积分变换第一章1

积分变换

教材：东南大学数学系编教师：王秀兰引言积分变换：通过积分运算，把一个函数变为另一个函数的变换.一般地，含参变量的积分：把某一类函数A中的变为另一函数类B中的函数.特别地：（1）

------Fourier变换（2）

------Laplace变换应用：

在电力工程，电路分析，信号分析和图像处理，通信控制，语音识别与合成等领域有广泛应用。成绩计算：总评成绩=0.3平时成绩+0.7期末成绩平时成绩=作业（40分）+考勤（60分）（作业少一次扣3分，考勤缺一次扣4分）第一章Fourier变换§1.1Fourier积分§1.2Fourier变换

§1.3Fourier变换的性质

§1.4卷积与相关函数

§1.5Fourier变换的应用

§1.1Fourier积分一周期函数的展开1.周期函数

在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.定义：具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).

最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数

§1.1Fourier积分一周期函数的展开1.周期函数定义：具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).2.周期函数的Fourier展开（1）三角形式(2)复指数形式将上两式带入Fourier级数表达式，并整理，级数可变为即为Fourier级数的复指数形式。二非周期函数的展开1.Fourier积分公式

对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t

)当T时转化而来的.

Otf(t)OtOt这就说明当T时,周期函数便可转化为f(t)，即有设

是周期为T的周期函数，在上满足Dirichlet条件，则可展为Fourier级数：{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w由定积分定义可得即

------Fourier积分公式.上述公式只是形式上的一个推导，是不严格，至于一个非周期函数f(t)在什么条件下，可以Fourier积分公式来表示，有下面的收敛定理.2.Fourier积分存在定理定理：若f(t)满足：（1）在任何有限区间上满足Dirichlet条件；（2）在上绝对可积；则注：上公式也可以转化为三角形式又考虑到积分上式即为Fourier积分公式的三角形式.

思考：若f(t)具有奇偶性，上式公式具有什么形式？

若f(t)为奇函数，可得f(t)的Fourier正弦积分公式：若f(t)为偶函数，可得f(t)的Fourier余弦积分公式：特别地，若f(t)仅在上有定义，且满足Fourier积分存在条件，我们可以采用类似于Fourier级数中的奇延拓或偶延拓的方法，得到Fourier正弦积分展开式或Fourier余弦积分展开式。三例题本节重点1.Fourier积分存在定理若f(t)满足：（1）在任何有限区间上满足Dirichlet条件；（2）在上绝对可积；则2.Fourier正弦积分公式：Fourier余弦积分公式：3.Dilichlet积分4.重要题型（1）求函数的Fourier积分表达式（正弦余弦积分表达式）（2）证明积分等式§1.2Fourier变换

一Fourier变换的定义二单位脉冲函数及其傅氏变换三非周期函数的频谱一Fourier变换的定义若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有(1.2.1)式叫做f(t)的Fourier变换式,(1.2.2)式为F(w)的Fourier逆变换式,

f(t)与F(w)可相互转换,可记为

F(w)=

[f(t)]和f(t)=

[F(w)]

Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件.思考：如何定义Fourier正弦（余弦）变换式和逆变换式？f(t)tf(t)f(t)f(t)f(t)f(t)f(t)f(t)tf(t)tf(t)tf(t)tf(t)tf(t)f(t)ttttt解因此有如果令b=1/2,就有可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.2.2)式练习:求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。二单位脉冲函数及其傅氏变换

在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此问题就会产生下面要介绍的单位脉冲函数.二单位脉冲函数及其傅氏变换许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进

入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流

i(t).

以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则

由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得

这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。

可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数性质：（1）筛选性质（2）（3）（4）若f(t)无穷次可微，则d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.记住下结论！例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.

在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例4证明：证：记住此结论！由上面两个函数的变换可得记住此结论！例6

求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。tpp-w0w0Ow|F(w)|三非周期函数的频谱

Fourier变换和频谱概念有非常密切的联系.随着无线电技术、声学、振动学的蓬勃发展，频谱理论也相应得到了发展，其应用也越来越广泛.下面简单介绍一下频谱的概念，关于更深一层的理论和应用留待有关专业课程中详细讨论.设非周期函数f(t)满足Fourier积分定理的条件.频谱函数：傅氏变换F(w)称为f(t)的频谱函数.频谱：频谱函数的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱，简称为频谱.由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.例7作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/2E矩形脉冲的频谱图为wEt|F(w)|O振幅函数|F(w)|是角频率w的偶函数,即定义为f(t)的相角频谱.显然,相角频谱j(w)是w的奇函数,即j(w)=-j(-w).本节重点1.Fourier变换逆变换的公式，Fourier正弦、余弦变换及逆变换的公式；2.单位脉冲函数的定义和性质；3.记住常用结论：4.频谱函数与频谱的概念及计算公式。§1.3Fourier变换的性质

一线性性质二位移性质三微分性质四积分性质这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.一线性性质

设F1(w)=F[f1(t)],

F2(w)=F[f2(t)],a,b是常数,则

F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)它表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线性组合.它的证明只需根据定义就可推出.

同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即F-1[aF1(w)+bF2(w)]=af1(t)+b

f2(t)二位移性质证由傅氏变换的定义,可知记住此结论！记住此结论！三微分性质

如果f(t)在(-,+)上连续或只有有限个可去间断点,且当|t|+时,f(t)0,则

[f'(t)]=jwF[f(t)].

证由傅氏变换的定义,并利用分部积分可得记住此结论！推论

[f(n)(t)]=(jw)n

F[f(t)].（有条件） 同样,我们还能得到象函数的导数公式,

设[f(t)]=F(w),

则记住此结论！四积分性质实际上,由下面五个常用的傅里叶变换,所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.例1

利用傅氏变换的性质求d(t-t0),例2

若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏变换。例3求微分积分方程的解,其中<t<+,a,b,c均为常数.根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记[x(t)]=X(w),

[h(t)]=H(w).在方程两边取傅氏变换,可得

运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分性质,可以把线性常系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可以得到此微分方程的解.另外,傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一。性质小结:若F[f(t)]=F(w),F[g(t)]=G(w)§1.4卷积与卷积定理一卷积的概念二卷积的性质三卷积定理一卷积的概念

称为函数

与

的卷积,记为.即若已知函数,

则积分卷积的图示f1(t)f2(t)tOf2(-t)OttOtf2(t-t)二卷积的性质在积分中,令u=t-t,则t=t-u,du=-dt,则1.交换律

2.结合律

则证明：令交换二重积分的次序,得令v=t-u,则u=t-v,

3.加法分配率证:

根据卷积的定义4.数乘5.导数公式6.任给函数f(t),

都有

因此,单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.另外,8.任给函数f(t),

都有

7.任给函数f(t),

都有

三卷积定理若