名师课件：人教B版高中数学选择性必修第二册431 一元线性回归模型

人教2019B版选择性必修第二册

第四章

概

率

与

统

计4.3.1一元线性回归模型

学习目标1.能通过收集现实问题中两个有关联的变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系.2.能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.3.能通过相关性检验,了解回归分析的基本思想与方法.4.了解非线性回归问题,并能找出解决问题的一般思路.

以下是几则与“相关系数”有关的新闻报道：（1）1999-2008年，俄罗斯GDP增长率与国际石油价格的相关系数为0.86,2009-2014年该系数达到0.98.（2）瑞士洛桑国际管理学院对企业国际竞争力的研究也显示，公司文化与企业管理竞争力的相关系数在几个因子中是最高的.（3）分析表明1990年至2011年我国财政收入与企业注册资本之间的关系呈高度线性相关，其相关系数高达0.987，而斜率竟为0.148.情景与问题你能猜出相关系数的含义吗？（3）中“斜率”表示的是什么？自行选择标准，将下列变量之间的关系分为两类，并分别阐述每一类中变量关系的特点：（1）圆的面积S与半径r之间的关系；（2）16岁学生的体重w与身高h之间的关系；（3）商品销售量Q与销售价格P之间的关系；（4）匀速运动的物体，其运动的路程S与时间t之间的关系；（5）科技创新能力y与人才培养近亲繁殖率x之间的关系；（6）学习成绩f与平均学习时间t之间的关系.尝试与发现一、相关关系1.变量之间的常见关系分类概念函数关系两个变量之间的关系可以用函数表示.如圆的面积与半径之间的关系,就可以用函数S=πr2表示相关关系如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系,叫做相关关系不相关两个变量间没有任何关系概念解析

如果两个变量之间的关系可以近似的用一次函数来刻画，则称这两个变量线性相关。此时，如果一个变量增大，另一个变量大体上也增大，则称这两个变量正相关；如果一个变量增大，另一个变量大体上减少，则称这两个变量负相关。

问题探究2.散点图(1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量.(2)将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫散点图.概念解析3.线性相关关系(1)线性相关:如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线性相关.(2)正相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关.(3)负相关:在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量负相关.概念解析1.5个学生的数学成绩和物理成绩如下表:则数学成绩与物理成绩之间(

)A.是函数关系B.是相关关系,但相关性很弱C.具有较好的相关关系,且是正相关D.具有较好的相关关系,且是负相关

ABCDE数学8075706560物理7066686462解析:作出散点图(图略),从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的相关关系,且是正相关.答案:C小试牛刀尝试与发现概念解析问题1：你能找出近似描述y与x之间关系的一次函数表达式吗？使得所有误差平方和最小的直线方程称为y关于x的回归直线方程。使得误差平方和最小的计算回归系数的方法称为最小二乘法,根据已知两点可求出一次函数表达式。问题2：类似这样的直线我们可以找很多条，y=-0.5x+6.5是最好的直线吗？衡量标准是什么呢？问题3：回归直线方程是如何通过计算得到的呢？二、回归直线方程

概念解析求回归直线方程的步骤第一步:列表;第四步:写出回归直线方程.归纳总结尝试与发现

典例解析概念解析尝试与发现三、相关系数1.相关系数r的计算公式假设两个随机变量的数据分别为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),则变量间相关系数r的计算公式如下:概念解析2.相关系数r的性质(1)|r|≤1,且y与x正相关的充要条件是r>0,y与x负相关的充要条件是r<0.(2)|r|越小,说明两个变量之间的线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没有价值,即方程越不能反映真实的情况;|r|越大,说明两个变量之间的线性相关性越强,也就是得出的回归直线方程越有价值.(3)|r|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.典例解析尝试与发现非线性回归模型的分析步骤：1.绘制散点图2.观察散点图，选取适合的函数模型，通过换元法转化成线性回归模型并转化数据3.求换元后的回归直线方程4.建立非线性回归模型归纳总结四、非线性回归常见的非线性回归模型转化为线性回归模型概念解析例3.某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示:由经验知,年次x与利润总额y(单位:亿元)近似有如下关系:y=abxe0.其中a,b均为正数,求y关于x的回归方程.x123456y11.3511.8512.4413.0713.5914.41典例解析解:对y=abxe0两边取自然对数,得ln

y=ln

ae0+xln

b,令z=ln

y,则z与x的数据如下表:由z=ln

ae0+xln

b及最小二乘法公式,得ln

b≈0.047

7,ln

ae0=2.378,x123456z2.432.472.522.572.612.671.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是(

)A.①② B.①③

C.②③ D.③④当堂达标解析:①③中的点分布在一条直线附近,适合线性回归模型.答案:B2.(多选)有关线性回归的说法,正确的是(

)A.相关关系的两个变量不是因果关系B.散点图能直接反映数据的相关程度C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D.任意一组数据都有回归方程解析:并不是每一组数据都有回归方程.故D不正确,其余均正确.答案:ABCC.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg解析:D选项中,若该大学某女生身高为170

cm,则可断定其体重约为0.85×170-85.71=58.79(kg).故D选项不正确.答案:D4