第6讲：对数式与对数函数

第三章基本初等函数（I）对数式与对数函数第6讲考纲要求考纲研读1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点．

x3．了解指数函数y＝a与对数函数y＝logax

互为反函数(a>0，a≠1).1.能进行指数式与对数式的互化，能根据运算法则、换底公式进行运算．2．能利用对数函数的单调性比较大小、解对数不等式，会解对数方程，利用图像判断解的个数．3．反函数的概念仅限于指数函数与对数函数之间．4．会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围.1．对数的概念(1)如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)对数恒等式：loga1＝0，logaa＝1，

＝N.(3)以10为底的对数叫做常用对数，记作lgN；以e为底的对数叫做自然对数，记作lnN.2．对数的运算性质如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则(1)logbN＝_______(a，b>0，a，b≠1，N>0)．(2)logba·logab＝____(a>0，a≠1，b>0)logaM＋logaNn·logaMlogaM－logaN3．换底公式

1y＝logax(a>1)y＝logax(0<a<1)图像定义域值域R性质过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0

x∈(0,1)时y＜0，x∈(1，＋∞)时y＞0

x∈(0,1)时y＞0，x∈(1，＋∞)时y＜0在(0，＋∞)上是单调递____在(0，＋∞)上是单调递___4．对数函数的图像及性质(0，＋∞)增减

5.指数函数y＝ax

与对数函数y＝logax

互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．DA3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝()A4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()C5．(2011年广东清远一模)若log2(a＋2)＝2，则3a＝___.9考点1对数式的运算例1：①已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝_________.A．0B．1C．2D．4CA②(2010年四川)2log510＋log50.25＝(

)解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.故选C.

(1)题应设法对数换底公式将log1245换成以常用对数，并且设法将12与45转化为2,3来表示；(2)题直接利用对数的运算法则；(3)题考查指数式与对数式的互化及换底公式的变形形式logab＝

1logba.对数的运算法则及换底公式是对数运算的基础，应该熟记并能灵活应用．【互动探究】313考点2对数函数的图像例2：已知

loga2＜logb2，则不可能成立的是()A．a>b>1B．b>1>a>0C．0<b<a<1D．b>a>1

解析：(1)令y1＝logax，y2＝logbx，由于loga2＜logb2，它们的函数图像可能有如下三种情况，由下图(1)、(2)、(3)，分别得0＜a＜1＜b，a＞b＞1,0＜b＜a＜1.

D【互动探究】

2．如果函数y＝a－x(a＞0，a≠1)是增函数，那么函数f(x)＝loga

1x＋1的图像大致是()D3．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[-1,1]时，f(x)＝x2，则方程y＝f(x)与y＝log5x的实根个数为()A．2B．3C．4D．5C解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知函数y＝f(x)的周期为2，作出其图像如下图，当x＝5时，f(x)＝1，log5x＝1；当x＞5时，f(x)∈[0,1]，log5x＞1，y＝f(x)与y＝log5x的图像不再有交点，故选C.考点3对数函数性质及其应用例3：①已知

y＝f(x)是二次函数，且f(0)＝8及f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数y＝log3f(x)的单调递减区间及值域．解析：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝8得c＝8.由f(x＋1)－f(x)＝－2x＋1得a＝－1，b＝2.∴f(x)＝－x2＋2x＋8.(2)y＝log3f(x)＝log3(－x2＋2x＋8)＝log3[－(x－1)2＋9]当－x2＋2x＋8>0时，－2<x<4，单调递减区间为(1,4)，值域(－∞，2]．

②设a为常数，试讨论方程lg(x－1)＋lg(3－x)＝lg(a－x)的实根的个数．解析：原方程等价于3－x＞0，a－x＞0，(x－1)(3－x)＝a－x，即a＝－x2＋5x－3，1＜x＜3.构造函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)和y＝a，x－1＞0，作出它们的图像，如图.易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况：【互动探究】增区间为()CA．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．[0,2)D．(－2,0]5．关于x的方程lg(ax－1)－lg(x－3)＝1有解，则a的取值范围是____________.13<a<101．比较两个对数的大小的基本方法(1)若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小．(2)若真数相同，底数不同，则可借助函数图像，利用图像在直线x＝1右侧“底大图低”的特点比较大小．(3)若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小．2．解决对数函数