第4章 电路定律

第4章

电路定理

(CircuitTheorems)

4.1叠加定理(SuperpositionTheorem)

4.2替代定理(SubstitutionTheorem)

4.3戴维宁定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)

4.5特勒根定理(Tellegen’sTheorem)

4.6互易定理(ReciprocityTheorem)

4.7对偶原理(DualPrinciple)

4.4最大功率传输定理

重点:掌握各定理的内容、适用范围及如何应用。1.叠加定理在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。4.1叠加定理

(SuperpositionTheorem)2.定理的证明G1is1G2us2G3us3i2i3+–+–1用节点法：(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1R1is1R2us2R3us3i2i3+–+–1或表示为：支路电流为：节点电压和支路电流均为各电源的一次函数，均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。

结论3.几点说明1.叠加定理只适用于线性电路。2.一个电源作用，其余电源为零电压源为零—短路。电流源为零—开路。R1is1R2us2R3us3i2i3+–+–1三个电源共同作用R1is1R2R31is1单独作用=+us2单独作用us3单独作用+R1R2us2R3+–1R1R2us3R3+–13.功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为电源的二次函数)。4.u,i叠加时要注意各分量的参考方向。5.含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于独立源，受控源应始终保留。作业中的问题电阻的串并联等效变换广义回路的应用输入电阻的求解对外等效，对内不等效外虚内实元件4.叠加定理的应用例1求电压U.812V3A+–632+－U83A632+－U(2）812V+–632+－U(1)画出分电路图＋12V电源作用：3A电源作用：解例2＋－10V2A＋－u2332求电流源的电压和发出的功率＋－10V＋－U（1）23322A＋－U（2）2332＋画出分电路图为两个简单电路10V电源作用：2A电源作用：例3u＋－12V2A＋－13A366V＋－计算电压u。画出分电路图13A36＋－u（1）＋＋－12V2A＋－1366V＋－u

(2）i(2)说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。3A电流源作用：其余电源作用：例4计算电压u电流i。画出分电路图u（1）＋－10V2i(1)＋－12＋－i（1）＋u＋－10V2i＋－1i2＋－5Au(2)2i(2)＋－1i(2)2＋－5A受控源始终保留10V电源作用：5A电源作用：例5无源线性网络uSi－＋iS封装好的电路如图，已知下列实验数据：解根据叠加定理，有：代入实验数据，得：研究激励和响应关系的实验方法例6.采用倒推法：设i'=1A。则求电流i。RL=2R1=1R2=1us=51V+–2V2A+–3V+–8V+–21V+–us'=34V3A8A21A5A13AiR1R1R1R2RL+–usR2R2i'=1A解5.齐性原理（homogeneityproperty)齐性原理线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的倍数。当激励只有一个时，则响应与激励成正比。可加性(additivityproperty)。4.2替代定理(SubstitutionTheorem)对于给定的任意一个电路，若某一支路电压为uk、电流为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或者用一个电流等于ik的独立电流源，或用一R=uk/ik的电阻来替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。ik

1.替代定理支路

k

ik+–uk+–ukik+–ukR=uk/ikAik+–uk支路

k

A+–ukukukuk－＋＋－Aik+–uk

支路

k

证毕!

2.定理的证明＝例求图示电路的支路电压和电流。＋－i31055110V10i2i1＋－u解替代＋－i31055110Vi2i1＋－60V替代以后有：替代后各支路电压和电流完全不变。替代前后KCL,KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。原因注：1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。3.替代后其余支路及参数不能改变。2.替代后电路必须有唯一解无电压源回路；无电流源节点(含广义节点)。1.5A10V5V25＋－－＋2.5A1A

5V+－？？例1若要使试求Rx。3.替代定理的应用0.50.5+10V31RxIx–+UI0.5＋－解用替代：=+0.50.51–+UI0.50.50.51–+U'I0.50.50.51–+U''0.5U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2例2试求I1。解用替代：65+–7V36I1–+1＋－2+－6V3V4A4244A＋－7VI1I1IRR83V4b＋－2+－a20V3I例3已知:uab=0,求电阻R。C1A解用替代：用结点法：例42V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。44V103A＋－2+－2V210解0.5AII110V＋－2+－2V251应求电流I，先化简电路。应用结点法得：例5已知:uab=0,求电阻R。解用断路替代，得：短路替代：442V300.5A＋－6025102040badcR1A4.3戴维宁定理和诺顿定理

(Thevenin-NortonTheorem)工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),使分析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。1.戴维宁定理任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。AabiuiabReqUoc+-uI例Uocab+–Req515V-+(1)求开路电压Uoc(2)求等效电阻Req1010+–20V+–U0Cab+–10V1A52A+–U0Cab2.定理的证明+abAi+–uN'iUoc+–uN'ab+–ReqabAi+–uabA+–u'abPi+–u''Req则替代叠加A中独立源置零3.定理的应用(1)开路电压Uoc

的计算等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。常用下列方法计算：（2）等效电阻的计算

戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计算。23方法更有一般性。

等效变换法：当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y互换的方法计算等效电阻；1开路（电压）短路（电流）法。3外施电源法（加压求流或加流求压）。2abPi+–uReqabPi+–uReqiSCUocab+–Req(1)外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(2)当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。注：例1.计算Rx分别为1.2、

5.2时的I；IRxab+–10V4664解保留Rx支路，将其余一端口网络化为戴维宁等效电路：ab+–10V466–+U24+–U1IRxIabUoc+–RxReq(1)求开路电压Uoc=U1+U2

=-104/(4+6)+106/(4+6)=-4+6=2V+Uoc_(2)求等效电阻ReqReq=4//6+6//4=4.8(3)Rx

=1.2时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.333ARx=5.2时，I=Uoc/(Req+Rx)=0.2A求U0。336I+–9V+–U0ab+–6I例2.Uocab+–Req3U0-+解(1)求开路电压UocUoc=6I+3II=9/9=1AUoc=9V+–Uoc(2)求等效电阻Req方法1：加压求流U0=6I+3I=9II=I06/(6+3)=(2/3)I0U0=9(2/3)I0=6I0Req=U0/I0=636I+–U0ab+–6II0方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V)6I1+3I=9I=-6I/3=-2II=0Isc=I1=9/6=1.5AReq=Uoc/Isc=9/1.5=636I+–9VIscab+–6II1独立源置零独立源保留(3)等效电路abUoc+–Req3U0-+69V计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。求负载RL消耗的功率。例3.10050+–40VRLab+–50VI14I1505解(1)求开路电压Uoc10050+–40VabI14I150+–Uoc10050+–40VabI1200I150+–Uoc–+(2)求等效电阻Req用开路电压、短路电流法Isc50+–40VabIsc50abUoc+–Req52510V＋－50VIL已知开关S例4.1A＝2A2V＝4V求开关S打向3，电压U等于多少解线性含源网络AV5U+－S1321A＋－4V任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。4.诺顿定理诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法证明。证明过程从略。AababGeq(Req)Isc例1求电流I

。12V210+–24Vab4I+–(1)求短路电流IscI1=12/2=6A

I2=(24+12)/10=3.6AIsc=-I1-I2=-3.6-6=-9.6A解IscI1

I2(2)求等效电阻ReqReq=10//2=1.67(3)诺顿等效电路:Req210ab应用分流公式4Iab-9.6A1.67I=2.83A例2求电压U。36+–24Vab1A3+–U666(1)求短路电流IscIsc解本题用诺顿定理求比较方便。因a、b处的短路电流比开路电压容易求。(2)求等效电阻ReqReq(3)诺顿等效电路:Iscab1A4＋－U4.4最大功率传输定理一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工程意义的。Ai+–u负载iUoc+–u+–ReqRL应用戴维宁定理RL

P0Pmax最大功率匹配条件对P求导：例RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。20+–20Vab2A+–URRL10(1)求开路电压Uoc(2)求等效电阻Req＋－UocI1I220+–Iab+–UR10UI2I1(3)由最大功率传输定理得:时其上可获得最大功率注最大功率传输定理用于一端口电路给定,

负载电阻可调的情况;一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大功率时,电路的传输效率并不一定是50%;计算最大功率问题结合应用戴维宁定理或诺顿定理最方便.

4.5特勒根定理

(Tellegen’sTheorem)1.特勒根定理1

任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:功率守恒定理证明：

表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。4651234231应用KCL:123支路电压用结点电压表示1.特勒根定理2任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足:46512342314651234231拟功率定理定理证明：对电路2应用KCL:123例1(1)R1=R2=2,Us=8V时,I1=2A,U2=2V(2)R1=1.4,R2=0.8,Us=9V时,I1=3A,求此时的U2。解把（1）、（2）两种情况看成是结构相同，参数不同的两个电路，利用特勒根定理2由(1)得：U1=4V,

I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A无源电阻网络

P–+U1+–UsR1I1I2–+U2R2

例2.解P–+U1–+U2I2I1P–+–+2已知：

U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A应用特勒根定理需注意：（1）电路中的支路电压必须满足KVL;（2）电路中的支路电流必须满足KCL;（3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；（否则公式中加负号）（4）定理的正确性与元件的特征全然无关。4.6互易定理(ReciprocityTheorem)互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。1.互易定理对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。情况1i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)激励电压源电流响应cd线性电阻网络NRi1+–uS2ab(b)当uS1=

uS2

时，i2=

i1

则两个支路中电压电流有如下关系：证明:由特勒根定理：即：两式相减，得i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)将图(a)与图(b)中支路1，2的条件代入，即:即：证毕！i2线性电阻网络NR+–uS1abcd(a)cd线性电阻网络NRi1+–uS2ab(b)情况2激励电流源电压响应u2线性电阻网络NR+–iS1abcd(a)cd线性电阻网络NRu1+–iS2ab(b)则两个支路中电压电流有如下关系：当iS1=

iS2

时，u2=

u1

情况3则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：当iS1=

uS2

时，i2=

u1

激励电流源电压源图b图a电流响应图b图a电压i2线性电阻网络NRiS1abcd(a)cd线性电阻网络NRu1+–uS2ab(b)+–(3)互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下，两个支路电压电流关系。(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源搬移；(2)互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都关联，要么都非关联)；(4)含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理分析电路时应注意：例1求(a)图电流I，(b)图电压U。解利用互易定理16I+–12V2(a)4(b)124+–U66AI＋－12V+－U6A例22124+–8V2Iabcd求电流I。解利用互易定理I1=I'2/(4+2)=2/3AI2=I'2/(1+2)=4/3AI=I1-I2=-2/3A2124+–8V2IabcdI1I2I'例3测得a图中u1＝10V，u2＝5V，求b图中的电流I。解1(1)利用互易定理知c图的u1+–u2线性电阻网络NR+–2Aabcd(a)cd线性电阻网络NR2Aab(b)+–5Icd线性电阻网络NR2Aab(c)+–+–cd线性电阻网络NRReqab(d)55+–5VabI(2)结合a图，知c图的等效电阻：戴维宁等效电路解2应用特勒根定理：例4问图示电路与取何关系时电路具有互易性。解在a-b端口加电流源，解得：131+–UIabcdI+–UISIS131+–UIabcdI+–U在c-d端口加电流源，解得：如要电路具有互易性，则：一般有受控源的电路不具有互易性。4.7对偶原理

(DualPrinciple)从电路变量、电路元件、电路结构、电路定律和电路定理以及电路分析方法、电路方程都存在着相类似的一一对应关系，这种关系称为电路的对偶关系。1.对偶原理电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应地互换后，所得新关系（或新方程）也一定存在，后者和前者互为对偶，这就是对偶原理。+_R1Rn+_U

ki+_u1+_unuRkinG1G2GkGni+ui1i2ik_电阻串联与电导并联的对偶+-Us1R1R2+-Us2R3im1im2iS1G1G3G221iS2互对为偶的两个平面电路在电路问题求解中，可以应用对偶原理作为电路分析的新工具，当已知某一电路的结构、电路方程及电路解答，通过对偶元素的互换，可直接得到与它对偶电路的结构、电路方程及电路解答，这就是对偶方法。电路变量对偶电压u电流i网孔电流imk节点电压unk电路元件对偶电阻元件R电导元件G独立电压源us独立电流源is短路开路电路结构对偶电阻串联电导并联网孔节点电路定律、电路定理及电路方程对偶KVLKCL戴维南定理诺顿定理网孔电流方程节点电压方程电路对偶关系熟练掌握叠加、戴维南和诺顿、替代、特勒根、互易等定理的应用.电路定理习题课1.求

Ix.24V6A35Ix4Ix+–+–24V35Ix'4Ix'+–+–解：6A35Ix''4Ix''+–+24V电压源单独作用6A电流源单独作用5IX+3IX+4IX=24IX=2A5IX+3(IX+6)+4IX=0IX=1.5AIX=IX+IX=2-1.5=0.5A*注意:独立源可以进行叠加，受控源不叠加。2-1.用戴维南定理或诺顿定理求图示各二端网络的等效电路。(1)求开路电压Uoc(2)求等效电阻Req(1)求开路电压Uoc(2)求等效电阻Req2-2.用戴维南定理或诺顿定理求图示各二端网络的等效电路。Isc(1)求短路电流Isc(2)求等效电阻Req(1)求短路电流Isc(2)求等效电阻Requu2u3.求电流

I。用戴维南定理：

Us

45VIs

15A346246.4I+-abUoc

Us

45VIs

15A34624+-+-解：abUocReq+-Uoc'=U1'+U2'=30-9=21VUoc''=U1''+U2''=0+12=12VUoc=Uoc'+Uoc''=21+12=33V求开路电压Uoc(叠加):abUoc'

Us

45V34624+-+-+-U1'+-U2'abUoc''Is

15A34624+-+-U1''+-U2''求内阻Req：Req=2+1.6=3.6I=33/(3.6+6.4)=3.3Aab346246.4IReqab33V3.6+4.用戴维南定理求I。I8246665U11A12V+–U1+–ab246665U11A12V+–U1+–Uoc'=U1=8V,Uoc''=U2+U3=-4-2=-6V,Uoc=8