一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程QX2+bx+c=0（a（的根的判别式为b2—4m，一般用符号表示.－b±b2－4acTOC\o"1-5"\h\z（1）b2—4ac>0台方程有两个不相等的实数根，即X=2c；1,2a⑵b2—4ac=0台方程有两个相等的实数根，即x1=x2=—2a；⑶b2—4ac<0台方程没有实数根.【例题讲解及练习】（2013枣庄）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>1（2013达州）若方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.（2013泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.k>-1B.k<1且k0C.k-1且k0D.k>-1且k0（2013六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k1（2012梧州）关于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.a>-5B.a>-5且a-1C.a<-5D.a-5且a-1（2012日照）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>B.kC.k>且k2D,k且k2TOC\o"1-5"\h\z（2012襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A.k<Bk<且k0C,-k<D,-k<且k0（2013福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A.x2+3=0B.x2+2x=0C.（x+1）2=0D.（x+3）（x-1）=0（2013十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（）A.4B.-4C.1D.-1（2013大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A.m<-4B.m>-4C.m<4D.m>4（2013常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（）A.x2+2x+1=0B.x2+1=0C.x2=2x-1D.x2-4x-5=0（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A.m-1B.m1C.m4D（2012泸州）若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k2B.k2C.k>-2D.k<-2（2013乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实数根，则a的值可以是（）A.2B.1C.0.5D.0.25（2013平凉）一元二次方程x2+x-2=0根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定（2013珠海）已知一元二次方程：x2+2x+3=0,x2-2x-3=0.下列说法正确的是（）A.都有实数解B.无实数解，有实数解C.有实数解，无实数解D.都无实数解（2013广州）若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断（2013成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根（2013滨州）对于任意实数k,关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根.若关于x的方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是.（2013乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若4ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当^ABC是等腰三角形时，求k的值.一元二次方程根的判别式2013参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）（2013枣庄）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>1考点：根的判别式.分析：根据根的判别式的意义得到△=22-4m>0,然后解不等式即可.解答：解：根据题意得^=22-4m>0,解得m<1.故选B.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式△=b2-42c当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.（2013达州）若方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）B.C.D.考点：根的判别式；在数轴上表示不等式的解集.分析：首先根据题意可得△>0,代入相应的数可得・・.（-6）2-4x3xm>0,再解不等式即可.解答：解：二•方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，.•.△>0,/.（-6）2-4x3xm>0,解得：m<3，在数轴上表示为：，故选：B.点评：此题主要考查了根的判别式，以及解一元一次不等式，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0=方程有两个不相等的实数根；△=0=方程有两个相等的实数根；△<0=方程没有实数根.（2012眉山）若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m<1B.m<-1C.m>1D.m>-1考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据根的判别式，令△>0即可求出根的判别式.解答：解：•・•关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根，.△=（-2）2-4xm>0,.•.4-4m>0,解得m<1.故选A.点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0Q方程有两个不相等的实数根；△=0Q方程有两个相等的实数根；△<0Q方程没有实数根.（2013宜宾）若关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k>1C.k=1D.k0考点：根的判别式.分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.解答：解：•・•关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，a=1,b=2,c=k,.•.△=b2-4ac=22-4x1xk>0,.•・k<1,故选：A.点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0Q方程有两个不相等的实数根；（2）△=0Q方程有两个相等的实数根；（3）△<0Q方程没有实数根.（2013钦州）关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m<3B.m3C.m>3D.m3考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据判别式的意义得到4=（-6）2-4x3xm>0,然后解不等式即可.解答：解：根据题意得4=（-6）2-4x3xm>0,解得m<3.故选A.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式△=b2-42©：当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.（2013泸州）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.k>-1B.k<1且k0C.k-1且k0D.k>-1且k0考点：根的判别式；一元二次方程的定义.专题：计算题.分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出不等式，且二次项系数不为0,即可求出k的范围.解答：解：•・•一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，.•.△=b2-4ac=4+4k>0,且k0,解得：k>-1且k0.故选D点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.（2013六盘水）已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k1考点：根的判别式；一元二次方程的定义.专题：计算题；压轴题.分析：根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围.解答：解：根据题意得：△=b2-4ac=4-4（k-1）=8-4k>0,且k-10,解得：k<2,且k1.故选D点评：此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键.（2012梧州）关于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.a>-5B.a>-5且a-1C.a<-5D.a-5且a-1考点：根的判别式；一元二次方程的定义.专题：压轴题.分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2-x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足^=b2-4ac>0,即可求得.解答：解：x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，.•.△=b2-4ac=16+4a+4>0,解得a>-5•「a+10.a-1.故选B.点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0=方程有两个不相等的实数根；（2）△=0=方程有两个相等的实数根；（3）△<0=方程没有实数根.（2012日照）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k>B.kC.k>且k2D.k且k2考点：根的判别式；一元二次方程的定义.专题：计算题.分析：根据方程有两个不相等的实数根，可知△>0,据此列出关于k的不等式，解答即可.解答：解：•・•方程为一元二次方程，.k-20,即k2,二•方程有两个不相等的实数根，.△>0,.（2k+1）2-4（k-2）2>0,.（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）>0,.5（4k-3）>0,k>,故k>且k2.故选C.点评：本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键.10.（2012襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-.2kHx+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A.k<Bk<且k0C.-k<D.-k<且k0考点：根的判别式.专题：压轴题.分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△>0,由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围.解答：解：由题意知：2k+10,k0,△=2k+1-4k>0,・•・k<，且k0.故选D.点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=产-42孰当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.同时考查了一元二次不等式的解法.（2013福州）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A.x2+3=0B.x2+2x=0C.（x+1）2=0D.（x+3）（x-1）=0考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接得到，则可对D进行判断.解答：解：A、△=0-4x3=-12<0,则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△=4-4x0=4>0,则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2+2x+1=0,△=4-4x1=0,则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1=-3,x2=1,则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误.故选C.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式△=b2-42c当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.（2013大连）若关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A.m<-4B.m>-4C.m<4D.m>4考点：根的判别式.专题：计算题.分析：由方程没有实数根，得到根的判别式的值小于0,列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围.解答：解：,:△=（-4）2-4m=16-4m<0,/.m>4.故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.（2013常德）下列一元二次方程中无实数解的方程是（）A.x2+2x+1=0B.x2+1=0C.x2=2x-1D.x2-4x-5=0考点：根的判别式.专题：计算题.分析：找出各项方程中a,b及c的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于0时的方程即可.解答：解：A、这里a=1,b=2,c=1,.•△=4-4=0,•・方程有两个相等的实数根，本选项不合题意;B、这里a=1,b=0,c=1,:△=-4<0,••方程没有实数根，本选项符合题意;^这里a=1,b=-2,c=1,.•△=4-4=0,•・方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；D、这里a=1,b=-4,c=-5,:△=16+20=36>0,•・方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，故选B点评：此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A.m-1B.m1C.m4D.考点：根的判别式.专题：计算题；压轴题.分析：由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0,列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围.解答：解：•・•一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，/.b2-4ac=22-4m0,解得：m1,则m的取值范围是m1.故选B点评：此题考查了一元二次方程解的判断方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解与b2-4ac有关，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无解.（2012泸州）若关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（）A.k2B.k2C.k>-2D.k<-2考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式的意义可得到△0,即（-4）2-4x1x2k0,然后解不等式即可得到k的取值范围.解答：解：••关于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有两个实数根，./△0,即（-4）2-4x1x2k0,解得k2./k的取值范围是k2.故选B.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式△=b2-42c当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当4<0时，方程没有实数根.（2013乌鲁木齐）若关于x的方程式x2-x+a=0有实数根，则a的值可以是（）A.2B.1C.0.5D.0.25考点：根的判别式.分析：根据判别式的意义得到4=（-1）2-4a0,然后解不等式，最后根据不等式的解集进行判断.

解答：解：根据题意得4=(-1)2-4a0,解得a.故选D.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式△=b2-42c当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.(2013十堰)已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是()A.4B.-4C.1D.-1考点：根的判别式.专题：计算题.分析：根据根的判别式的意义得到△=22-4(-a)=0,然后解方程即可.解答：解：根据题意得^=22-4(-a)=0,解得a=-1.故选D.点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式△=b2-42c当4>0,方程有两个不相等的实数根；当^=0,方程有两个相等的实数根；当4<0,方程没有实数根.(2013平凉)一元二次方程x2+x-2=0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定考点：根的判别式.分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.解答：解：,*=，b=1,c=-2,.•.△=b2-4ac=1+8=9>0・•.方程有两个不相等的实数根.故选A点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△>0=方程有两个不相等的实数根；△=0=方程有两个相等的实数根；△<0=方程没有实数根.19.A.C19.A.C.(2013珠海)已知一元二次方程：x2+2x+3=0,都有实数解有实数解，无实数解x2-2x-3=0.下列说法正确的是()B.D.无实数解，有实数解都无实数解考点：根的判别式.专题：压轴题.分析：求出、的判别式，根据：当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当^=0时，方程有两个相等的两个实数根；当^<0时，方程无实数根.即可得出答案.解答：解：方程的判别式^=4-12=-8,则没有实数解;方程的判别式^=4+12=20,则有两个实数解.故选B.

点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握根的判别式与方程根的关系.（2013广州）若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断考点：根的判别式.专题：计算题；压轴题.分析：根据已知不等式求出k的范围，进而判断出根的判别式的值的正负，即可得到方程解的情况.解答：解：•.•5k+20<0,即k<-4,.•.△=16+4k<0,则方程没有实数根.故选A点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0,方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0,方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0,方程没有实数根.（2013成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根考点：根的判别式.专题：压轴题.分析：先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况.解答：解：△=b2-4ac=12-4x1x（-2）=9,V9>0,.原方程有两个不相等的实数根.故选A.点评：本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式4的值.△>0,有两个不相等的实数根;△=0,有两个不相等的实数根；△<0,没有实数根.（2013滨州）对于任意实数k,关于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情况为（）B.没有实数根DB.没有实数根D.无法确定C.有两个不相等的实数根考点：根的判别式.分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了.解答：解：.*二1，b=-2（k+1）,c=-k2+2k-1,.△=b2-4ac=[-2（k+1）2-4x1x（-k2+2k-1）=8+8k2>0・•・此方程有两个不相等的实数根，故选C.点评：此题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0Q方程有两个不相等的实数根；（2）△=0Q方程有两个相等的实数根；（3）△<0Q方程没有实数根.（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根考点：根的判别式.分析：求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案.解答：解：x2+2x+2=0,这里a=1,b=2,c=2,Vb2-4ac=22-4x1x2=-4<0,・••方程无实数根，故选D.点评：本题考查的知识点是根与系数的关系，当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根;当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，一元二次方程无实数根.（2012广安）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.a>2B.a<2C.a<2且alD.a<-2考点：根的判别式.专题：计算题；压轴题.分析：利用一元二次方程根的判别式列不等式，解不等式求出a的取值范围.解答：解：△=4-4（a-1）=8-4a>0得：