16第二学期柯桥中学期末模拟卷4

2016学年第二学期柯桥中学期末模拟卷（四）一、选择题：1x，y知足拘束条件z=x2y取最大值时的最优解是．若实数，则目标函数﹣+（）A．（﹣2，﹣1）2．D是△ABC边

B．（0，﹣1）AB上的中点，记

C．（﹣1，﹣1）D．（﹣=，=，则向量

1，0=（

）

）A．

B．

C．

D．3．若a＜b＜0，则以下不等式不可立的是（）4．等差数列{an}中，前n项的和为Sn，若a7=1，a9=5，那么S15等于（）A．90B．45C．30D．（45，2）5．已知tanθ=2，则sin（2θ+）的值是（）A．B．C．D．6．若对于x的不等式|x+2|+|x﹣a|＜5有解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣77B33C73）D．?，）．（﹣，）．（﹣，7．等差数列{an}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，数列{an}的前n项和Sn获得最小值，则首项a1的取值范围为（）A．B．C．D．8．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形9sin2x﹣asinx2≥0对随意的x0，]恒成立，则实数a的最大值是（）．若不等式+∈（A．2B．C．2D．310ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|．若直角△的最大值是（）A．+1B．+2C．+1D．+2二、填空题：11．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=；若⊥，则||=．12{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣40，a6+a10=﹣10，则S8=．．设等差数列13．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．14．设点（x，y）在不等式组所表示的平面地区上，若对于b∈[0，1]时，不等式ax﹣by＞b恒成立，则实数a的取值范围是．15．数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按以下规则摆列：，若存在正整数k，使Sk＜100，Sk+1≥100，则ak=，k=．16αβ0πsinαβ=tan=，则tanα=tanβ=．．设、∈（，），（+），，17．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则?﹣的最小值为．三、解答题：18．已知函数f（x）=2，（x∈R）．sin2x﹣cosx﹣（1x，]时，求函数fx）的值域．）当∈[﹣（（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．19．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的地区（含界限）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．20．△ABC中，D是BC上的点，AD均分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求

；（2）若

AD=1，DC=

，求

BD

和

AC

的长．21．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|．（1）试求f（x）的值域；2）设gx）=a0），若对随意s1，+∞t0∞），恒有gs（（（＞∈[），∈[，+（）≥f（t）成立，试务实数a的取值范围．22．已知数列{an}的前n项和Sn=，且a1=1．1）求数列{an}的通项公式；2）令bn=lnan，能否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk，bk+1，bk+2成等比数列．若存在，求出全部切合条件的k值；若不存在，请说明原因；（3）已知当

n∈N*且

n≥6时，（1﹣

）n＜（

）m，此中

m=1，2，，n，求知足等式3n

4n

n2

n

an

3an的全部

n的值．参照答案与试题分析一、选择题：1x，y知足拘束条件，则目标函数z=x2y取最大值时的最优解是．若实数﹣+（）A．（﹣2，﹣1）B．（0，﹣1）C．（﹣1，﹣1）D．（﹣1，0）【考点】简单线性规划．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用目标函数的几何意义，利用数形联合确立的最大值时的最优解．【解答】解：解：作出不等式组对应的平面地区如图：（暗影部分ABC）

z由z=﹣x+2y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，B（﹣10）；因此目标函数z=x2y取最大值时的最优解是（﹣10，﹣+，）；应选：D．2．D

是△ABC

边

AB

上的中点，记

=，

=，则向量

=（

）A．

B．

C．

D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【剖析】依据向量的加减的几何意义即可求出．【解答】解：∵D是△ABC边AB上的中点，∴==，=，∴=﹣=﹣，应选：C．3．若a＜b＜0，则以下不等式不可立的是（）ABa＞2babD3＜b3．．．||．|＞|【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基天性质．【剖析】依据不等式的基天性质，及函数的单一性，判断四个答案的真假，可得结论．【解答】解：∵a＜b＜0，ab＞0，∴，即，故A成立；y=2x为增函数，2a＜2b，故B不可立；ab0，即|a＞|b|，故C成立；﹣＞﹣＞|y=x3为增函数，故a3＜b3，故D成立，应选：B4．等差数列{an}中，前n项的和为Sn，若a7=1，a9=5，那么S15等于（）A．90B．45C．30D．（45，2）【考点】数列的乞降．【剖析】依据an为等差数列a7=1，a9=5，能够求出通项公式，再利用等差数列前n项和公式进行求解；【解答】解：∵等差数列{an}中，设公差为d，a7=1，a9=5，a1+6d=1，a1+8d=5，解得d=2，a1=﹣11，a15=a1+14d=17∴S15==45，应选B．5tanθ=2，则sin（2θ）的值是（）．已知+A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【剖析】由已知，利用两角和的正弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求，即可计算求值得解．【解答】解：∵tanθ=2，∴sin2）=sin2coscos2sin=（sin2θ+cos2=×（θ+θ+θθ）=×==．应选：D．6x的不等式|x2|+|xa5有解，则实数a的取值范围是（）．若对于+﹣|＜A．（﹣7，7）B．（﹣3，3）C．（﹣7，3）D．?【考点】绝对值不等式的解法．【剖析】求出|x2|+|xaa25a的范围即可．+﹣|的最小值，解|+|＜，从而求出【解答】解：∵|x+2|+|x﹣a|≥|x+2﹣x+a|=|a+2|，若|x+2|+|x﹣a|＜5有解，则|a+2|＜5，解得：﹣7＜x＜3，应选：C．7．等差数列{an}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，数列{an}的前n项和Sn获得最小值，则首项a1的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】数列与三角函数的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【剖析】利用三角函数的降幂公式将条件=﹣1转变为：=﹣sin（a3+a7），再利用和差化积公式转变，求得sin（a7﹣a3）=1，从而可求得等差数列{an}的公差d=，再由即可求得首项a1的取值范围．【解答】解：∵{an}为等差数列，=﹣1，∴=﹣1，∴=﹣sin（a3+a7），由和差化积公式可得：×（﹣2）sin（a7+a3）?sin（a7﹣a3）=﹣sin（a3+a7），sin（a3+a7）≠0，∴sin（a7﹣a3）=1，∴4d=2k04）π+∈（，k=0，∴4d=，d=．∵n=10时，数列{an}的前n项和Sn获得最小值，∴即，∴﹣≤a1≤﹣．应选D．8．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a+b+c=，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【剖析】利用三角形重心定理、平面向量基本定理、向量平行四边形法例即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心，=﹣×，=，=，又a+b+c=，∴（a﹣b）+（a﹣c）+（b﹣c）=，a﹣b=a﹣c=b﹣c，a=b=c．∴△ABC的形状是等边三角形．应选：B．9．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对随意的x∈（0，]恒成立，则实数a的最大值是（）A．2B．C．2D．3【考点】三角函数的最值．【剖析】利用换元法律t=sinx，不等式可整理为t2at20恒成立，得，利用分﹣+≥离常数法求出实数a的最大值即可．【解答】解：设t=sinx，∵x∈（0t01]，，]，∴∈（，则不等式即为t2at20t01]恒成立，﹣+≥在∈（，即在t∈（0，1]恒成立，∴a≤3．应选：D．10ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若||=，则|++|．若直角△的最大值是（）A．+1B．+2C．+1D．+2【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】由直角三角形可知O为斜边AC的中点，于是++=2+=3+，所以当和同向时，模长最大．【解答】解：设直角三角形的斜边为AC，∵直角△ABC内接于单位圆O，∴O是AC的中点，∴|++|=|2+|=|3+|，∴当和同向时，|3+|获得最大值|3|+||=+1．应选：C．二、填空题：10．已知向量=（1，x），=（x，3），若与共线，则||=2；若⊥，则||=3．【考点】平面向量数目积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示．【剖析】直接利用向量平行垂直的充要条件列出方程，以及向量的模计算即可．【解答】解：∵向量=（1，x），=（x，3），与共线，∴1×3=x2，∴x=±，∴||===2，∵⊥，∴x+3x=0，∴x=0，∴||==3，故答案为：2，311．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣40，a6+a10=﹣10，则S8=﹣180．【考点】等差数列的通项公式．【剖析】由已知条件利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出S8．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=﹣40，a6+a10=﹣10，∴，解得a1=﹣40，d=5，∴S8==8×（﹣40）+28×5=﹣180．故答案为：﹣180．12．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．【考点】等比数列的性质．【剖析】先依据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的乞降公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为13xy所表示的平面地区上，若对于b∈[01]时，不．设点（，）在不等式组，等式ax﹣by＞b恒成立，则实数

a的取值范围是

a＞4

．【考点】简单线性规划的应用．【剖析】作出不等式组对应的平面地区，利用线性规划的知识进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面地区如图：b=0时，ax＞0，∴a＞0；b≠0时，y＜

x﹣1．a＜0时，不可立；a＞0时，B（1，3）在

y=

x﹣1的下方即可，即3＜﹣1，解得a＞4b，∵0＜b≤1，∴a＞4．综上所述，a＞4．14．数列{an}的前n项和是Sn，若数列{an}的各项按以下规则摆列：，若存在正整数k，使Sk＜100，Sk+1≥100，则ak=，k=203．【考点】概括推理．【剖析】由数列项的特色，建立新数列bn，表示数列中每一组的和，则bn=是个等差数列，记b的前n项和为T，利用等差数列的和知道T=85T=105S＜100，S≥100，nn19，20，利用kk+1可得k值，即得答案．【解答】解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，把原数列分组，分母同样的为一组，发现他们的个数是1，2，3，4，5建立新数列bn，表示数列中每一组的和，则bn=是个等差数列，记bn的前n项和为Tn，利用等差数列的和知道T=85T=105，19，20因此ak定在，，，中，又由于Sk＜100，Sk+1＞100，因此T19+++＜100，T19++++＞100故第k项为ak=．k=1+2++20+13=203，故答案为：，203．160sin（α+β）=，tan=，则tan=，tan=．设α、β∈（，π），αβ﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【剖析】由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tanα的值大于1，确立出α的范围，从而sinα与cosα的值，再由sin（α+β）的值范围求出α+β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+β）的值，所求式子的角β=α+β﹣α，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tan=，α∈（0，π），∴tanα==＞1，∴α∈（，），∴cosα==，sinα==，∵sin（α+β）=＜，∴α+β∈（，π），∴cosαβ=﹣，（+）则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=﹣×+×=﹣，∴sin=，tan=﹣．故答案为：，﹣．17．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，若P为DC上的动点，则?﹣的最小值为1．【考点】平面向量数目积的运算．【剖析】成立平面直角坐标系，求出各向量的坐标，代入向量的数目积公式得出对于P点横坐标a的函数，利用二次函数的性质求出最小值．【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴成立平面直角坐标系如图：则A（0，0），B（2，0），C（2，1），设P（a，1）（0≤a≤2）．=（﹣a，﹣1），=（2﹣a，﹣1），=（0，1），?﹣=a（a﹣2）+1﹣（﹣1）=a2﹣2a+2=（a﹣1）2+1．∴当a=1时，?﹣获得最小值1．故答案为：1．三、解答题：18．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．1x，]时，求函数fx）的值域．（）当∈[﹣（（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数目积的运算；正弦函数的图象．【剖析】（1）利用三角恒等变换化简

f（x），依据

x的取值范围，求出

f（x）的取值范围，即得最值；（2）先依据

f（C）=0

求出

C的值，再依据向量共线以及正弦、余弦定理求出

a、b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x2﹣cosx﹣=sin2x﹣﹣sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．【评论】此题考察了三角恒等变换的应用问题，也考察了平面向量的应用以及正弦余弦定理的应用问题，是综合性题目．19．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC三边围成的地区（含界限）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．【剖析】（Ⅰ）先依据++=，以及各点的坐标，求出点p的坐标，再依据向量模的公式，问题得以解决；（Ⅱ）利用向量的坐标运算，先求出，，再依据=m+n，表示出m﹣n=y﹣x，最后联合图形，求出m﹣n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=03x﹣6=0，3y﹣6=0x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）x=m+2n，y=2m+nm﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t获得最大值1，故m﹣n的最大值为1．【评论】此题考察了向量的坐标运算，重点在于审清题意，属于中档题，20．△ABC中，D是BC上的点，AD均分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．（1）求；（2）若AD=1，DC=【剖析】（1）如图，过均分∠BAC及正弦定理可得

，求BD和AC的长．A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得sin∠B=，sin∠C=

BD=2DC，由AD，从而得解．（2）由（1）可求BD=．过BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则【解答】解：（1）如图，过A

D作DM⊥AB于M，作DN⊥ACAB=2x，利用余弦定理即可解得作AE⊥BC于E，

于N，由BD和AC

AD均分∠的长．∵==2BD=2DC，AD均分∠BAC∴∠BAD=∠DAC在△ABD中，=，∴sin∠B=在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．6分（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD均分∠BAC，∴DM=DN，∴==2，AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：=，x=1，AC=1，∴BD的长为，AC的长为1．【评论】此题主要考察了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考察．21fx=x2|﹣|x1．．已知函数（）|+﹣|（1）试求f（x）的值域；（2）设gx）=a0s1∞t0∞），恒有gs（（＞），若对随意∈[，+），∈[，+（）≥f（t）成立，试务实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【剖析】（1）利用绝对值三角不等式化简求解即可．（2）经过对a议论函数g（x）的最小值与函数f（x）的最大值，而后求解a的范围即可．【解答】解：（1）∵||x+2|﹣|x﹣1||≤|（x+2）﹣（x﹣1）|=33x2x1≤3，∴fx33]∴﹣≤|+|﹣|﹣|（）的值域为[﹣，（2）g（x）==ax+﹣3，当a≥3时，g（x）是增函数，g（x）min=a，当a∈（0，3）时，g（x）min=2﹣3，∵，f