙述(1)必然对。(2)必然错。(3)可能对。并说明理由。(1)若A与B互不相容，则它们相互独立。（2）若 A与B相互独立，则它们互不相容。P（A）=P（B）=0.6，且它们互不相容。P（A）=P（B）=0.6，且它们相互独立。32、有一种检验艾滋病毒的方法， 其结果有概率 0.005报导为假阳性（即不带艾滋病毒的人被认为带艾滋病毒）。今有140名不带艾滋病毒的正常人全部接受此种检验，被报道至少有一人带艾滋病毒的概率为多少？33、盒中有编号为 1，2，3，4的4只球，随机地自盒中取一只球，事件A为“取得的是 1号或2号球”，事件B为“取得的是 1号或3号球”，事件C为“取得的是 1号或4号球”。验证：P（AB）=P（A）P（B），P（AC）=P（A）P（C），P（BC）=P）P（C）,但P（ABC）?P（A）P（B）P（C）,即事件A，B，C两两独立，但 A，B，C不是相互独立的。如果一危险情况 C发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在 C发生时这些开关每一个都 应完全，且若至少一个开关闭合了，警报就发出，如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有0.96的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少》如果需要有一个可靠性至少为 0.9999的系统， 则至少需要用多少开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。36、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5，1/3，1/4。问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

P(A)P(AAP(A)P(AA2A3)1P(A)P(A2)P(Aj37、设第一只盒子中装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝球的概率。（2）求有一只蓝球一只白球的概率。（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解以耳记事件“从第f只盒子中取得一只蓝球，以巴记事件“从第t只盒子中取得一只白球”，£=1.2.由题设在不同盒子中取球是相互独立的.（1）即需求P（马U玛）.利用对立事件来求较方便，即有P⑵UB2）=1-P（B1UB；）=1-=1-P区）P（瓦）=1-方得=/（2）即需求事件归iWaU玛Wi的概率，注意到6〉印i是互不相容的，即H]Wj=0,因而（以叫MB,%）=0,故有P（%/U为印I=P[BlW2）+P（鸟叫）=P(B1)P(W2)十尸(B0P(%)一3乂4 2 2 16-yxv+7x763'（3）即需求条件概率力=P（BxW2uB?WjEiUb2）,因（%%U u比，故有P=PHB1W2u%/MB]u殳）ub2）=P（%W工UB2WO/P（B}u叫）=16/35,3&袋中装有m枚正品硬币、n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一枚，将它投掷「次，已知每次都得到国徽。问这枚硬币是正品的概率为多少？

【解】设八=｛投掷硬币r次都得到国徽｝

B=｛这只硬币为正品｝/、m n由题知P(B),P(B)——由题知mn mn1P(A|B)27,P(A|B)1P(B|A)P(AB)

P(A)则由贝叶斯公式知P(B|A)P(AB)

P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)mJ1m32r mm11n1m2rnmn'2rmn，3a设根据以往记录的数据分析，某船只运输的某种物品损坏的情况共有三种：损坏2%(这一事件记为A),损坏10%(事件B),损坏90%

(事件