北师大版九年级上册数学11菱形的性质与判定同步练习

第一章特别平行四边形1．1菱形的性质与判断第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__相互垂直__．知识点一：菱形的定义1．已知四边形ABCD的对角线相互均分，要使它成为菱形，还需要增添一个条件，这个条件是(B)A．AB＝CDB．AB＝BCC．AD＝BCD．AC＝BD2．如图，在?ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴?ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上原因)知识点二：菱形的性质3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为(A)A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的选项是(B)A．AB∥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．OA＝OC,第4题图),第5题图)5．如图，在菱形ABCD中，不用然建立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是(C)A．10B．12C．15D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C)A．3B．4C．8D．838．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD订交于点O，点H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5B．4C．7D．149．(2019·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD订交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2019·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么以下结论必定正确的选项是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍1/4,第11题图),第12题图)12．如图，已知菱形ABCD，其极点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__．13．如图是依据四边形的不坚固性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图)14．(2019·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分红暗影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则暗影部分的面积为__12__．15．(2019·宜宾)菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__53__cm.16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝112CD，DF＝2AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，进而AE⊥BC，AE＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上随意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么地点？说明原因．解：(1)证明：连结AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直均分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．原因：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角均分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的判断对角线__相互垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的判断1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请增补条件，使得四边形ABCD是菱形．小明增补的条件是AB＝BC；小亮增补的条件是AC＝BD，你以为以下说法正确的选项是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．以下命题中正确的选项是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线相互垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形2/4D．对角线相互垂直的平行四边形是菱形3．如图，以下条件之一能使?ABCD是菱形的是(D)AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD均分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图)4．以以下图，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图印迹以以下图，能获得四边形ABCD是菱形的依据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线相互垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线均分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图)6．(易错题)如图，以下条件能判断四边形ABCD为菱形的有(C)AB＝BC＝CD＝DA；②AC，BD相互垂直均分；③平行四边形ABCD，且AC⊥BD；④平行四边形ABCD，且AC＝BD.A．1个B．2个C．3个D．4个7．(2019·淄博)已知?ABCD，对角线AC，BD订交于点O，请你增添一个适合的条件，使?ABCD成为一个菱形，你增添的条件是__AD＝DC(答案不独一)__．8．如图，ABCD是对角线相互垂直的四边形，且OB＝OD，请你增添一个适合的条件__OA＝OC或AD＝BC或AD∥BC或AB＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只要增添一个即可)9．(2019·舟山)已知：如图，在?ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF；(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明原因．解：(1)证明：∵?ABCD中，点O为对角线BD的中点，∴BO＝DO，∠EDB＝∠FBO，EDO＝∠OBF，在△EOD和△FOB中DO＝BO，∴△DOE≌△BOF(ASA)(2)当∠DOE＝90°时，EOD＝∠FOB，四边形BFDE为菱形，原因：∵△DOE≌△BOF，∴BF＝DE，又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BO＝DO，∠EOD＝90°，∴EB＝DE，∴四边形BFDE为菱形10．(2019·徐州)若挨次连结四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形必定是(C)A．长方形B．对角线相等的梯形C．对角线相等的四边形D．对角线相互垂直的四边形3/411．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法以下：甲：连结AC，作AC的垂直均分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连结AN，CM，则四边形ANCM是菱形．乙：分别作∠A，∠B的均分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连结EF，则四边形ABEF是菱形．依据两人的作法可判断(C)A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误12．(2019·十堰)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延伸线上，且DE＝DF.给出以下条件：BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你以为这个条件是__③__．(只填写序号)13．(2019·新疆)如图，已知△ABC，按以下步骤作图：1①分别以点A，C为圆心，大于2AC的长为半径画弧，两弧交点P，Q两点；②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连结CE；③过点C作CF∥AB交PQ于点F，连结AF.(1)求证：△AED≌△CFD；(2)求证：四边形AECF是菱形．解：(1)由作图知：PQ为线段AC的垂直均分线，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∠EAC＝∠FCA，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED与△CFD中，AD＝CD，∴△∠CFD＝∠AED，AED≌△CFD(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF，∵EF为线段AC的垂直均分线，∴EC＝EA，FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四边形AECF为菱形14．(2019·南京)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB交BC于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形；(2)当△ABC知足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为何？解：(1)证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形(2)当AB＝BC时，四边形是菱形．原因11以下：∵点D是AB的中点，∴BD＝2AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝2BC，∵AB＝BC，∴BD＝DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形15．某校九年级学习小组在研究学习过程中，用两块完满同样的且含60°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示地点搁置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF是什么样的特别四边形？并说明原因．解