机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动

连续系统的振动2023/1/151《振动力学》实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。2023/1/152《振动力学》教学内容弦的横向振动杆的纵向振动轴的扭转振动梁的弯曲振动振型函数的正交性连续系统的响应·振型叠加法2023/1/153《振动力学》（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性体，即在弹性范围内服从虎克定律。说明（2）材料均匀连续；各向同性。（3）振动满足微振动的前提。2023/1/154《振动力学》6.1弦的横向振动弦两端固定，以张力T

拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移

单位长度弦上分布的作用力

单位长度弦的质量

微段受力情况达朗贝尔原理：微振：2023/1/155《振动力学》不计dx的二次项，同除以dx：此为弦的横向振动的偏微分方程式中：2023/1/156《振动力学》弦的横向强迫振动方程其中：从图上看出，在两端：这就是边界条件。弹性波沿弦向的传播速度波动方程2023/1/157《振动力学》弦存在着同步运动的特征：弦位移的形状不随时间改变但弦位移形状的幅度随时间改变，弦上各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位置。数学上讲，就是位移函数在时间和空间上是分离的，即位移函数可以写成：2023/1/158《振动力学》弦存在着同步运动的特征：代入上式：移项得：2023/1/159《振动力学》这样，偏微分方程就变成两个二阶常微分方程，x,t.而(6.1-10)的解应该是简谐的：2023/1/1510《振动力学》而(6.1-11)的解应该是：代入(6.1-13)得：振型函数2023/1/1511《振动力学》由此得无穷多个固有频率：频率ω1称为基频或基谐波，较高次频率称为高次谐波。高次谐波是基频的整数倍。对应无穷多个固有频率，就有无穷多个固有振型函数：此处D省略，因为Y表示系统各点振幅的相对比值（振型）。2023/1/1512《振动力学》系统自由振动是这些固有振型振动的叠加：连续系统与多自由度系统的特性类似。离散→连续，振型向量→振型函数。2023/1/1513《振动力学》由三角函数的正交性：设在t=0时刻，有所以得：2023/1/1514《振动力学》可见初始条件决定每一阶固有振型在系统中的贡献。张紧弦的自由振动除了基频振动外，还可以包含高次谐波振动在振动中各阶谐波的出现与否及出现的相对大小取决于激励。2023/1/1515《振动力学》例6.1-1考虑两端固定的弦，求振动的前三阶固有频率和相应的固有振型，并作出振型图。解：弦的固有频率：弦的固有振型：2023/1/1516《振动力学》前三阶固有振型图各阶频率成倍增长，振型相应增多，振幅为零的节点个数逐次增加，第n阶固有振型有n-1个节点。2023/1/1517《振动力学》例6.1-2考虑均匀弦在x=0和x=L处固定的特征值问题，证明特征函数Yr(x)和Ys(x)满足如下正交性关系：解：先将振型函数正则化，即令：2023/1/1518《振动力学》所以有：2023/1/1519《振动力学》同样有：2023/1/1520《振动力学》注意：在本例中，特征函数满足正交性只是普通三角函数正交性的重复。然而，在本质上特征函数的正交性是一般的，而系统的特征函数为三角函数是非常特殊的情况。回想离散系统，同样有振型的正交性，同样有一组固有频率和固有振型来表示系统的特征。至此，除了离散系统的固有频率和固有振型是有限集，而连续系统的固有频率和固有振型是无限集以外，离散系统和连续系统的相似性便完备了。2023/1/1521《振动力学》例6.1-3设张紧弦在初始时刻将中点拨离h(如图)

，然后无初速地释放，求弦的自由振动。解：弦的初始形状就是y(x,0):以上两式就是初始条件。由于2023/1/1522《振动力学》2023/1/1523《振动力学》2023/1/1524《振动力学》弦的自由振动分析小结1.建立动力学方程4.根据边界条件求解固有频率和