第一章 函数及其图形

主讲人：白永丽主讲单位：文教部高等数学第一节函数一.常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量,而数值变化的量称为变量.注意：常量与变量是相对“过程”而言的.常量与变量的表示方法：通常用字母a,b,c,

…

等表示常量;用字母

x,y,z,…等表示变量.

1、常量与变量2、区间是指介于某两个实数之间的全体实数.称为开区间,称为闭区间,这两个实数叫做区间的端点.称为半开区间,称为半开区间,有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3、邻域:二、函数的概念定义说明：⑷不同的对应法则表示不同的函数,如)(xfy=、)(xgy=、)(xyj=等等。（5）、函数是由定义域与对应法则所确定的,因此,对于两个函数来说,当且仅当它们的定义域和对应法则都分别相同时,才表示同一函数.而自变量和函数用什么字母表示无关.因此,函数的定义包括两个要素:定义域与对应法则.当定义域与对应法则确定后函数就确定了.只有定义域与对应法则相同的函数才是相同的函数.以下函数属于用公式法表示的函数关系：在定义域的不同范围内用不同的数学解析式表示的函数称为分段函数三、函数的表示法：公式法、表格法和图示法（1）分段函数：例2设函数求解例3求函数及的定义域.其中sgnx

称为符号函数注意:分段函数是一个函数,而不是几个函数f(x)定义域是g(x)定义域是解：故函数的定义域为自变量与函数的对应关系是用一个方程确定的。例4求函数的定义域:解：要使函数有意义,必须即所以(2)隐函数：如等.相应地,像等函数称为显函数.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化．练习解解四、反函数定义设函数的定义域是D,值域为M,如果对于M中的任一个y值,通过关系式,都有唯一确定的D中的x与之对应,这样就确定了一个以y为自变量的函数,称为函数的反函数,记作,它的定义域为M,值域为D.习惯上把写成的形式.求反函数可按下面两步骤完成:（1）在函数关系式中,将y作为已知数,求出x,即得.（2）在中交换变量得.函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称.第二节、函数的几种特性1.奇偶性

偶函数的图象关于y轴对称，

设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意，都有，则称为奇函数，都有，则称为偶函数;否则，称为非奇非偶函数.定义奇函数的图象关于原点对称所以是偶函数（2）因为的定义域,不是关于原点的对称区间,所以是非奇非偶函数（1）因为定义域为,且有:例5判断下列函数的奇偶性:解如xycos=在区间),(+¥-¥上是偶函数(如图1.1)如3xy=在),(+¥-¥上是奇函数(如图1.2)函数xxy2sin4+=在),(+¥-¥上是非奇非偶函数(如图1.3)图1.1图1.2图1.32.单调性设和为区间内的任意两个数.若当时,恒有，则称函数在内单调增加,或称递增；恒有则称函数在内单调减少,或称递减.定义单调增函数图象沿x轴正向上升，单调减函数图象沿x轴正向下降设函数)(xfy=的定义域为D

,区间DIÌ如果存在一个正数M,使得对于任意IxÎ

,都有Mxf£|)(|,则称函数)(xf在I上有界

,也称)(xf是I上的有界函数

.否则,称函数)(xf在I上为无界函数3、有界性但它在区间),1[+¥上却是有界的。又如：1)函数xyarctan=

,在区间),(+¥-¥上都有2|arctan|p<x成立,因此xyarctan=为有界函数。

12)函数xy=在区间)1,0(上是无界函数4、周期性设函数)(xfy=的定义域为D,若存在一个正数0¹T

,使得对于任意DxÎ

,必有DTxα并且使恒成立,则称)(xf为周期函数

,T称为函数)(xf的周期。如xysin=是以p2为周期的函数周期函数的周期通常是指它的最小正周期。说明：图1.7定义基本初等函数(elementaryfunctions)2．幂函数

y=ux(μ是常数)3．指数函数

y=xa(a是常数且a>0,a≠1)4．对数函数

y=xalog(a是常数且a>0,a≠1)5．三角函数

y=sinx,y=cosx,y=tanx,

y=cotx,y=secx,y=cscx6．反三角函数

y=arcsinx,y=arccosx,

y=arctanx,y=arccotx1．常数函数y=C(C为常数)第四节初等函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数对数函数都过点(1,0)，当底数大于1时单增，底数小于1时单减.4.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5.反三角函数反正弦函数

幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2．复合函数定义设y是u的函数,，而u是x的函数，，若的值域,那么称为与的复合函数,简称为x的复合函数,u为中间变量,其定义域为.例6解：即得所求复合函数中有时，一个复合函数可能由三个或更多的函数复合而成．例如，由函数和可以复合成函数其中u和v都是中间变量反之，分析一个复合函数的复合结构一般由外向里，每一步都应是基本初等函数的形式．是由复合而成.是由复合而成例7指出下列复合函数的复合过程.解因为,所以它是由，复合而成.因为,所以它是由，复合而成的.

注意1.分解复合函数时应把各层函数分解到基本初等函数或基本初等函数及常数经有限次四则运算所构成的函数时为止.注意2：不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的.例如与就不能复合成一个复合函数;例8设，求解：练习1.下列函数是由哪些函数复合而成的？解解解解

3．初等函数定义由基本初等函数及常数经过有限次四则运算或有限次复合步骤所构成且能用一个式子表示的函数称为初等函数.按初等函数的定义,初等函数须用一个式子表示,如果一个函数必须用几个式子表示时,那么它就不是初等函数,例如:就不是初等函数,而称为非初等函数.例如,都是初等函数.第五节建立函数关系式举例

P17-19在实际问题中建立函数关系的大致步骤如下:（1）先分析出问题中的常量、变量,再进一步分析出变量中的自变量和函数;（2）把常量、自变量和函数用适当的字母或符号表示出来;（3）根据数学的、物理的等社会生活的各专业知识列出上述各量的等量关系;（4）写出满足实际问题的函数的定义域;应用函数关系，求出实际问题的解.小结二、函数的概念三、函数的几种特性（1）函数的奇偶性（2）函数的单调性（3）函数的周期性（4）函数的有界性四、初等函数（1）基本初等函数（2）复合函数（3）简单函数（4）初等函数作业P20-21总复习题一(A)3(1)(3)(5)，

5，12一、集合笛卡儿

(1596～1650)给出了几何问题的统一法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数