非线性物理引言02

非线性物理：引言拓扑学分析：为什么要看拓扑学结构？从单摆的例子可以看出在相空间里面，动力学系统的运动轨迹形成了丰富的拓扑学结构。虽然我们不进行真正的拓扑学分析，但是初步的拓扑学稳定性分析还是需要的。。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言拓扑学分析：考虑一阶动力学系统微分方程：2. 例如Newton’ssecondlawsystem：3. 单摆问题；非线性hardspring问题；Vander

Pol方程：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言拓扑学分析：4. 相空间动力学方程变成：随着时间变化，我们就有了相轨迹，大模样上形成拓扑结构。对于无阻尼单摆问题：我们由此可以定义所谓的相速度：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言拓扑学分析：相空间动力学方程的拓扑学分析基本上有两大任务：(1)相空间中的稳定与非稳定点－－奇异点；(2)相空间中相速度的分布。简单奇异点的定义与分类：3. 中心点：Vortexpoint，其定义很简单，一目了然。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言鞍点：saddlepoint。大家可以对照单摆问题来分析哪个点是鞍点。焦点：focalpoint。经过螺旋路径，系统在无限长时间或者经过无限多次螺旋最终达到焦点F。此时，相空间中每一点只可能是一条螺旋轨迹上的某一点。这类焦点可以是稳定的，也叫吸引子。后面我们还会看到奇异吸引子的概念。 还有很多更复杂的奇异点现象！2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言焦点的实例来自于单摆运动。我们反复以这个例子来说明物理概念。带阻尼的系统，其演化方程为：9. 节点：nodalpoint。节点的概念是focalpoint的一种延伸。我们来看看上述单摆例子在过阻尼情况下的解如何。8. 在亚阻尼情况下(<0)，上述方程的解如下，所以要经过无限长时间，系统最后达到focalpointx=0.2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言 上述方程在有限时间内就达到了稳定位置x=0，即节点。其定义是在xx=0时，轨迹的斜率是有限的，不同轨迹在趋近节点时斜率不同；而焦点处不同轨迹的斜率是一样的。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言拓扑学分析：上面我们定义了各类所谓的奇异点，下面要处理的问题是如何从相空间运动方程来判断说研究的点是哪一类，稳定性如何。首先来看轨迹的斜率：3. 毫无疑问，在奇异点(x0,y0)处，必定有P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0。而在奇异点附近的正常点处，虽然P或者Q可能为零，但是它们不能同时为零，否则就是奇异点了。因此，我们可以写出：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言4. 级数展开，并忽略掉高阶项(高阶项并非都是无用的，我们只进行线性化分析)。上面提到的几种所谓简单奇异点都是可以通过进行线性化分析可以得到的，而较复杂的就要考虑高阶非线性项了。进一步分析，可以假定u0和v0，则只要下式满足就可以进行线性稳定性分析，而且系统只有我们前面提到的四种奇异点。否则就需要考虑高阶非线性项。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言7. 我们进行一些变换：8. 关于u的解具有特征根：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言我们来分析一下特征根，从而推出上述四种奇异点。首先不考虑q=0，因为这对应高阶奇异点，因此没有零特征根。详细的分析对大家很简单，自己去完成吧。11. 作业：建立右图！2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言稳定性分析：李雅普洛夫Lyapunov定理：奇异点附近的线性化方程的特征根实部如果非零，则所有实部为负时奇异点是稳定点，只要一个根实部为正，则是不稳定点。彭加勒Poincare定理：对于一个动力学系统dx/dt=P(x,y)，dy/dt=Q(x,y)，如果某一奇异点O是中心点或者焦点，在其附近如果P和Q应该满足：P(x,-y)=-P(x,y)，Q(x,-y)=Q(x,y)，那么O就一定是中心点。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言实例分析：单摆运动无阻尼运动方程为：奇异点在y0=0,x0=n(n=0,1,2,..)设定x=x0+u,y=y0+v,我们得到：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言到底是中心点还是焦点，我们可根据彭加勒定理进行判断。在奇异点附近，P(x,-y)=-y=-P(x,y),Q(x,-y)=-2sinx=Q(x,y)。所以x0=0和y0=0是中心点。类似的方法可以用来判断奇异点x0=,y0=0是鞍点。如此类推，得到下面的相空间拓扑图。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言拓扑学分析：分叉Bifurcation如果系统参数不同，拓扑学结构会如何变化？分叉的数学意义是说一个动力学系统在相空间中的拓扑学行为会随着系统参数的变化发生突变，对应奇异点的类型会发生转化。2. Saddle-NodeBifurcation看看一个例子： 在=0时，q=0,这两个点合并，形成高阶奇异点。在<0时，系统没有静态点或者说奇异点。因此=0对应于参量由负变正时形成的nodal-saddle分叉点。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言3. Transcritical

Bifurcation看看一个例子： 当参数通过零点时，系统在相空间的奇异点类型发生交换，这称之为交换临界分叉。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言4. PitchforkBifurcation看看一个例子：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言 因此，随着参数由负变正，我们看到在x-二维坐标系中，奇异点的轨迹形成一个音叉一样。我们称之为pitchfork分叉，或者是超临界分叉supercriticalbifurcations。x 如果方程为x(+x2)，则我们可以观察到亚临界分叉subcriticalbifurcation，音叉在<0一侧。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言5. Hopf

Bifurcation看看VanderPol这个例子：2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言 Hopf

Bifurcation

意味着在奇异点附近，当参量由负变正时，系统从一个衰减振荡到奇异点(0,0)的动力学演化特征转变为从奇异点放大振荡到外围的一个极限环。 在参量<4时，系统从一个稳定的螺旋线转变为一个不稳定的螺旋线。转变点处我们说系统发生了Hopf分叉。2023/1/15PLDLab,LSSMS非线性物理：引言结语：通过上面对简单的二阶动力学系统的分析，我们可以对奇异点附近系统动力学演化(时间轨迹)作出一个大致的定性分析。上述内容事实上是早期非线性动力学的主要内容，或者说是微分方程稳定性理论的主要任务之一。现代非线性动力学理论则主要研究大范围内动力学系统的拓扑学特征，以及高阶稳定性分析方法，牵涉到的数学十分繁琐。当这样的一个动力学