概率论与数理统计+二维连续性随机变量及其分布课件

作业题评讲解概率论与数理统计作业题评讲概率论与数理统计故X,Y不独立。64页例4设(X,Y)的密度函数为二维连续型随机变量及其密度函数求(1)C的值;(2)边缘密度函数.解概率论与数理统计（一）随机变量的数学期望1.离散型随机变量的数学期望设X的分布律为则2.连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的密度函数为f(x),则概率论与数理统计随机变量的数字特征Review概率论与数理统计3.随机变量函数的数学期望（1）X为随机变量，Y=g(X),离散型：连续型：(2)(X,Y)为二维随机变量,Z=g(X,Y),离散型：连续型：作业题评讲概率论与数理统计解数学期望的性质概率论与数理统计1.E(C)=C2.

E(aX)=aE(X)3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)4.当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).线性性质（二）方差1.定义

D(X)=E[X-E(X)]2标准差：2.计算(2)离散型：(3)连续型：概率论与数理统计随机变量的数字特征(1)计算公式：D(X)=E(X2)-E2(X).概率论与数理统计方差的性质(1)D(C)=0;(2)D(CX)=C2D(X);(3)若X,Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).D(X-Y)=D(X)+D(Y).概率论与数理统计随机变量的数字特征例2解概率论与数理统计随机变量的数字特征例3设X～b(n,p),求E(X),D(X).

解X表示重伯努利试验中“成功的次数”，令且Xi服从0-1分布，则又Xi之间相互独立，概率论与数理统计随机变量的数字特征例4已知标准正态分布N(0,1)的期望是0，方差是1。设X～N(μ,σ2),求E(X),D(X).

解随机变量的标准化：问题

对于二维随机变量(X,Y):联合分布边缘分布

对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系该用一个怎样的数去反映这种联系呢？

数能反映随机变量X,Y

之间的线性关系§4.4概率论与数理统计协方差的概念为X,Y的协方差.记为称为（X,Y）的协方差矩阵称定义定义协方差的概念概率论与数理统计计算公式：cov(X,Y)

=E(XY)-E(X)E(Y).例5(X,Y)分布律如下，求cov(X,Y)概率论与数理统计协方差解X,Y的分布律分别如下：

例6协方差概率论与数理统计解概率论与数理统计1.cov(X,X)=D(X)5.当X,Y独立时，cov(X,Y)=0.对称性协方差的性质2.cov(X,Y)=cov(Y,X)3.cov(aX,bY)=abcov(X,Y)6.cov(C,X)=04.cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)而当cov(X,Y)=0，X,Y并不一定独立.X,Y线性不相关7.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)

为了消除量纲对协方差值的影响,我们把X,Y标准化后再求协方差概率论与数理统计相关系数的概念概率论与数理统计1.|ρXY|≤12.当X,Y独立时，ρXY

=0.相关系数的性质3.|ρXY|越大，则X,Y线性相关程度越好当

|ρXY|=0时，X,Y并不是一定没有关系，而是线性不相关。逆命题不成立4.(X,Y)

～N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)ρ就是X,Y的相关系数，ρXY

=ρ.概率论与数理统计正相关负相关正弱相关负弱相关线性不相关相关系数与随机变量的线性相关性例7设(X,Y)~N(1,4,

1,4,0.5),Z=X+Y,求XZ解概率论与数理统计协方差与相关系数证明

(1)于是ρXY=0，所以

X与Y线性不相关。例9

已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。概率论与数理统计显然，fX(x)fY(y)≠f(x,y)，因此，X与Y不相互独立。例9已知（X,Y）的概率密度如下，试证X与Y既不相关，也不相互独立。概率论与数理统计n维随机变量X1,X2,…,Xn服从正态分布，则Xi都是一维正态；若Xi是一维正态，且相互独立，则X1,X2,…,Xn服从n维正态。概率论与数理统计多维正态分布的重要性质n维随机变量X1,X2,…,Xn服从正态分布的充要条件是X1,X2,…,Xn的任意线性组合都服从一维正态。对n维正态分布来说，独立与线性相关是等价的。例10

设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,1)。求Z=2X-Y+3的概率密度。

知Z=2X-Y+3服从正态分布，且解

由X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-