压电铁电物理-王春雷yd0911课件

机电耦合系数

electro-mechanicalcouplingfactor一般情况下的压电方程组机电耦合因子1一般情况下的压电方程组

在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详细地重复讨论。2第一类压电方程组（Xj，En）

3第三类压电方程组（Xj，Dm）

5第四类压电方程组（xi，Dm）

6（1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3；（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。（3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。

7压电方程组中各常数之间的关系

介电常数与压电常数之间的关系9压电方程组中各常数之间的关系

弹性常数与压电常数之间的关系10各类压电常数之间的关系11可见压电方程组共包括九个方程式，前六个称为弹性方程，后三个称为介电方程。每个方程又包括九项，前六项与应力有关，后三项与电场强度有关。13第一类压电方程组的矩阵形式为：

弹性方程部分14第一类压电方程组的矩阵形式为：介电方程部分15几种典型晶体的压电方程组实用化晶体：石英:属32点群钛酸钡:属4mm点群铌酸锂和钽酸锂:属3m点群压电陶瓷:可用m表示，与6mm点群相同17钛酸钡晶体的第一类方程组18分量形式为

19分量形式为

21压电陶瓷的第一类方程组22写成为分量为

23关于单位问题。压电方程组中各物理量的单位，在实际应用中，常用MKS单位制，因此这里中也采用MKS单位制。参考资料中也有采用CGS单位制的。为了便于换算，在表4-6中给出了MKS单位制与CGS单位制之间的换算因子。25压电方程组是分析讨论压电元件性能的根据，在大多数情况下，是从第一类压电方程组出发，其次是第三类方程组。至于第二类和第四类压电方程组，往往只在某一个方向的应变分量远大于其它应变分量的情况下，才被选用（例如，在细长杆压电元件以及利用厚度振动模的压电元件中，有时就选用第二类和第四类压电方程组）。26机电耦合系数

前面已经引入了介电常数、弹性常数和压电常数来描写材料的压电性质，但是在实际应用上，还使用另一个衡量元件压电性质好坏的重要物理量—机电耦合系数（也称压电耦合因子）。例如，压电滤波器的频率宽度、压电变压器的升压比等等都直接与机电耦合系数有关。

Electro-mechanicalcouplingfactor27式中k代表机电耦合系数，UI为相互作用能密度，UM为弹性能密度，UE为介电能密度，为弹性能密度和介电能密度的几何平均值。29因为压电常数、弹性常数、介电常数和机电耦合系数都是描写材料压电性能的物理量，因此机电耦合系数与这些常数之间存在一定的关系。这个关系可通过压电材料的内能以及机电耦合系数的定义（4-37）式而导出。30压电晶体的内能与应力、应变、电位移和电场强度之间的一般关系为:式中U为压电晶体的内能。（4-38）31如果要得到某个压电晶体的内能表达式，将该晶体的压电方程组代入到内能表达式（4-38）后，即可得到体系的内能U。实际上常用的压电元件都是采用沿晶体的某个方向切下的晶片，例如薄长条片、薄圆片或细长杆等都具有较简单的形状，这样的压电元件的内能表示式也比较简单。

32求出内能表示式后，再代入到机电耦合系数表达式（4-37），即得到相应的机电耦合系数k。举例如下：薄长条片的机电耦合系数;细长杆的机电耦合系数;平面机电耦合系数;厚度切变机电耦合系数;

33薄长条片的机电耦合系数

设为z切割晶片，如图4-17所示，若晶片受到沿x方向的应力X1与沿z方向的电场强度E3的作用，其它X2、X3、X4、X5、X6、E1、E2皆等于零，在此情况下，晶片的内能表示式为：

34图4-17薄长条片压电晶片示意图35选X、E为自变量，则晶体的第一类压电方程组为，36式中：sE11X12/2为晶片的弹性能密度UM；X33E32/2为晶片的介电能密度UE；d31E3X1/2为与压电效应有关的相互作用能密度UI。

将上式代入（4-39）式得到晶片的内能表示式为：37将这些结果代入到（4-37）式即得晶片的机电耦合系数k为：即：与元件的形状有关！38式中机电耦合系数k31的前一个下标代表电场的方向是沿z轴方向，后一个下足标代表晶片是x方向的伸缩振动。从（4-40）式可以看出长条晶片的机电耦合系数k31与压电常数d31成正比；与短路弹性柔顺常数sE11和自由介电常数X33的乘积的平方根成反比。39k31的数值举例钛酸钡晶片：d31=-34.510-12库仑/牛顿sE11=8.0510-12米2/牛顿X33=1688.8510-12法拉/米故有：k31=0.31740k31的数值举例PZT-4压电陶瓷d31=-12310-12库仑/牛顿sE11=12.310-12米2/牛顿X33=13008.8510-12法拉/米故有：k31=0.32741钛酸钡陶瓷d31=-7810-12库仑/牛顿sE11=9.110-12米2/牛顿X33=17008.8510-12法拉/米故有：k31=0.212计算时已将d31中的负号省去42细长杆的机电耦合系数设细长杆的长度方向与z轴平行，电极面与z轴垂直。若杆只受到沿z轴方向的应力X3以及电场E3的作用，在此情况下，杆的内能表示式为：43图4-18细长杆压电振子示意图选T、E为自变量，杆的第一类压电方程组为44代入到（4-41）式得到杆的内能为：故得：45可见电场与形变都沿z方向的细长杆的机电耦合系数与d33成正比，与sE33X33的根方成反比。再代入到（4-37）式，即得细长杆的机电耦合系数为，46k33的数值举例钛酸钡晶片：d33=86.510-12库仑/牛顿sE33=15.710-12米2/牛顿X33=1688.8510-12法拉/米故得：k33=0.56547PZT-4压电陶瓷d33=28910-12库仑/牛顿sE33=15.510-12米2/牛顿X33=13008.8510-12法拉/米故得：k33=0.7048钛酸钡陶瓷d33=19010-12库仑/牛顿sE33=9.5110-12米2/牛顿X33=17008.8510-12法拉/米故得：k33=0.5049平面机电耦合系数设所研究的晶片为z切割的薄圆片，并有sE11=sE22，d31=d32，电极面与z轴垂直，晶片只受到应力X1与X2以及电场E3的作用。在此情况下，选X、E为自变量，则第一类压电方程组为：50图4-19薄圆片压电振子示意图51考虑到薄圆片存在sE11=sE22，d31=d32等对称性，因而有X1=X2=Xp，并引入平面应变xp=x1+x2，平面压电常数dp=2d31，平面弹性柔顺常数sEp=2（sE11+sE22），利用这些关系，压电方程组可简化为：52即：X1=X2=Xp，xp=x1+x2，dp=2d31，sEp=2（sE11+sE22）53又薄片的内能表示式为：即：54将（4-43）式代入（4-44）式可得式中：55再代入到（4-37）式，即得薄圆片的机电耦合系数为：56式中kp称为平面机电耦合系数，=-sE12/sE11称为泊松比，可见平面机电耦合系数kp>k31。应该注意，因为导出（4-45）式时曾用到sE11=sE22，d31=d32等对称性关系，所以（4-45）式规定的平面机电耦合系数适用范围为：属于四方晶系中的4、4mm点群，三方晶系中的3、3m点群，六方晶系中的6、6mm点群等晶体以及压电陶瓷。

57kp的数值举例钛酸钡晶体的kp值：=-sE12/sE11=2.3510-12/8.0810-12=0.292k31=0.317故得：kp=0.52958PZT-4压电陶瓷的kp值：=4.0510-12/12.310-12=0.33k31=0.327故：kp=0.56259钛酸钡陶瓷的kp值=2.710-12/9.110-12=0.296k31=0.212故有：kp=0.35860厚度切变机电耦合系数设有压电常数d150的x切割的晶片，电极面与x轴垂直，若此晶片只受到切应力X5以及电场强度E1的作用。在此情况下选X5、E1为自变量，第一类压电方程组为：61厚度切变压电振子示意图图4-2062晶片内能为:63代入到（4-37）式，即得晶片的机电耦合系数为:64对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的晶体，具有d150的压电晶体以及压电陶瓷（z轴为极化轴）都存在sE55=sE44，故（4-46）式可改写为65对于四方晶系、三方晶系和六方晶系中的大多数晶体以及压电陶瓷，除了sE55=sE44外，还存在d14=d15关系。于是可得到切变机电耦合系数k14为：66可见切变机电耦合系数k15和k14与d15成正比，与sE55X11平方跟成反比。k15和