第二章自动控制系统的数学模型(汤)ppt1

1轮机自动化基础主讲：汤旭晶§2-1拉普拉斯变换及反变换§2-2控制系统的微分方程及非线性微分方程的线性化§2-3传递函数§2-4典型环节及其传递函数§2-5系统方框图及其简化§2-6反馈系统的开环与闭环传递函数第二章自动控制系统的数学模型§2.1拉氏变换及拉氏反变换二、简单函数的拉氏变换1、单位阶跃函数其中，s=σ+jω；

F(s)——f(t)的象函数；f(t)——F(s)的原函数一、拉氏变换（laplacetransform)定义：时间函数f(t)的拉氏变换§2.1拉氏变换及拉氏反变换5、单位脉冲函数4、t(斜坡函数）§2.1拉氏变换及拉氏反变换三、拉氏变换定理1、线性迭加a、b为常数2、微分定理§2.1拉氏变换及拉氏反变换3、积分定理4、衰减定理5、延时定理§2.1拉氏变换及拉氏反变换6、初值定理7、终值定理四、拉氏反变换（就是由象函数求原函数）§2.1拉氏变换及拉氏反变换一般控制系统：分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。部分分式法：1、若F(s)的分母多项式有n个单根（n个根互不相等）-zi.为零点，-Pi为极点§2.1拉氏变换及拉氏反变换①n个不同的实根②若有共轭复根2、有多重根§2.1拉氏变换及拉氏反变换待定系数计算公式如下：§2.1拉氏变换及拉氏反变换五、用拉氏变换求解线性定常微分方程（Lineartime-invarintsystem)

作业：2－19：①、②、2－21③§2.1拉氏变换及拉氏反变换控制单元控制对象测量单元p(t)q(t)y(t)b(t)r(t)e(t)+-f(t)

为研究系统输出y(t)随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。问题的提出执行单元§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化用数学符号、公式、图表等刻划客观事物的本质属性与内在规律，描述物理系统动态特性的数学方程。微分方程是描述系统动态过程数学模型最基本的方式建模方法：解析法；实验法二、微分方程：例1.一、数学模型:例2.例3.§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化SISO线性定常系统的微分方程一般形式为：式中，c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，a0、a1、…an

及b0、b1、…bm

均为实数,其数值由系统的结构及参数决定；且n>m(系统正则）。

§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化三、非线性微分方程的线性化铁心电感线圈中的磁通Φ与电流i的关系如图所以：§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化线性化增量方程上式表明，经线性化处理后，电流增量与磁链已成为线性关系。将原方程表示成平衡点附近的增量关系：§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化上述线性化过程可看到：1、线性化是在输入、输出量围绕工作点作小范围变化的假设条件下进行的,不同工作点，其时间常数显然不同；2、线性化以直线代替曲线略去泰勒级数展开中的二阶以上无穷小项，是一种近似处理；3、对一些严重的典型非线性，如继电特性，间隙，摩擦特性等，不能进行求导运算，原则上不能用小偏差法进行线性化。§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化列写物理系统数学模型的方法：

①确定系统的输入量，输出量，有时还有扰动量。②应用各种物理定律列写物理系统的微分方程组。③将微分方程线性化，列出线性的增量微分方程组。④消去中间变量，求得输出与输入之间关系的微分方程式。§2-2微分方程及非线性微分方程的线性化式中，c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，一、传递函数的定义（transformfunction)

§2-3传递函数设线性定常系统的微分方程一般形式为：设c(t)、r(t)及其各阶导数的初始值为零，对上述微分方程a0、a1、…an

及b0、b1、…、bm

均为实数,其数值由系统的结构及参数决定。

传递函数：即线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。G(s)R(s)C(s)则系统的传递函数为式中，C(s)为

c(t)的拉氏变换，R(s)为

r(t)的拉氏变换，u1u2RCi例如RC无源网络，其微分方程为在初始值u2(0)=0时，上述微分方程的拉氏变换为进行拉氏变换得)()()()(01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn+++=++++----LL§2-3传递函数经整理得RC

无源网络的传递函数为U1(s)U2(s)

电阻、电感、电容元件：iRuRRiLuLLiCuCC利用复阻抗法列电网络的传递函数:§2-3传递函数u1u2RCiU1(s)R1/CsI(s)U2(s)时域电路模型变为S域模型§2-3传递函数§2-4典型环节及其传递函数任何复杂的控制系统都是由最基本的典型环节所组成的，基本环节：基本方式和动态性能相同的环节。一、比例环节:输出随输入成比例变化其传递函数为：（1）弹性元件：位移随外力大小成比例变化，比例系数取决于元件的弹性大小，与输入输出无关。片簧金属膜片波汶管FFP传递函数位移在弹性范围内遵循虎克定律：§2-4典型环节及其传递函数（2）节流元件：前后压力差的大小随气流量成比例变化，比例系数取决于元件的气阻大小，与输入输出无关。传递函数为：§2-4典型环节及其传递函数（3）喷嘴挡板机构：输出压力随喷嘴挡板的开度成比例变化喷嘴挡板机构结构示意图恒节流孔背压室喷嘴挡板气源输出§2-4典型环节及其传递函数0.10MPa0.02MPa1022h(um)MPa喷嘴挡板机构的静特性⊿h---是挡板开度的变化；⊿p---是喷嘴背压的变化；忽略背压室气容影响时§2-4典型环节及其传递函数R1Rfu0uiii－＋（4）运算放大器§2-4典型环节及其传递函数二、积分环节:输出与输入对时间的积分成比例。例.R-C积分电路Cui－+uoiiR若k=1,则§2-4典型环节及其传递函数

气容:

△m--是空气储存量的增量；△p--是气压室压力增量.气容的传递函数:气体质量流量:因而p0pi节流盲室§2-4典型环节及其传递函数三、一阶惯性环节(非周期环节)

输入突变时，输出的变化滞后于输入的变化，并按一定的规律趋近于输入值。

传递函数微分方程式为:u0uiRCKRC电路p0piR节流盲室uiRfC-+R1uo运算放大电路§2-4典型环节及其传递函数1、RC电路的传递函数:微分方程式为:传递函数u0uiRCKRC电路2、节流盲室组成的一阶惯性环节:p0piR节流盲室§2-4典型环节及其传递函数uiRfC-+R1uo运算放大电路3、运算放大器§2-4典型环节及其传递函数四、一阶微分环节：输出与输入的微分成比例。设xi(t)=1，则Xi(s)=1/s因此，理想的微分环节在实际中并不存在。§2-4典型环节及其传递函数实际的微分环节：理想的微分环节与惯性环节的串联。RfuiC-+uoiiR1一阶微分：§2-4典型环节及其传递函数五、振荡环节(含有两种形式的储能元件)微分方程为:传递函数为:§2-4典型环节及其传递函数六、恒时延环节输入xi(t)与输出xo(t)之间有:其传递函数：1、测量元件离被控对象有一段距离；2、物料传输过程中，因距离远而产生时延。§2-4典型环节及其传递函数例2.质量－弹簧－阻尼器系统对传递函数的几点说明：

1、传递函数只适用于线性系统，而不适用于非线性系统。因为传递函数是在拉氏变换的基础上导出的，而拉氏变换是一种线性积分变换，只适用于线性微分方程，非线性系统不能用线性微分方程来描述，也就不能用传递函数表示。

2、传递函数中的各项系数与微分方程中的各项系数对应相等，完全由系统的内部结构、参数决定，而与输入量的大小和形式无关，故传递函数与微分方程一样，均可作为系统的动态数学模型。§2-4典型环节及其传递函数

3、传递函数的结构形式及参数虽然相同，但输入、输出的物理量不同，则代表的物理意义不同。从另一方面说，两个完全不同的系统（例如一个是机械系统，一个是电子系统），只要它们的控制性能一样，就可以有完全相同的传递函数。这就是在实验室做模拟实验的理论基础。

4、G(s)的拉氏逆变换是系统的脉冲响应：

5、传递函数只表明线性系统的零状态响应特性，它是由系统工作状态相对静止时得出的。这时可认为，对于相对给定的平衡点，系统输出量和输入量的初始值均为零，这才符合传递函数的定义。§2-4典型环节及其传递函数

6、传递函数分子多项式的阶次总是低于至多等于分母多项式的阶次，即m≤n。这是因为实际物理系统或元件中总是含有较多的惯性元件，以及能源又是有限的缘故。传递函数分母中S的最高阶次等于输出量导数的最高阶次。如果s的最高阶次为n，则系统称为n阶系统。§2-4典型环节及其传递函数7、传递函数的三种常用表示形式：（2）典型环节表示式：（3）零极点表示式:（1）定义表示式：§2-4典型环节及其传递函数§2-5系统方框图及其简化(*)一、系统方框图（Blockdiagram）基本符号（三要素）1.

传递函数的方框图表示：2.

加减点表示：3.

引出点表示：G(s)Xi(s)Xo(s)A(s)B(s)C(s)=A(s)±B(s)±A(s)A(s)A(s)G1(s)G2(s)Xi(s)Xo(s)1.串联方框的等效变换G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)Y(s)G(s)Xi

(s)Xo(s)二、系统方框图的等效变换法则§2-5系统方框图及其简化(*)G1(s)±G2(s)Xi(s)Xo(s)G(s)Xi(s)Xo(s)2.并联方框的等效变换G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)±§2-5系统方框图及其简化(*)Xi(s)Xo(s)Φ(s)Xi(s)Xo(s)G

(s)Xi(s)Xo(s)H(s)±3.反馈连接的等效变换§2-5系统方框图及其简化(*)4.比较点的(等效)移动C(s)A(s)B(s)±G

(s)C(s)A(s)B(s)±G

(s)1/G

(s)5.引出点的(等效)移动G(s)A(s)B

(s)A(s)G(s)A(s)B

(s)A(s)1/G(s)§2-5系统方框图及其简化(*)[例1]＋IR1(s)IC(s)U2(s)R2I(s)1/R1CsU1(s)－§2-5系统方框图及其简化(*)G2G3G1H1

H2_＋

Xi(s)Xo(s)＋＋＋

_G2G3G1H1H2/G1

_＋

Xi(s)Xo(s)＋＋＋_[例2]§2-5系统方框图及其简化(*)G2G3G1H1H2/G1

_＋

Xi(s)Xo(s)＋＋＋_G3H2/G1

_

Xi(s)Xo(s)＋＋_G1G21－G1G2H1[例2]§2-5系统方框图及其简化(*)_

Xi(s)Xo(s)＋G1G2G31－G1G2H1＋G2G3H2G1G2G31－G1G2H1＋G2G3H2＋G1G2G3

Xi(s)Xo(s)[例2]§2-5系统方框图及其简化(*)[例3]§2-5系统方框图及其简化(*)解：[例]：试建立图示机械系统的方框图(或结构图)。J1J2T2T1θok2fθik1θ1三、用方块图等效变换求物理系统的传递函数§2-5系统方框图及其简化(*)转动惯量-弹簧-阻尼系统[例1]：试建立图示机械系统的方框图(或结构图)。T2J1J2T1θok2fθik1θ1§2-5系统方框图及其简化(*)Θo(s)Θi(s)T1(s)－k1－k2T2(s)Θ1(s)－Θ1(s)－k1Θi(s)T1(s)T2(s)－Θ1(s)Θo(s)－k2T2(s)Θo(s)建立控制系统各元件的微分方程。注意分清各元件的输入和输出，同时考虑相邻元件之间的负载效应。1.按照系统中各变量的传递顺序，依次将各元件的框图连接起来，便得到系统的方框图。3.对各元件的微分方程进行拉氏变换，并做出各元件的方框图表示。2.绘制系统方框图的步骤Θi(s)－－k2Θo(s)－k1对上述系统进行化简：§2-5系统方框图及其简化(*)u1u2i1i2R1R2C1C2uc1作业：2-1,2-6,2-7,2-8,2-10,2-15另：求图示电路的传递函数§2-6反馈系统的开环与闭环传递函数自动控制系统在工作过程中会受到外加信号的作用，其中一种信号是控制信号或输入信号；另一种是干扰信号或扰动信号。输入信号加在系统的输入端，而干扰信号多作用于受控对象。一个典型的闭环自动控制系统的结构如下图所示：G1(s)G2(s)H(s)N(s)R(s)C(