智能控制第章自适应模糊控制的理论基础

第5章自适应模糊控制模糊控制的突出优点是能够比较容易地将人的控制经验溶入到控制器中，但若缺乏这样的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器采用了IF-THRN控制规则，不便于控制参数的学习和调整，使得构造具有自适应的模糊控制器较困难。自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数据信息来调整模糊逻辑系统的参数。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言性模糊信息，而传统的自适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤其重要。自适应模糊控制有两种不同的形式：(1)直接自适应模糊控制:根据实际系统性能与理想性能之间的偏差，通过一定的方法来直接调整控制器的参数；(2)间接自适应模糊控制:通过在线辨识获得控制对象的模型，然后根据所得模型在线设计模糊控制器。5.1模糊逼近5.1.1模糊系统的设计设二维模糊系统为集合上的一个函数，其解析式形式未知。假设对任意一个，都能得到

，则可设计一个逼近的模糊系统。模糊系统的设计步骤为：步骤1：在上定义个标准的、一致的和完备的模糊集。

步骤2：组建条模糊集IF-THEN规则：

：如果为且为，则为其中，

将模糊集的中心（用表示）选择为

（5.1）步骤3：采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据条规则来构造模糊系统

（5.2）5.1.2模糊系统的逼近精度万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能逼近器。模糊系统较之其它逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了模糊系统在实际中得到成功应用的原因。万能逼近定理令为式（5.2）中的二维模糊系统，为式（5.1）中的未知函数，如果在上是连续可微的，模糊系统的逼近精度为：

(5.3)

(5.4)式中，无穷维范数定义为。由(5.4)式可知：假设的模糊集的个数为，其变化范围的长度为，则模糊系统的逼近精度满足即：由该定理可得到以下结论：（1）形如式（5.2）的模糊系统是万能逼近器，对任意给定的，都可将和选得足够小，使

成立，从而保证。（2）通过对每个定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多，所产生的模糊系统越有效。（3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道关于和的导数边界，即和。同时，在设计过程中，还必须知道在处的值。

仿仿真真实例例实例1针对一一维函函数，，设设计一一个模模糊系系统，，使使之一一致的的逼近近定义义在上上的连连续函函数，，所需需精度度为，，即即。。由于，，由式式（5.3）可可知，，，故取满满足精精度要要求。。取，，则则模糊糊集的的个数数为。。在在上上定定义31个个具有有三角角形隶隶属函函数的的模糊糊集，，如图图5-1所所示。。所设设计的的模糊糊系统统为：：图5-1隶隶属函函数一维函函数逼逼近仿仿真程程序见见chap5_1.m。。逼近近效果果如图图5-2和和5-3所所示：图5-2模模糊逼逼近图5-3逼逼近误误差实例2针对二二维函函数，，设计计一个个模糊糊系统统，，使使之一一致的的逼近近定义义在上上的的连续续函数数所需精精度为为。。由于，，由式（（5.3））可知知，取取，，时时，，有满足精精度要要求。。由于于，，此此时模模糊集集的个个数为为即和和分分别在在上上定义义11个具具有三三角形形隶属属函数数的模模糊集集。。所设计计的模模糊系系统为为：(5.6)该模糊糊系统统由条条规则则来逼逼近函函数二维函函数逼逼近仿仿真程程序见见chap5_2.m。。和和的的隶隶属函函数及及的的逼逼近效效果如如图5-4至5-7所示示图5-4的的隶隶属函函数图5-5的的隶属属函数数图5-6模模糊逼逼近图5-7逼逼近误误差5.2间接自自适应应模糊糊控制制问题描描述考虑如如下阶阶非线线性系系统：：(5.7)其中和和为为未未知非非线性性函数数，和和分分别别为系系统的的输入入和输输出。。设位置置指令令为，，令令(5.8)选择，，使使多项项式的的所所有根根部都都在复复平面面左半半开平平面上上。取控制制律为为(5.9)将(5.9)代代入(5.7)，得得到闭闭环控控制系系统的的方程程：(5.10)由的的选取取，可可得时时，，即即系统统的输输出渐渐进进地收收敛于于理想想输出出。。如果非非线性性函数数和和是是已知知的，，则可可以选选择控控制来来消除除其非非线性性的性性质，，然后后再根根据线线性控控制理理论设设计控控制器器。控制器器的设设计如果和和未未知知，控控制律律（5.9）很难难实现现。可可采用用模糊糊系统统和和代代替和和，，实实现自自适应应模糊糊控制制。1.基本的的模糊糊系统统以来来逼近近为为例例，可可用两两步构构造模模糊系系统：：步骤1：对变变量()，定义义个个模模糊集集合()。步骤2：采用用以下下条条模模糊规规则来来构造造模糊糊系统统：IFis……ANDisTHENis(5.11)其中中，，。。采用用乘乘积积推推理理机机、、单单值值模模糊糊器器和和中中心心平平均均解解模模糊糊器器，，则则模模糊糊系系统统的的输输出出为为(5.12)其中中为为的的隶隶属属函函数数。。令是是自自由由参参数数，，放放在在集集合合中中。。引引入入向向量量，，(5.12)式变变为为(5.13)其中中为为维维向向量量，，其其第第个个元元素素为为(5.14)2.自适适应应模模糊糊滑滑模模控控制制器器的的设设计计采用用模模糊糊系系统统逼逼近近和和，，则则控控制制律律（（5.9）变变为为(5.15),(5.16)其中中为为模模糊糊向向量量，，参参数数和和根根据据自自适适应应律律而而变变化化。。设计计自自适适应应律律为为：：(5.17)(5.18)自适适应应模模糊糊控控制制系系统统如如图图5-8所所示示。。图5-8自自适适应应模模糊糊控控制制系系统统3.稳定定性性分分析析由式式（（5.15））代代入入式式（（5.7））可可得得如如下下模模糊糊控控制制系系统统的的闭闭环环动动态态（5.19））令：：,（（5.20））则动动态态方方程程（（5.19））可可写写为为向向量量形形式式：：(5.21)设最最优优参参数数为为(5.22)(5.23)其中中和和分别别为为和和的的集合合。。定义义最最小小逼逼近近误误差差为为(5.24)式（（5.21））可可写写为为：：（5.25）将式式（（5.16））代代入入式式(5.25),可可得得闭闭环环动动态态方方程程：：（5.26）该方方程程清清晰晰地地描描述述了了跟跟踪踪误误差差和和控控制制参参数数、、之之间间的的关关系系。。自自适适应应律律的的任任务务是是为为、、确确定定一一个个调调节节机机理理，，使使得得跟跟踪踪误误差差和和参参数数误误差差、、达达到到最最小小。。定义义Lyapunov函函数数(5.27)式中中，，是是正正常常数数，，为为一一个个正正定定矩矩阵阵且且满满足足Lyapunov方方程程（5.28）其中中是是一一个个任任意意的的正正定定矩矩阵阵，，由由式式（5.20））给出出。。取，，，，。。令，，则（（5.26）式式变变为为：：即的导导数数为为：：（5.29）将将将自自适适应应律律（（5.17））和和（（5.18））代代入入上上式式，，得得：：（5.30）由于于，，通通过过选选取取最最小小逼逼近近误误差差非非常常小小的的模模糊糊系系统统，，可可实实现现。。仿真真实实例例被控控对对象象取取单单级级倒倒立立摆摆，，如如图图5-5所示示，，其其动动态态方方程程如如下下：：其中中和和分分别别为为摆摆角角和和摆摆速速，，，，为为小小车车质质量量，，为为摆摆杆杆质质量量，，，，为为摆摆长长的的一一半半，，，，为为控控制制输输入入。。位置置指指令令为为。。取取以以下下5种隶隶属属函函数数：：由于于i=1,2,则则用用于于逼逼近近和的的模模糊糊规规则则分分别别有有25条。。图5-5单级级倒倒立立摆摆系系统统示示意意图图根据据隶隶属属函函数数设设计计程程序序，，可可得得到到隶隶属属函函数数图图，，如如图图5-6所示示。图5-6的隶隶属属函函数数倒立立摆摆初初始始状状态态为为，，和和的的初初始始值值取取0.10，采采用用控控制制律律（（5.9），，取取自适适应应参参数数取取，，。。在程程序序中中，，分分别别用用、、、、和和表表示示模模糊糊系系统统的分分子子、、分分母母及及，，仿仿真真结结果果如如图图5-7至图图5-10所示示。。图5-7位置跟跟踪图5-8控制输输入信信号图5-9及的的变变化图5-10及的的变变化间接模模糊自自适应应控制制仿真真程序序有5个：（1）隶属属函数数设计计程序序：chap5_3mf.m；(2)Simulink主程序序：chap5_3sim.mdl；(3)控制器器S函数：：chap5_3s.m；(4)被控对对象S函数：：chap5_3plant.m；(5)作图程程序：：chap5_3plot.m。见附附录。5.3直接自自适应应模糊糊控制制直接模模糊自自适应应控制制和间间接自自适应应模糊糊控制制所采采用的的规则则形式式不同同。间间接自自适应应模糊糊控制制利用用的是是被控控对象象的知知识，，而直直接模模糊自自适应应控制制采用用的是是控制制知识识。问问题描描述考虑如如下方方程所所描述述的研研究对对象（5.31）（5.32）式中，，为为未未知函函数，，为为未未知的的正常常数。。直接自自适应应模糊糊控制制采用用下面面IF-THEN模糊规规则来来描述述控制制知识识：如果是是且且……且是是，，则则是是（5.33）式中，，，，为为中中模糊糊集合合，且且。。设位置置指令令为，，令(5.34)选择，，使多多项式式的的所所有根根部都都在复复平面面左半半开平平面上上。取取控制制律为为(5.35)将(5.35)代入入(5.31)，得得到闭闭环控控制系系统的的方程程：(5.36)由的的选选取，，可得得时时，，即系系统的的输出出渐进地地收敛敛于理理想输输出。直接型模糊糊自适应控控制是基于于模糊系统统设计一个个反馈控制制器和和一个调整整参数向量量的的自适应律律，使得系系统输出尽尽可能能地跟踪理理想输出。。5.3.2控制制器的设计计直接自适应应模糊控制制器为（5.37）式中，是一个模糊糊系统，是是可调调参数集合合。模糊系统可可由以下两两步来构造造：步骤1：对变量，，定义义个个模糊集合合()步骤2：用用以下条条模糊规则则来构造模模糊系统:如果是是且且…且是是，，则是是（（5.38）其中，,。。采用乘积推推理机、单单值模糊器器和中心平平均解模糊糊器来设计计模糊控制制器，即（5.39）令是是自由参参数，放在在集合中中，，则模糊控制制器为：(5.40)其中为为维维向量。其第个个元素为(5.41)模糊控制规规则（5.33）是是通过设置置其初始参参数而被嵌嵌入到模糊糊控制器中中的。5.3.3自适应应律的设计计将式（5.35）、、（5.37）代入入式（5.31），，并整理得得：（5.42）令（5.43）则闭环系统统动态方程程（5.42）可写写成向量形形式：（5.44）（5.45）定义最优参参数为:定义最小逼逼近误差为为：（5.46）由式（5.44）可可得：（5.47）由式（5.40），，可将误差差方程（5.47））改写为：：（5.48）定义Lyapunov函数：：（5.49）其中参数是是正的的常数。为一个正定定矩阵且满满足Lyapunov方程（5.50）其中是是一个任任意的正正定矩阵，，由式（（5.43）给出。。令则（5.48）式变为：：取即的导数为：：（5.51）令为的的最最后一列，，由可可知则式（5.51）变变为：（5.52）取自适应律律（5.53）则（5.54）由于，，是是最小逼逼近误差，，通过设计计足够多规规则的模糊糊系统，，可使充充分小小，并满足足，，从而使使得。。直接型自适适应模糊控控制系统的的结构如图图5-15所示。图5-15直接型自适适应模糊控控制系统仿真实例被控对象为为一二阶系系统：位置指令为为。。取以下6种隶属函数数：系统摆初始始状态为，，的初初始值取0，采用控制制律（5.39），取,,自适应参数数取。。根据隶属函函数设计程程序，可得得到隶属函函数图，如如图5-16所示。在控控制系统仿仿真程序中中，分别用用、、和表表示模模糊系统的的分子、分分母及，，仿仿真结果如如图5-17和图5-18所示。图5-12的隶属函数数图5-13位置跟踪图5-14控制输入信信号直接自适应应模糊控制制程序有5个：（1）隶属函数数设计程序序chap5_4mf.m；(2)Simulink主程序chap5_4sim.mdl；(3)控制器S函数程序chap5_4s.m；(4)被控对象S函数程序chap5_4plant.m；(5)作图程序：：chap5_4plot.m。5.4机机器人关节节数学模型型在许多生产产场合，利利用机器人人取代人体体操作，不不仅提高了了生产效率率，而且还还能完成一一些人所不不能完成的的高强度、、危险作业业。机械臂臂是工业机机器人中常常见的一类类被控对象象。一个典型的的多关节机机器人如图图5-19所示。图5-19一个个8关节机机器人式中为关节节角位移量量，为机器器人的惯性性矩阵，表表示离心力力和哥氏力力，为重力力项，表示示摩擦力矩矩，为控制制力矩，为为外加扰动动。一个典型的的多关节机机器人如图图5-20所示。（5.55）考虑一个关关节机器人人，其动态态性能可由由二阶非线线性微分方方程描述：：图5-20双关节刚刚性机械手手示意图机械手动力力学模型的的特点：1、动力力学模型包包含的项数数多。随着着机器人关关节数的增增加，方程程中包含的的项数增加加。

2、、高度非线线性，方程程的每一项项都含有正正弦余弦等等非线性因因素。3、高度耦耦合。4、模型不不确定性和和时变性。。当机器人人搬运物体体时，由于于所持物件件不同，负负载会发生生变化，另另外，关节节的摩擦力力矩也会随随时间变化化。机械手动力力学模型有有以下几个个特性：1、为为一个正定定对称矩阵阵，且是有有界的，即即存在已知知正常数和和，，使得得；；

2、有有界，，即存在已已知，，使得得成成立立；

3、、矩阵为为斜对称称矩阵；4、未知知扰动满足足，，为为一个已已知正常数数。5.5.1系统描描述5.5基基于模糊补补偿的机械械手自适应应模糊控制制机器人的动动态方程为为：（5.56）其中为惯性力矩矩，是是向心力和和哥氏力矩矩，是是重力项，，是是由摩摩擦、、扰扰动、、负负载变化的的不确定项项组成。基基于模糊糊补偿的的控制假设、和和为已知知，且所所有状态态变量可可测得。。定义误误差函数数为：（5.57）其中为为正定定阵，为为跟踪误误差。定义（5.58）定义Lyapunov函数（5.59）其中，则则则（5.60）其中为为未知非非线性函函数，采采用基于于MIMO的模模糊系统统来来逼近近。。参考文献献[15]，设设计以下下两种基基于模糊糊补偿的的自适应应控制律律。1.自适适应控制制律的设设计设设计计控制律律为：（5.61）其中，，，，，，（5.62）其中，，为为模模糊系统统。（5.63）将控制律律式（5.61）代入入式（5.60），得得定模糊逼逼近误差差为：自适应律律为（5.64）则2.鲁棒棒自适应应控制为了消除除逼近误误差造成成的影响响，保证证系统稳稳定，在在控制律律中采用用了鲁棒棒项。设设计鲁棒棒自适应应律为其中。。将控制律律式（5.65）代入入式（5.59），得得（5.65）假设机器器人关节节个数为为个个，，如果采采用基于于MIMO的模模糊系统统来来逼近，，则则对每个个关节来来说，