第十一章 2简谐运动的描述

2简谐运动的描述1.振子在_________附近所做的往复运动叫做机械振动。2.弹簧振子由___________组成,是理想模型。3.如果质点的位移与时间的关系遵从_________的规律,此振动为简谐运动。4.简谐运动是最简单、最基本的_________,其振动图像是一条_________。平衡位置小球和弹簧正弦函数机械振动正弦曲线一、描述简谐运动的物理量1.振幅:(1)定义:振动物体离开平衡位置的_________,用A表示,单位为米(m)。(2)振动范围:振动物体运动范围为___________。最大距离振幅的两倍2.全振动:类似于O→B→O→C→O的一个_______________。完整的振动过程3.周期和频率:4.相位:描述周期性运动在各个时刻所处的_________。内容周期频率定义做简谐运动的物体完成一次_______所需要的时间单位时间内完成_______的次数单位___(s)_____(Hz)物理含义表示物体_________的物理量表示物体_________的物理量关系式全振动全振动秒赫兹振动快慢振动快慢不同状态二、简谐运动的表达式简谐运动的表达式为x=_____________。1.A:表示简谐运动的_____。2.ω:是一个与频率成正比的量,叫做简谐运动的“圆频率”,表示简谐运动的快慢,ω=____=_____。3.ωt+φ:代表简谐运动的_____。4.φ:表示t=0时的相位,叫做_____。Asin(ωt+φ)振幅2πf相位初相【思考辨析】1.判断正误:(1)振幅就是指振子的位移。(

)(2)振幅就是指振子的路程。(

)(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(

)(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(

)(5)简谐运动表达式x=Asin(ωt+φ)中,ω表示振动的快慢,ω越大,振动的周期越小。(

)提示:(1)×。振幅是振子离开平衡位置的最大距离,数值上等于最大位移的绝对值。(2)×。振幅是振子离开平衡位置的最大距离,路程是振子振动过程中走过的总距离,二者意义不同。(3)×。振子以相同的速度相继通过同一位置时所经历的过程才是一次全振动。(4)√。振子在一次全振动的过程中经过的路程等于4个振幅。(5)√。ω=2πf=,故ω越大,周期T越小。2.问题思考:(1)两个简谐运动有相位差Δφ,说明了什么?甲、乙两个简谐运动的相位差为,意味着什么?提示:两个简谐运动有相位差,说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为

,意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。(2)简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示?提示:简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示,也可以用余弦函数表示,只是对应的初相位不同。一、描述简谐运动的物理量及其关系的理解1.对全振动的理解:(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫做一次全振动。(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的四个特征。①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。②时间特征:历时一个周期。③路程特征:振幅的4倍。④相位特征:增加2π。2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系:(1)振幅和振动系统的能量:对一个确定的振动系统来说,系统能量仅由振幅决定。振幅越大,振动系统的能量越大。(2)振幅与位移:振动中的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化。(3)振幅与路程:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅。(4)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。【学而后思】(1)始末位移相同的一个过程一定是一次全振动吗?提示:一个全振动过程,物体的始末位移一定相同,但始末位移相同的一个过程,不一定是一次全振动。(2)简谐运动在四分之一个周期内,振子的位移是否等于振幅?提示:只有从平衡位置或最大位移处开始计时,四分之一个周期内的位移等于振幅,否则,大于或小于振幅。【典例1】弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20cm,某时刻振子处于B点,经过0.5s,振子首次到达C点,求:(1)振子的周期和频率。(2)振子5s内通过的路程。【解题探究】(1)弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动,其振幅与B、C间距有何关系?提示:振幅为B、C间距的一半,即A=10cm。(2)振子的运动周期与题干中给出的0.5s有什么关系?提示:振子由B经0.5s首次到达C,则有周期T=2×0.5s=1s【标准解答】根据题意画出振子运动示意图,如图所示由题意可知lBC=2A,所以所以路程为l=4A×5=20A=2m。答案：（1）1s1Hz(2)2m【变式训练】一个质点做简谐运动,振幅是4cm,频率为2.5Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经2.5s,质点的位移和路程分别是(

)A.4cm、24cm

B.-4cm、100cmC.0、100cmD.4cm、100cm【解析】选D。由得每个周期质点通过的路程为4×4cm=16cm，故质点的总路程质点0时刻从平衡位置向位移正向运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x=4cm，故D项正确。

二、对简谐运动表达式的理解做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式:x=Asin(ωt+φ)(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。(2)A：表示振幅,描述简谐运动振动的强弱。(3)ω：圆频率,它与周期、频率的关系为可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。(4)ωt+φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,意味着物体完成了一次全振动。(5)φ：表示t=0时振动质点所处的状态,称为初相位或初相。(6)相位差:即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动,设其初相分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。【学而后思】(1)若Δφ=0或Δφ=π时,说明两振动满足什么关系?提示:若Δφ=0,表明两振动步调相同,称为同相;若Δφ=π,表明两振动步调完全相反,称为反相。(2)若Δφ>0或Δφ<0时,说明两振动满足什么关系?提示:若Δφ>0,表示振动2比振动1超前;若Δφ<0,表示振动2比振动1滞后。【典例2】物体A做简谐运动的振动位移为xA=3cos(100t+)m,物体B做简谐运动的振动位移为xB=5cos(100t+)m。比较A、B的运动（）A.振幅是矢量，A的振幅是6m，B的振幅是10mB.周期是标量，A、B周期相等为100sC.A振动的频率fA等于B振动的频率fB

D.A振动的频率fA大于B振动的频率fB【解题探究】（1）从简谐运动的表达式中，可以直接得到哪些物理量？提示：从表达式中可直接找出振幅、初相、圆频率。（2）简谐运动中怎样根据周期T或频率f求ω？提示：【标准解答】选C。振幅是标量，A、B的振动范围分别是6m、10m，但振幅分别是3m、5m，选项A错误。周期是标量，A、B的周期选项B错误。因为ωA=ωB，故fA=fB，选项C正确，选项D错误。【互动探究】A、B两个简谐运动的相位差是多少？【解析】由简谐运动的方程得由此得到：答案：【总结提升】用简谐运动表达式解答振动问题的方法应用简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值,根据

确定三个描述振动快慢的物理量间的关系,有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。三、简谐运动图像与简谐运动表达式简谐运动两种描述方法的比较:(1)简谐运动图像即x-t图像是直观表示质点振动情况的一种手段,直观表示了质点的位移x随时间t变化的规律。(2)x=Asin(ωt+φ)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。(3)两者对同一个简谐运动的描述应该是一致的。我们能够做到两个方面:一是根据振动方程作出振动图像,二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。【学而后思】(1)利用图像和函数表达式描述振动的优缺点是什么?提示:图像形象、直观;函数表达式精确、抽象,两种方法是从不同的角度描述同一个简谐运动过程。(2)通过简谐运动的图像可以得到哪些物理量?提示:从图像中可以直接找出振幅、周期、振子在各个时刻的位移等。【典例3】有一弹簧振子在水平方向上的B、C之间做简谐运动,已知B、C间的距离为20cm,振子在2s内完成了10次全振动。若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t=0),经过周期振子有负向最大位移。(1)求振子的振幅和周期;(2)画出该振子的位移-时间图像;(3)写出振子的振动方程。【解题探究】(1)要正确画出振动图像,需要明确哪些物理量?提示:0时刻的位置、振动方向、振幅等。(2)要正确写出振子的振动方程需要明确哪些物理量?提示:振幅、圆频率、初相位等。【标准解答】(1)弹簧振子在B、C之间做简谐运动，故振幅A=10cm，振子在2s内完成了10次全振动，振子的周期(2)振子从平衡位置开始计时，故t=0时刻，位移是0，经周期振子的位移为负向最大，故如图所示。(3)由函数图像可知振子的位移与时间函数关系式为x=10sin(10πt+π)cm。答案：(1)10cm0.2s(2)见标准解答图(3)x=10sin(10πt+π)cm【变式训练】(2012·北京高考)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(

)【解析】选A。简谐运动加速度与位移的关系为可见加速度与位移成正比，但是方向相反，因为经过四分之一周期，振子具有正方向的最大加速度，所以经过四分之一周期，就应该具有负方向最大位移，所以A正确。【变式备选】两个简谐运动的表达式分别为下列说法正确的是()A.振动A超前振动B.振动A滞后振动C.振动A滞后振动D.两个振动没有位移相等的时刻【解析】选B。Δφ=(ωt+φB)-(ωt+φA)=φB-φA=，说明振动A滞后振动，或者说振动B超前振动，由于A的位移在10cm和-10cm之间变化，B的位移在8cm和-8cm之间变化，故有位移相等的时刻，故B正确，A、C、D错误。【典例】质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置向右运动起开始计时,质点经0.13s第一次通过M点,再经0.1s第二次通过M点。(1)若M点在平衡位置右方,其振动周期是多少?(2)若M点在平衡位置左方,其振动周期又是多少?考查内容简谐运动的周期的多解问题【标准解答】(1)将物理过程模型化,画出具体化的图景如图甲所示。设质点从平衡位置O向右运动到M点,那么质点从O到M运动时间为0.13s,再由M经最右端A返回M经历时间为0.1s,如图乙所示。由图可以看出M→A历时0.05s,即由O→M→A历时0.18s,根据简谐运动的对称性可得T1=4×0.18s=0.72s。(2)若M点在O点左方,如图丙所示,质点由O点经最右端A点后向左经过O点到达M点历时0.13s,再由M点向左经最左端A'点返回M点历时0.1s。由图可以看出,由O→A→M历时t1=0.13s,由M→A'历时t2=0.05s,即O→A→M→A'历时0.18s,则T2=0.24s。答案:(1)0.72s

(2)0.24s关于简谐运动认识上的三个误区误区1:误认为振幅就是振子的最大位移产生误区的原因是混淆了振幅和最大位移的概念,振幅为标量,最大位移为矢量,在数值上,最大