初中数学专题训练-三角形-线段的中垂线

精品设计精品设计典型例题一ZC二90°,ZA二ZC二90°,ZA二30°,BD平分ZABC交AC于D.求证分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：•・•ZC二90°,ZA二30°（已知）,.•・ZABC=60°（RtA的两个锐角互余）又•BD平分ZABC（已知）1.•・ZDBA=ZABC=30°二ZA2.BD=AD（等角对等边）•••D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.典型例题二例02.如图，已知：在AABC中，AB=AC,ZBAC=120°,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于F.求证：CF=2BF.分析：由于ZBAC=120°，AB=AC，可得ZB=ZC=30°，又因为EF垂直平分AB,连结AF,可得AF=BF.要证CF=2BF，只需证CF=2AF，即证ZFAC=90°就可以了.证明：连结AF，EF垂直平分AB（已知）.FA=FB（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）.ZFAB=ZB（等边对等角）AB=AC（已知），.ZB=ZC（等边对等角）又•・•ZBAC=120°（已知），.ZB=ZC=30°（三角形内角和定理）.ZBAF=30°.ZFAC=90°・•・FC二2FA（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）.•・FC二2FB说明：线段的垂直平分线的定理与逆定理都由三角形的全等证得，初学者往往不习惯直接使用绝无仅有垂直平分线的定理与逆定理，容易舍近求远，由三角形全等来证题.典型例题三例03.如图，已知：AD平分ABAC,EF垂直平分AD,交BC延长线于F,连结AF.求证：ZB=ZCAF.分析：ZB与ZCAF不在同一个三角形中，又ZB，ZCAF所在的两个三角形不全等,所以欲证ZB=ZCAF，不能利用等腰三角形或全等三角形的性质那么注意到EF垂直平分AD，可得FA=FD，因此ZFAD=ZADF，又因为ZCAF=ZFAD—ZCAD，ZB=ZADF—ZBAD，而ZCAD=ZBAD，所以可证明ZCAF=ZB.证明:JEF垂直平分AD（已知），・•・FA=FD（线段垂直平分线上的点和这条线段的两端点的距离相等）.・•・ZFAD=ZADF（等边对等角）JZB=ZADF—ZBAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），ZCAF二ZFAD—ZCAD，又ZBAD=ZCAD（角平分线定义），.•・ZB二ZCAF说明：运用线段的垂直平分线的定理或逆定理，能使问题简化，如本例题中，EF垂直平分AD,可以直接有结论FA=FD，不必再去证明两个三角形全等.典型例题四例04.如图，已知直线l和点A,点B,在直线l上求作一点P,使PA=PB.分析：假设P点已经作出，则由PA=PB，那么根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知，点P在线段AB的垂直平分线上.而点P又在直线l上,则点P应是AB的垂直平分线与垂线l的交点.作法：1．连结AB.2.作线段AB的垂直平分线，交直线l于点P则P即为所求的点.说明：在求作一个点时，要考虑该点具备什么样的特点，如它到一条线段的两个端点距离相等，它就在连结这两点的线段的垂直平分线上，如果它到一个角的两边的距离相等它就在这个角的平分线上.典型例题五例05.如图所示，在AABC,ZC二90°,DE垂直平分AB,交AB于E,交BC于D,1Z1二2Z2，求ZB的度数.分析：由于DE垂直平分AB,所以Z2=ZB，又AABC为直角三角形，由直角三角形中两锐角互余，即可求出ZB的度数.解答：TDE垂直平分AB,:.DA=DB・•・Z2=ZB,在AABC中，ZC二90°,.•・ZCAB+ZB=90°,而ZCAB二Z1+Z2,1Z1二Z2,Z2=ZB,23.•・ZCAB=-ZB,23.•・一ZB+ZB=90°,.•・ZB=36°2答：ZB的度数为36°.典型例题六例06.求证：三角形两边中垂线的交点在第三边的中垂线上.分析：文字题应先根据题意画出图形，并根据图形写出已知、求证.已知：AABC中，（如图），EF、MN分别为AB、BC边的中垂线且交于O.证明：连结证明：连结OA、OB、OC•・•EF为AB的中垂线.•・OA=OB同理得：OB=OC.•・OA=OC・•.点O在AC的中垂线上典型例题七例07．如图所示例07．如图所示求证：AC=ADZABC=分析：要证AC=AD，只需证直线AB是线段CD的垂直平分线即可.证明：连结CD,延长AB交CD于E.BC=BD,・•・ABCD为等腰三角形，•/ZABC=ZABD,・•・Z1=Z2,・•・BE是等腰ABCD的角平分线，•BE垂直平分CD（等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边），・•・直线AE是线段CD的垂直平分线，又••点A在直线AE上,・AC=AD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）说明本例也可以通过证明AABC仝AABD（SAS）,得出AC=AD,利用线段垂直平分线的性质定理和逆定理为我们证明线段（或角）相等又提供了一个新的方法.典型例题八例08.如图所示：已知ZEOF内有两点A、B,在ZEOF内部找到一点D,使得D点到A、B两点的距离相等，并且点D到ZEOF的两边也相等.1)(D)以上说法都正确(1)(D)以上说法都正确(2)是()(A)直角三角形(C)钝角三角形(B)锐角三角形(D)以上都有可能分析：欲使点D到A、B两点的距离相等，由线段的垂直平分线的判定定理可知，点D一定在AB的垂直平分线上；D点又要满足到ZEOF的两边距离相等，由平分线的判定定理可知点D一定在ZEOF的平分线上，综合以上两点，可以推知点D是线段AB的垂直平分线与ZEOF的平分线的交点，因此可以据此找到D点.作法：(1)连结AB，作AB的垂直平分线MN.(2)作ZEOF的角平分线OP,与MN相交于一点D.则D点就是满足要求的点.选择题1．选择题C)CD与AB互相垂直平分如果三角形三边的垂直平分线的交点正好在三角形的一条边上，那么这个三角形参考答案：1．选择题(1)B(2)A填空题1．填空题TOC\o"1-5"\h\z（1）和线段两个端点距离相等的点的集合是.（2）在AABC中，AB二AC,AD为角平分线，则有ADBC（填丄或/）,BD=.如果E为AD上的一点，那么EB=.如果ZBAC=120o,BC=8,那么点D到AD的距离是.（3）已知：在AABC中，AB二AC，ZBAC二120。，de垂直平分AB,且交CA的延长线于D,则ZDBC的度数为.（4）在等腰三角形ABC中，AB二AC二8cm，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于D,若ABCD的周长为10cm，则底边BC的长为.（5）如图，在AABC中，ZACB二90°，BC的垂直平分线交AB于D,垂足为E.若ZA二60°，则ZDCB二，ZADC二.若ZB=30°，BD=5，则AACD的周长为.（6）如图，在AABC中，AC>BC,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,AC二8,ZCBE二（8）如图，在AABC中,AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,AABD的周长为12cm,AC=5cm，则AABC的周长为cm.（9）如图，已知在直角三角形ABC中，ZC二90°,ZB二15°,DE垂直平分AB,AC于EAC于E,若DE二5cm，则BC的长度为cm交参考答案：1．填空题(1)线段的垂直平分线(2)丄，CD,EC,2(3)90°(4)2cm(5)①30°,60°②15(6)4(7)15°(8)17(9)2.5(10)30解答题1．作图题求作：点P,使P点到OA和OB的距离相等，并且有OP=BP.(2)已知不在同一直线上的三点A、B、C,求作一点P,使PA二PB二PC.参考答案：1．作图题作法：①画出ZAOB的平分线OC,②作出OB的垂直平分线MN,则OC与MN的交点即为所要求的点P.①作线段AB的垂直平分线MN,②作线段BC的垂直平分线CD.则AB与CD的交点即为所要求的点P.解答题1．计算题(1)如图，已知：在直角三角形ABC中，ZC二90°,E为AB的中点，且DE丄AB交BC于D,连结AD,若ZCAD:ZEAD二1:2，求：ZB和ABAC的度数.交(交(2)如图BC于E.BD分ZABC为两部分，若ZABD:ZDBC=3:2.求ZC的度数.(3)如图，已知：在AABC中，ZBAC二140°,MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，求"AQ的大小.参考答案：1．计算题解：E为AB中点，且DE丄AB，:.DE为AB的垂直平分线，1：.DA=DB，.:ZB=ZEAD.又ZCAD:ZEAD二1:2，.:ZCAD=-ZB,2•・•ZC=90°，.:ZB+ZCAD+ZEAD=90°，1即ZB+ZB+--ZB=90°，求得ZB=36°，.:ZBAC=54°.2解：DE为BC的垂直平分线，•：ZC=ZDBC，3又ZABD:ZDBC=3:2，.:ZABD=—ZC.2•ZA=124°，:ZA+ZABD+ZDBC=56°，3360°即ZC+ZC+2ZC=180°，求得ZC=7.解：PM与QN为AB与AC的垂直平分线，:AP=BP,AQ=CQ.:ZB=ZBAP，ZC=ZCAQ.又•・•ZB+ZC=180。—140°=40°，：.ZPAQ=140°—ZCAQ—ZBAP=140°—40°=100°

解答题1．证明题(1)如图，已知：ZC二90°,DE是AB的垂直平分线,D为垂足，交BC于E,AB二2AC.求证：CE=DE.(2)如图，已知：线段CD垂直平分AB,AB平分ZDAC.求证：AD//BC.(3)如图，已知：AD是AABC的高，E为AD上一点，且BE二CE.求证：AABC是等腰三角形.(4)如图，已知：在AABC中，AB二AC,ZB二2ZA，DE垂直平分线AC交AB于D,交AC于E.求证：AD二BC.(5)如图，已知：E是ZAOB的平分线上的一点，EC丄OA,ED丄OB，垂足分别是C、D.求证：OE垂直平分CD.(6)如图，已知：在AABC中，AB、BC边上的垂直平分线相交于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.(7)如图，已知：AD是AABC的ZBAC的平分线，AD的垂直平分线EF,交BC的延长线于F,交AD于E,求证：ZBAF=ZCAF.(8)如图，已知：在AABC中,ZBAC的平分线交BC于D,且DE丄AB，DF丄AC，垂足分别是E、F垂足分别是E、F.求证：AD是EF的垂直平分线.二45°AM=DM.求证：AB=BC.参考答案1．证明题证明：连结AE,由于ZC=90o,AB=2AC，.:ZB-30°,ZCAB=60°,DE是AB的垂直平分线，・•・AE=BE,:.ZEAB=ZB=30°,ZCAE=60°-30°二30°，即AE是ZCAB的角平分线，CE二DE.证明：JCD是AB的垂直平分线，・•・AC二BC，.ZCAB=ZB，又TZCAB二ZDAB,.•・ZDAB=ZB，.AD//BC.证明：JBE二CE,AD丄BC,.ad是BC的垂直平分线，化AB二AC，・AJC是等腰三角形.(4)证明：DE垂直平分AC，・•・AD二CD，ZA=ZDCA，TZBDC-ZA+ZDC42ZA，又有ZB=2ZA，.ZB=ZBDCBC二CD二AD.证明：OE是ZAOB的平分线，・•・CE=DE,.RtAOCE=RtAODE,.OC=OD,・O与E都在CD的垂直平分线上,・OE垂直平分CD.证明：P是AB、BC边上的垂直平分线，・•・AP=BP,BP=CPAP=CP,.P点在AC的垂直平分线上.证明：EF垂直平分AD,.AF=DFZFAD=ZADF..•・ZACF=ZADF+ZDAC=ZFAD+ZBAD=ZBAF证明：TAD是ZBAC的平分线，且DE丄AB,DF丄ACDE=DF,.易证RtAADE=RtAADFAE=AF,・A与D都在EF的垂直平分线上，・AD就是EF的垂直平分线.证明：ZAMD=180°-75°-45°=60°，且AM=DMAM=AD.又TZMDC=90°-45°=45°ZMDC=ZDMC,.CD=CM,・AC为DM的垂直平分线，・ZACM=90°-45°=45°，・BC=AB.能力训练1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是()A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、不能确定答：C提示：此交点恰好为斜边的中点2、如图，ZBAC=1000，若MP、NQ分别垂直平分AB、AC,则ZPAQ的度数提示：利用三角形内角和求得ZB+ZC=800,再转化为ZBAP+ZCAQ=80o3、如图，AABC中，AC的垂直平分线交AC于E,交BC于D,AABD的周长为12,AC=5,则厶ABC的周长=DE垂直平分BC，提示：把DC转化为AD,利用△ABD的周长.DE垂直平分BC，4、如图，AABC中ZA=90。