2011年高考数学理一轮复习 9-3直线和平面垂直、平面与平面垂直精品课件

第三节直线和平面垂直、平面与平面垂直知识自主·梳理最新考纲1.掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理．2．掌握斜线在平面上的射影的概念．3．掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．高考热点1.以选择题形式考查线面、面面位置关系的判定和性质．2．以解答题的形式考查多面体中的线面垂直或面面垂直.1.直线和平面垂直(1)定义：如果一条直线l和一个平面α内的

，那么就说这条直线l和平面α互相垂直．(2)判定方法ⅰ.定义ⅱ.判定定理：任意一条直线都垂直2．两个平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是

，就说这两个平面互相垂直．直二面角1．无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”．重点辨析2．在线面垂直和面面垂直的判定定理，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”“一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这即为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性．3．三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直(这是前提)；二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂直，构成定理的五个元素是“一面四线”．运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线．方法规律·归纳题型一直线和平面垂直的判定与性质思维提示①线面垂直的定义②线面垂直的判定定理③注意垂直关系的相互转化例1如图，AC⊥平面α，AB∥平面α，CD⊂α，点M是AC的中点，点N是BD的中点，若AB＝4，AC＝2，CD＝4，BD＝6.(1)求证：AB⊥平面ACD；(2)求证：MN为AC与BD的公垂线，并计算MN的长．(2)如图，过B作BE⊥平面α于E，∵AB∥平面α，AC⊥平面α，∴四边形ABEC是矩形．[规律总结]

(1)证线面垂直，需先有线线垂直，在△BAD中应用勾股定理的逆定理，可判断出AB⊥AD，即通过计算来证明垂直关系，这在高考题中也是常用的方法之一．(2)直角三角形的一条直角边平行于平面，则直角在该平面内的射影仍为直角，将图形补充完整，把证MN⊥BD转化为证CF⊥平面BDE.等腰三角形底边的中线垂直于底边是我们常遇到的一种类型．做这种类型题时，应注意抓住这一点．另外反复运用线面垂直的性质定理与判定定理，是解决本题的基本方法.备选例题1如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，A1A＝，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面ABB1A1；(2)在BB1上找一点F，使AB1⊥平面C1DF，并说明理由．解：(1)证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥平面A1B1C1.又C1D⊂平面A1B1C1，∴C1D⊥A1A，又A1C1＝B1C1＝AC＝BC＝1，D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1，∴C1D⊥平面ABB1A1.(2)作DE⊥AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF.这是因为AB1⊥DF，AB1⊥C1D，DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.题型二两个平面垂直的判定思维提示①利用定义证明两个平面所成的二面角是直角②利用面面垂直的判定定理证明一个平面经过另一个平面的一条垂线例2如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面MDB⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.[分析](1)要证明DE＝DA，只需证明Rt△DEF≌Rt△DAB.(2)注意到M为EA中点，可取CA中点N，先证明N点在平面BDM内，再证明BN与平面ECA垂直即可．(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线．[规律总结]

在证明两平面垂直时，

一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用.备选例题2

(2010·菏泽模拟)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角；(3)证明：面AED⊥面A1FD1.解：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴AD⊥平面DCC1D1.∵D1F⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1F.(2)设G为AB的中点，连结A1G、FG，因为F是CD的中点，所以GF∥AD，且GF＝AD.又A1D1∥AD，且A1D1＝AD，所以四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F.设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角．因为E是BB1的中点，所以△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠A1HA＝90°，故直线AE与D1F所成的角为90°.(3)证明：由(1)(2)得：D1F⊥AD，D1F⊥AE，AD∩AE＝A，∴D1F⊥平面AED，∴平面A1D1F⊥平面AED，即平面AED⊥平面A1D1F.题型三两个平面垂直的性质思维提示①面面垂直的性质定理②线线、线面、面面垂直的相互转化例3已知：三棱锥P－ABC，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．[分析]

已知条件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到平面垂直的性质定理，便有如下解法．[证明]

(1)在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又PA⊂平面PAC.，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证：DG⊥PA.DG、DF都在平面ABC内且DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连结BE并延长交PC于H，∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC，又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．

[规律总结]

已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．第(2)问的关键是灵活利用(1)问的结论.备选例题3

(2010·泉州模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D为侧面ABB1A1的中心，E为BC的中点．(1)求证：平面DB1E⊥平面BCC1B1；(2)求异面直线A1B与B1E所成的角．解：(1)证明：连结AE.∵AB＝AC，且E为BC的中点，∴AE⊥BC，∵BB1⊥平面ABC，∴AE⊥BB1，∴AE⊥平面BCC1B1，∴平面DB1E⊥平面BCC1B1.题型四三垂线定理及其逆定理的应用思维提示①线线垂直、线面垂直的判定与性质②三垂线定理及其逆定理例4如图所示，△ADB和△ADC都以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.(1)求证：BD⊥平面ADC；(2)若H为△ABC的垂心，求证：H是D在平面ABC内的射影；(3)若M、N分别是△ABD与△BCD的重心，求证：MN∥面ADC.[分析]

(1)“射影”与“垂直”相连，“证线面垂直，先找线线垂直”；(2)“垂心”是“高”的交点，线线垂直，由此根据三垂线定理去找；(3)“重心”有个性质，把中线分为2∶1，“平行”当然由平行截割定理而得到．[证明]

(1)∵AD＝BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD≌△ACD，AB＝AC.又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴AB＝BC.∴△ABD≌△BCD，∴△BDC为直角三角形，∠BDC＝90°，BD⊥CD.又BD⊥AD，AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ADC.(2)如图所示，设D在△ABC内的射影为H′，连结CH′延长并交AB于E，∵CD⊥AD，且CD⊥DB，∴CD⊥面ADB，∴CD⊥AB，由三垂线定理得CE⊥AB.同理，连BH′并延长交AC于F，BF⊥AC.∴H′为△ABC的垂心，即D在平面ABC内射影为△ABC的垂心，∴H′与H重合，H是垂心．[规律总结]

三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜线的射影(或斜线)垂直；三是这条直线与斜线(或射影)垂直，构成定理的五个元素是“一面四线”，运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面→作出垂线→找到斜线→连成射影→找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线.备选例题4如图所示，△ABC所在平面α外一点P，已知PA⊥BC，PB⊥AC.求证：(1)P在平面α内的射影是△ABC的垂心；(2)PC⊥AB.证明：(1)作PO⊥平面α于O点，连结AO，并延长交BC于D.连结BO并延长交AC于E.∵PA⊥BC，∴BC⊥AD(三垂线定理逆定理)．同理，AC⊥BE，∴O为△ABC的垂心．(2)连结OC，∵O为△ABC的垂心，∴AB⊥CO.又∵PO⊥平面α，∴AB⊥PC(三垂线定理).例1证明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上．[解题思路]

如图，AC是平面α的斜线，点C是斜足，AB⊥α，点B是垂足，则BC是AC在平面α上的射影．在AC上任取一点P，过点P作PO⊥α，垂足为O.∵AB⊥α，∴PO∥AB，∵点P在A、B、C三点确定的平面上，因此，PO⊂平面ABC，∴O∈BC.[错因分析]

对于平面α，直线AB是垂线，垂足B是点A的射影；C是斜足，直线BC是斜线AC的射影．在AC上任取一点P，过P作PO⊥α交BC于O，∴点P在平面α上的射影在BC上．这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，点在这条斜线在该平面射影上的理论根据不足，过点P作PO⊥α交BC于O，恰恰是本题易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对