山东省聊城市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

山东省聊城市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析山东省聊城市2021届新高考数学模拟试题（3）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)k(k>0,k=1​)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点AA，BB间的距离为2，动点PP与​​，当PP，AA，BB不共线时，ΔPAA．2222​

B．22​

C．223​​

D．2332​​【答案】A【解析】【分析】根据平面内两定点AA，BB间的距离为2，动点PP与AA，BB的距离之比为2222​​，利用直接法求得轨迹，然后利用数形结合求解.【详解】如图所示：设A(1,0)A(−1,0​)，B(1,0)B(1,0​)，P(​(x+1​)2+y2​​=22​​，化简得(x+3)当点PP到ABAB（xx轴）距离最大时，ΔP∴ΔPABΔPAB面积的最大值是12​=22​.故选：A.【点睛】本题主要考查轨迹的求法和圆的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.2．已知将函数f(x)=sin(ωx+φ)f(x)=sin(ωx+φ)（0<ω<60<ω<6，π2<φ<π2−2π​A．2

B．3

C．4

D．3223【答案】B【解析】【分析】因为将函数f(x)=sin(ωx+φ)f(x)=sin(ωx+φ)（0<ω<60<ω<6，π2<φ<π2−2π​<φ<2π​【详解】∵∵将函数f(x)=sin(ωx+φ)f(x)=sin(ωx+φ)（0<ω<∴∴g(x)=sin[ω(xπ3)+φ又∵∵f(x)f(x)和g(x)∴∴由{π4ω+φ=k1π+π2π4ωπ3ω+φ=k2π+得π3ω=(k1k2)π3π​ω=(k1​−k2​​)π即ω=3(k1k2)ω=3(k1​−k2​​)(又∵∵0<ω∴∴ω=3故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数图象平移和根据图象对称求参数，解题关键是掌握三角函数图象平移的解法和正弦函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知函数f(x)=2tan(ωx)(ω>0)f(x)=2tan(ωx)(ω>0)的图象与直线y=2y=2的相邻交点间的距离为πA．

B．C．

D．【答案】A【解析】【分析】由题知[20,40)[20,40​)，利用[40,60)[40,60​)求出[60【详解】根据题意，xx的图象与直线yy的相邻交点间的距离为[20,所以281642人、8人、16人、4人的周期为2×2所以1010，由正弦函数和正切函数图象可知1010正确.故选：A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.4．已知集合f(a)a​f(a​)​=ab​−bf(b​)​，f(a​f(a​)​=b​f(b​)​，则f(x​,(x>0​),f(x)=2x​(x>0​)等于（）A．xx​

B．{2,1,0,1,2}{−2,−1,0,1,2}

C．{2,【答案】A【解析】【分析】进行交集的运算即可．【详解】∵A={0∵A={0，1，2，3}3}，B={x∴A⋂B={0∴A故选：AA．【点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．5．盒中有6个小球，其中4个白球，2个黑球，从中任取i(i=1,2)i(i=1,2​)个球，在取出的球中，黑球放回，白球则涂黑后放回，此时盒中黑球的个数A．P(X1=3)>P(X2=3)P(X1​=3​)>P(X2​=3​)，EX1>EX2EX1C．P(X1=3)>P(X2=3)P(X1​=3​)>P(X2​=3​)，EX1<EX2EX1【答案】C【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式，计算出概率并求得数学期望，由此判断出正确选项.【详解】X1=3X1​=3表示取出的为一个白球，所以P(X1=3)=C41C61=23P(X1​=3​)=C61​C41​​=32​.X1=2X1​=2表示取出一个黑球，X2=3X2​=3表示取出两个球，其中一黑一白，P(X2=3)=C41C21C62=815P(X2​=3​)=C62​C41​C21​​=158​，X2=2X2​=2表示取出两个球为黑球，P(X2)=C22C62=115P(X2​​)=C62​C22​​=151​，X2=4X2​=4故选：C【点睛】本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望的计算，属于中档题.6．函数f(x)=cosA．

B．C．

D．【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵f(x)=cos2x+2cf(x)=2x+12x1×cos(2x)=2x+12x1×∴函数f(x)f(x∴排除选项A，B；又∵当x∈(0,π4)x∈(0,4π​​故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.7．已知双曲线x2a2y2b2=1a2x2​−b2y2​=1（a>0a>0，b>0b>0）的左、右顶点分别为A1A1​，A2A2​，虚轴的两个端点分别为B1B1​，BA．8

B．16

C．6262​

D．122122​【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形A1B1A2B2A1​B1​A2​B2​的内切圆面积求得半径，结合四边形A1B1A2B2A1​B1​【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形A1B1A2B2A1​B1​A2​B2​则∣OA∣​OA2​​∣∣​=a,∣∣​OB1​​∣∣​=b,所以∣A2∣​A2​B1​​∣∣​=a2+b2​=c，四边形A1B1A2B2A1​B1​A2则18π=πr2∣​OC​∣∣​=r=32​，则SA1B1A2B2=12⋅∣∣​A1​A2​​∣∣​⋅∣∣​B1​B2​​∣∣​=4×21​⋅∣∣​A2​B1​​∣∣​⋅∣∣​OC​∣∣​，即12⋅2a⋅2b=4×12​故由基本不等式可得c=a​ab​≤32​2a2+b2​​=62​c2​，即c≥6​，当且仅当a=b故焦距的最小值为122122​.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.8．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A．2

B．8338​【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2，所以该四棱锥的体积为V=13×12×(故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型.9．观察下列各式：x⊗y=2x⊗y=2，x2⊗y2=4x2⊗y2=4，x3⊗y3=9x3⊗y3=9，x4⊗y4=17x4⊗y4=17，xA．255255

B．419419

C．414414

D．253253【答案】B【解析】【分析】每个式子的值依次构成一个数列{an}{an​}，然后归纳出数列的递推关系an=an1+an2【详解】以及数列的应用根据题设条件，设数字22，44，99，1717，3131，5454，9292，⋯⋯构成一个数列{an}{an​​}，可得数列{an}{an​​}满足an=an1+an2+n则a8=a7+a6+a9=a8+a7+9=154+92+9=255故选：B．【点睛】本题主要考查归纳推理，解题关键是通过数列的项归纳出递推关系，从而可确定数列的一些项．10．已知函数f(x)={ln(2x),∣​f(x)​∣∣​−ax+a⩾0恒成立，则实数aa的取值范围是（）A．[12,1][−21​,1​]

B．[0,【答案】D【解析】【分析】由∣f(∣​f(x)​∣∣​−ax+a⩾0恒成立，等价于y=∣f(x)∣【详解】因为∣f(∣​f(x)​∣∣​={ln(2−x),x⩽1,x2−1,x>1,​​由∣f(∣​f(x)​∣∣​⩾a(x−1)恒成立，分别作出y=∣f(x)∣y=∣f(x)∣及y=a(x1)y=a(x−1)的图象，由图知，当a<0∣​f(x)​∣∣​(x⩾1)图象相切于(1,0)(1,0)时，由导数几何意义，此时a=(x21)∣x=故选：D【点睛】此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题.11．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（）A．π1212π​

B．π33π​

C．π66π​

D．【答案】C【解析】【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，直角三角形的斜边长为82+​=10，利用等面积法，可得其内切圆的半径为r=6×8所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为π⋅2212×6×8故选：C.【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12．函数y=sin(xπ2)⋅A．

B．

C．

D．【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A,C，当x→0【详解】∵y=sin(xπ2)⋅l∴cos(x)ln∣x即函数为偶函数，故排除选项A,C，当正数xx越来越小，趋近于0时，cosx<0所以函数y=sin(xπ2)⋅故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，识别函数的图象，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数f(x)f(x​)是定义在RR上的奇函数，且周期为22，当x∈(0,1]x∈(0,1​]时，f(【答案】00【解析】【分析】由题意可得：f(x)={⎨⎧​x+3a​,0<x≤10,x=0x−3a​,−1≤x<0​​，周期为22，可得f(1)=f(1)f(1​)=f(−1​)，可求出【详解】解：∵∵函数f(x)f(x​)是定义在∴∴f(x)={⎨⎧​x+3a​,0<x≤10,x=0x−3a​,−1≤x<0​​.由周期为22，可知f(1)=f(1)f(1​)=f(−1​)，∴∴1+a3=∴∴f(a)=f(故答案为：00.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于基础题.14．已知实数xx，yy满足约束条件{x+⎨⎧​x+y≥3y≤3x−1x≤2​​，则z=yx【答案】1221【解析】【分析】作出满足约束条件的可行域，将目标函数视为可行解(x,y)(x,y​)与(0,0)【详解】作出满足约束条件{x+⎨⎧​x+y≥3y≤3x−1x≤2​​的可行域，该目标函数z=yx=y0x0z=xy​=x−0y−0​视为可行解(x,y)(x,y​由题可知，联立{y=3x1x=2{y=3x−1x=2​​得A(2,5所以kOA=52,kOB=12kOA​所以zz的最小值为1221故答案为：1221【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.15．设f(x)f(x)是定义在(0,+∞)(0,+∞​)上的函数，且f(x)>0f(x)>0，对任意a>0,b>0a>0,b>0，若经过点(a,f(a)),(b,f(b))(a,f(a)​),(b,−f(b)​)的一次函数与xx轴的交点为(c,0)(c,0​)，且a​.（只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】xx​【解析】【分析】由定义可知(a,f(a)),(b,f(b)),(c​f(a​)​=ab​−bf(b​)​，通过整理可得f(x)=​(t>0​)，继而可求出正确答案.【详解】解：根据题意f(a,b)=​，由定义可知：(a,f(a)),(b,f(b故可得：f(a)ac=f(b)cba−cf(a​)​​f(a​)​=ab​−bf(b​)​，整理得：f(a​f(a​)​=b​f(b​)​，故可以选择f(x​,(x>0​),f(x)=2x​(x>0​)等.故答案为:xx​.【点睛】本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.本题关键是分析出三点共线.16．如图，四面体ABCDABCD的一条棱长为xx，其余棱长均为1，记四面体ABCDABCD的体积为【答案】(0,​​](或写成(0,​​))1881【解析】试题分析：设AB=xAB=x，取ABAB中点M,M,则CMAB,DMABCM⊥AB,DM⊥AB,因此ABCDMAB⊥面CDM,所以F(x)=1​=121​3x2−x4​,x∈(0,3​)，因为y=3tt2,t∈(0,3)y=3t−t2,t∈(0,3)在(0,​​)，最大值为1881考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知矩阵M=[1221]M=[12​21​​]，(1)(1​)求矩阵N(2)(2​)求矩阵N【答案】(1)(1​)N=[13232313]N=[−31​32​​32​−31​​​]；(2)(2【解析】【分析】(1)(1​)由题意，可得N=[ab(2)(2​)矩阵NN的特征多项式为f(λ)=(λ+13)249f(λ​【详解】(1)(1​)设矩阵N=[abcd]N=[ac​bd​​]，则MN=[1221][所以{a+⎨⎧​a+2c=1b+2d=02a+c=02b+d=1​​，解得a=13a=−31​，b=23b=32​，c=23所以矩阵N=[13232313]N=[(2)(2​)矩阵NN的特征多项式为f(λ)=(λ+令f(λ)=0f(λ​)=0，解得λ1=13λ1​=31即矩阵NN的两个特征值为λ1=13λ1​=31​，λ2=【点睛】本题考查矩阵的知识点，属于常考题.18．数列{an}{an​​}满足a1=1a1​=1，anan​是1（1）证明：数列{an+1}{an​+1​}为等比数列，并求数列（2）求数列{an+2n}{an​+2n​}的前n【答案】（1）见解析，an=2n1an​=2n−1（2）S【解析】【分析】（1）根据等差中项的定义得an+11=2anan+1​−1=2an​，然后构造新等比数列{an+1}（2）根据（1）的结果，分组求和即可【详解】解：（1）由已知可得an+11=2anan+1​−1=2an​，即an+1=2an+1an+1​=2an​+1，可化为an+1即有an+1=(a1+1)⋅2n1=2nan​（2）由（1）知，数列{an+2n}{an​+2n​}的通项为：a∴Sn=(21+22+23+=2(12n)12+n2故Sn=2n+1【点睛】考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.19．已知函数f(x​​sinx+cos22x​−21​,(x∈R).（1）当x∈[（2）ABC△ABC的角A,B,CA,B,C的对边分别为​，f(C)=1f(C)=1，求A【答案】（1）[12,1][−21​,1​【解析】【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得abab的最大值，可得ABAB边上的高h【详解】解：（1）∵函数f(x​​sinx+cos22x​−21​=23​​sinx+21+cosx​−21​=sin(x+6π​​)，当x∈[0,π]x∈[0,π]时，x+π6∈[π6,7π6]x+6π（2）ABC△ABC中，c​，f(C)=1=sin(由余弦定理可得c2=3=a2+b22ab⋅即abab再根据SABC=12⋅​⋅h=21​ab⋅sin3π​，故当abab取得最大值3时，hh取得最大值为3223【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．20．某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表：

同意不同意合计男生a5

女生40d

合计

100（1）求a，d的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为X，求X的分布列及数学期望.附：K2=n(P(k20.150.1000.0500.0250.010k0k02.0722.7063.8415.0246.635【答案】（1）a=20【解析】【分析】（1）根据表格及同意父母生“二孩”占60%可求出aa,dd,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%，所以a=6040=20a=60−40=20文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关（2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X01234X的数学期望为【点睛】本题主要考查了相关性检验、二项分布，属于中档题.21．如图，在三棱柱ABCA1B1C1ABC−A1​B1​C1​中，已知四边形AA1C1CAA1​C1​C为矩形，AA1=6AA1​=6，AB=AC=（1）求证:平面BADBAD⊥平面AA1C1（2）求二面角AB1C1A1A−B1【答案】（1）见解析；（2）31717​​【解析】【分析】（1）过点DD作DE//ACDE//AC交AA1AA1​于EE，连接CE,BECE,BE，设AD∩CE=O（2）平面几何知识和线面的关系可证得BOBO⊥平面AA1C1CAA1​C1​C【详解】（1）如图，过点DD作DE//ACDE//AC交AA1AA1​于EE，连接CE,BECE,BE，设AD又ADAD为∠A1AC∠A1​AC的角平分线，∴∴四边形A又∵AC=AE∵AC=AE，∠BAC=∠BAE∠BAC=∠BAE，BA=BABA=BA又∵AD,BO⊂∵AD,BO⊂平面BADBAD，A又∵CE⊂∵CE⊂平面AA1C1CAA1​C1​C，∴∴平面BA（2）在ΔABCΔABC中，∵AB=AC=4∵AB=AC=4，∠BAC​，∴BO​，又AB=4AB=4，AO​，∵BO2+A又BOCEBO⊥CE，AD∩CE=OAD∩CE=O，AD,CE⊂AD,CE⊂平面AA1故建立如图空间直角坐标系OxyzO−xyz，则A(2,2,0)A(2,−2,0)，A1B1(0,​)，∴C1B1=​=(2,2,22​)，AC1=​=(−4,6,0)，C1A1=(​=(4,0,0)，设平面AB1C1AB1​C1​=(x1​,y1​,z1​)，则{m⇀⎨⎧​mm⇀⊥C1​B1​⇀​mm⇀⊥AC1​⇀​​​，∴{4x1+6y1=02x​z1​=0​​，令x1=6x1​=6，得=(6,4,−52​),设平面A1B1C1A1​B1​C1=(x2​,y2​,z2​)，则{n⇀⎨⎧​nn⇀⊥C1​B1​⇀​nn⇀⊥C1​A1​⇀​​​，∴{4x2=02x​z2​=0​​，令y2=2y2​，得n=(=(0,2​,−1)∴cos<,n>=∣∣​m​∣∣​⋅∣∣​n​∣∣​m⋅n​=102​×3​92​​=17317​​，由图示可知二面角AB1C1A1A−B1故二面角AB1C1A1A−B1​C1​−​​.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.22．某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示：年份20112012201320142015201620172018年生产台数（万台）2345671011该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5年返修台数（台）2122286580658488部分计算结果：xx=18∑i=18xi=6xxˉ=81​i=1∑8​xi​=6，yy=18∑i∑i=18(yiyy)2=18.045i=1∑8​(yi​−yyˉ注：年返修率=年生产台数年返修台数​（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润yy（百万元）关于年生产台数xx（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.附：线性回归方程y=bbx+aay=bb^x+aa^中，bb=i=1n(xixx)(yiyy)∑i=1n(xixx)2bb^=∑i=1n​(xi​−【答案】（1）见解析；（2）yy=0.48【解析】【分析】（1）先判断得到随机变量ξξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分布列和期望．（2）由于去掉20152015年的数据后不影响bbbb^的值，可根据表中数据求出bbbb^；然后再根据去掉20152015年的数据后所剩数据求出a【详解】（1）由数据可知，20122012，20132013，20162016，20172017，20182018五个年份考核优秀．由题意ξξ的所有可能取值为00，11，22，33，P(ξ=0)=C50C3P(ξ=1)=C51C3P(ξ=2)=C52C31CP(ξ=3)=C53C30C故ξξ的分布列为：ξξ00112233PP1565611556561515282815528285所以Eξ=0×156+1×1556（2）因为x5=xx=6x5​=xxˉ=6，所以去掉所以bb=i=18(xixx)(yiyy)∑i又去掉20152015年的数据之后xx=6×867=6xxˉ=76×8−6​=6，所以aa=yybbxx从而回归方程为：yy=0.48x【点睛】求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．23．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等