初中数学专题训练-圆-圆的内接四边形

初中数学初中数学精品设计精品设计例圆内接四边形ABCD中，ZA、ZB、ZC的度数的比是3：2：7,求四边形各内角度数.解：设ZA、ZB、ZC的度数分别为3x、2x、7x.TABCD是圆内接四边形....ZA+ZC=180°即3x+7x=180°,.•・x=18°..•・ZA=3x=54°,ZB=2x=36°,ZC=7x=126°,又VZB+ZD=180°,.•・ZD=180°—36°=144°.说明：①巩固性质；②方程思想的应用.例（2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知人。是4ABC的外角ZEAC的平分线,AD与三角形ABC的外接圆相交于D.求证：DB=DC.分析：要证DB=DC,只要证ZBCD=ZCBD，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质,即可解决.证明：TAD平分ZEAC,・.ZEAD=ZDAC,TZEAD为圆内接四边形ABCD的外角，.ZBCD=ZEAD,又ZCBD=ZDAC,.ZBCD=ZCBD,.DB=DC.说明：角相等的灵活转换,利用圆内接四边形的性质作桥梁.例如图，△ABC是等边三角形，D是EC上任一点，求证：DB+DC=DA.分析：要证明一条线段等于两条线段的和,往往可以“截长”和“补短”法,本题两种方法都可以证明.证明：延长DB至点E,使BE=DC,连AE.在AAEB和厶ADC中，BE=DC.△ABC是等边三角形..AB=AC.•/四边形ABDC是0O的内接四边形，.ZABE=ZACD.•••△AEB9AADC..ZAEB=ZADC=ZABC.TZADE=ZACB,又TZABC=ZACB=60°,.ZAEB=ZADE=60°..△AED是等边三角形,.AD=DE=DB+BETBE=DC,.DB+DC=DA.说明：本例利用“截长”和“补短”法证明.培养学生“角相等的灵活转换”能力.在圆中圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系,应重视.典型例题四例）A.解如图，ABCD是0O的内接四边形，AH丄CD，如果ZHAD二30。，那么例）A.解90°B.120°C.135°D.150ZHAD=30。,ZAHD=90。，

ZD二60。,由圆内接四边形的对角和是180°，得ZB=120。，故选B.说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.典型例题五例如图，已知：叩与。O2相交于点A、B，P是。Oi上任意一点，处PB的延长线交0O于点c、D,OO的直径PE的延长线交CD于点21M.求证：PM丄CD.分析：要证PM丄CD，即证ZDPM+ZD二90。，连结公共弦AB及EB,即得证.证明：连结AB、EB,在。中，ZPAB=ZPEB.VABCD为。O2的内接四边形.・•・ZPAB=ZD,ZPEB=ZD.•:PE为0O的直径.ZPBE=90°.1ZDPM+ZPEB=90°.ZDPM+ZD=90°.ZDMP=90°.即PM丄CD.说明：连接AB就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.典型例题六例如图，AD是AABC外角ZEAC的平分线，AD与AABC外接0O交于点D，N为BC延长线上一点，且CN=CD,DN交0O于点胚求证：（1）DB=DC；（2）DC2=CM-DN.分析：（1）由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式DC2=CM-DN.，只须证比例式DCCMDCCM=，也即=DNDCDNCN证明(1)连结DC.

TAD平分ZEAC,.•・ZEAD二ZDAC二ZDBC.又ABCD内接于OO,.•・ZEAD=ZDCB.故ZDBC=ZDCB.DB=DC.(2)ZDMC=180。—ZDBC=180。—ZDCB=ZDCN,ZCDM=ZNDC.DC・•・MDMCsDC・•・MDMCsACN，故页=CM~CNCMdN:.DC2=CM-DN.说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.典型例题七例如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，EB是OO的直ABBC径,且EB丄AD,AD与BC的延长线相交于F.求证：卡=.FDDC证明连结AC.・.•AD丄EBAB=BDZACB=ZDAB.•・•四边形ABCD是圆内接四边形,.•・ZFCD=ZDAB,ZFDC=ZABC.•ZACB=ZFCD.・•・^ABCsAFDC,•・AB=BC.FDDC说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造AABC，再证AABCsAFDC.易错点是不易想到证ZFCD=ZACB而使解题陷入困境或出现错误.典型例题八例如图，已知四边形ABCD内接于半圆O,AB是直径，AD=DC，分别延长BA,CD交于点E,BF丄EC，交EC的延长线于F,若EA=AO,BC=12，求CF的长.解连结OD,BD.•AD=DC,•-也=皿.6必=寺处的度数=也的度数=zaoD..OD//BC.初中数学初中数学初中数学初中数学精品设计精品设计精品设计精品设计ODEO•…~bc~~EB.EA=AO=BO,BC=12,A°D=-123aOD=8.aAB=16,EB=24.•ABCD内接于0O,AZEDA二ZEBC.又ze公用，・•・aeda“”•・AD=EA=ED.设AD设AD=DC=x,ED=y则有12=24=x=4\：2.AD=4“2.•AB为0O的直径，・•・ZADB=ZF=90°.又ZDAB二ZFCB.:,RtAADBsRtACFB.AD=AD=竺即空二兰CFBCCF12:.CF=3迈.说明本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.典型例题九例（海南省，2000）如图，AB是0O的直径，弦（非直径）CD丄AB,p是0O上不同于C,D的任一点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，ZAPC与ZAPD的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时，ZAPC与ZAPD的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P点与A点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.解•・•弦CD丄AB，AB是直径，・•・■«""・（1）ZAPC=ZAPD.(2)ZAPC+ZAPD=180°.ZAPC=-j-AC的度数=*骯的度数=ZAPO.AAPC+zLAPD=知"、度数+*去度数=*00=180。（如图中虚线所示）.选择题在圆的内接四边形ABCD中，ZA和它的对角ZC的度数的比为1:2,那么ZA为（）

A．30°B．60°C．90°C．120°四边形ABCD内接于圆，ZA、ZB、ZC、ZD的度数依次可以是()A．1：2：3：4B．6：7：8：9C．4：1：3：2D．14：3：1：12四边形ABCD内接于圆，ZA、ZB、ZC、ZD的度数比依次可以是()A．1:2:3:4B．4:2:3:1C．4:3:1:2D．4:1:3:2A.125。B.110。c.55。A.125。B.110。c.55。D.70。5.如图，OO与。O交于A、B两点，且。O过。O的圆心O，若ZM二40。，则ZN12等于()B.80。A.40。圆内接平行四边形一定是()(A)矩形(B)正方形已知AB、CD是0O的两条直径，A.矩形B.菱形C.正方形四边形ABCD内接于圆，则ZA、21c.(D)梯形)(C)菱形则四边形ADBC一定是(D.等腰梯形ZB、ZC、ZD的度数比可以是((A)1：2：3：4(A)1：2：3：4(B)7：5：10：8(C)13：1：5：17(D)1：3：2：49、若ABCD为圆内接四边形，AE丄CD于E，ZABC=130。，贝JZDAE为()(A)50°(B)40°(C)30°(D)20°10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线相交于P,对角线AC和BD相交于点Q,则图中共有相似的三角形()(A)4对(B)3对(C)2对(D)1对PB11.如图，在AABC，AD是高，AABC的外接圆直径AE交BC边于点G,有下列四个结论•(1)AD2=BD-CD；(2)BE2=EG-AE；(3)AE-AD=AB-AC；(4)AG-EG=BG-CG.其中正确的结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个12.已知：如图，劣弧金=40。，那么ZB+ZD的度数是()A．320°B．160°C．150°D．200°13．钝角三角形的外心在（）A•三角形内B•三角形外C.三角形的边上D•上述三种情况都有可能14．圆内接平行四边形的对角线（）A.互相垂直B.互相垂直平分C.相等D.相等且平分每组对角列命题错误的是（）A.AABE=ADCEC.S二24.5四边形ABCD答案：1.B2.D3.C4.A5.D14.列命题错误的是（）A.AABE=ADCEC.S二24.5四边形ABCD答案：1.B2.D3.C4.A5.D14.D15.D.10、A.11.B12.B13.BB.ZBDA二45。D.图中全等的三角形共有2对TOC\o"1-5"\h\z6、A；7.A8、C；9、B填空题已知ABCD是圆内接四边形，若ZA与ZC的度数之比是1：2,则ZA的度数是度.若A，B，C，D四点共圆，且ZACD为36°，则盒所对的圆心角的度数是度.圆内接四边形相邻三个内角的比是2：1：7，贝y这个四边形的最大角的度数为度.圆上四点A、B、C、D，分圆周为四段弧，且①m门八心=1:2:3:4，则圆内接四边形ABCD的最大角是圆内接四边形ABCD中，若ZEBC是ZABC相邻的一个外角，且ZEBC=105。，ZC二93。，贝yZD=ZA=，若ZA:ZB:ZC二1:2:3，则ZD=，ZA=四边形ABCD内接于圆，ZA、ZC的度数之比是5:4，ZB比ZD大30。，则ZA=，ZD=圆内接梯形是梯形，圆内接平行四边形是圆内接四边形ABCD中，如果ZA:ZB:ZC=2:3:4，那么ZD=度.在圆内接四边形ABCD中，ZA:ZB:ZC二4:3:5，则ZD=10.如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=30°,AC，贝V四边形ABCD11•如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在处的中点A，若BC二5，则折痕在AABC内的部分DE长为.1.60°；2.72°；3.160°;4.1261.60°；2.72°；3.160°;4.126。5.105。，87。，90。，45。;6.100。,75。7.等腰,矩形.8.909.120°10.込a211.4101判断题顶点在圆上的角叫做圆周角；（）相等的圆周角所对的弧相等；（）直角所对的弦是直径；（）在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）弓形含的圆周角为120。，贝弓形弧也为120。；（）四边形的对角互补.（）答案:1.X2.X3.X4.V5.X6.X.E解答题E1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB〃CE，求证:AD:BC=CD:BE；（2）若AD:BC=CD:BE，求证：DB〃CE.2、已知：0O中，直径AB垂直弦CD于H,E是CD延长线上一点，AE交0O于F.求证：ZAFC=ZDFE.如图，已知四边形ABCD内接于圆,DC、AB的延长线相交于E，且ZCE=ZDA，求证：AD-BE二EC-BD

如图，点A、D在。O上，以点A为圆心的。A交。O于B、C两点，AD交。A于点E，交BC于点F，求证：AE2=AF-AD已知圆内接四边形，ABCD中，ZA:ZB:ZC=2:5:4，求最小的角。如图，在AABC中，AB二AC，BD平分ZABC交AC于D，AABD的外接圆交BC于E.求证：AD=CE7.如图，AABC是圆内接正三角形，P为劣弧庄上一点，已知AB二2訂,PA=6.(1)求证：PB+PC二PA；(2)求PB、PC的长(PB<PC).8.如图，已知：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,0O'是AABD的外接圆，E是。O'上的一点，连结AE并延长与BD的延长线相交于点F.求证：AC2+BD2=4AE-AF.9.如图，BC是00的直径，AD丄BC，垂足为D，阳二AF，BF交AD于点E.

求证AF2=BE-BF；若BD=1,AD=2，求tanZDBE的值.10.已知：如图，在圆内接四边形ABCD中，/BAD=60°,ZADC=90°,AB的延长线交DC延长线于点E,过A作AB的垂线交圆于点F,交CD延长线于点G.（1）求证：AF=BC；（2）求证：AF-DE=AD-BE；（3）设AB-AD的长分别为a、b求CE的长.答案：1.提示：连结AC,证明△ADCs^CBE即可；2.(略)提示：证AEBCsADBA提示：连AB证AABFsAADB,得AB2=AF-AD,又AB=AE，二AE2=AF-AD30°提示：连结DE证AD=AE，再证DE=CF(1)延长CP到M使PM=PB.连结BM,证AABP=ACBM；(2)PB=2,PC=4连结BE.AAEBsAABF得AB2=AE-AF.由勾股定理可得3(1)连结AB、AC,证AB2=FB-BE；(3)-410.(1)连结CF,证四边形ABCF为矩形；(2)ABCEsADAE；(3)EC=(2b-a)CD1.如下图，四边形ABCD内接于