弹性力学 第四章

Chapter4solutionofplaneproblemsinpolarcoordinates

第四章平面问题极坐标解答徐汉忠第一版2000/71弹性力学第四章Polarcoordinates极坐标ThepositionofapointPinpolarcoordinatesisdefinedbytheradialcoordinaterandtheangularcoordinate.

一点P的极坐标用径向坐标r和角坐标表示P(r,)

displacements:位移：

ur

u

strains:应变:r

rrstresses:

应力：r

rbodyforce:体力:

KrK徐汉忠第一版2000/72弹性力学第四章

xr

r

y徐汉忠第一版2000/73弹性力学第四章4.1Differentialequationsofequilibriuminpolarcoordinates极坐标中的平衡微分方程P54(E)Fig.4.1.1;P58(中)图4-1徐汉忠第一版2000/74弹性力学第四章Review:differentialequationsofequilibriuminrectangularcoordinate直角坐标平衡方程x/x+yx/y+X=0--x方向的平衡方程，体力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为x方向。对应力的第一个下标求导。y/y+xy/x+Y=0--y方向的平衡方程，体力和应力都是y方向，故应力的第二个下标为y方向。对应力的第一个下标求导。Inthefirst(second)differentialequationofequilibrium,thebodyforceandstressesareinthex(y)direction,thesecondcoordinatesubscriptinstressesisx(y),thedifferentialofstressesisrespecttothefirstsubscripts.徐汉忠第一版2000/75弹性力学第四章两种坐标系中的平衡微分方程的比较x/x+yx/y+X=0y/y+xy/x+Y=0(2.2.2)r/r+r/(r)+(r-)/r+Kr=0(4.1.1)/(r)+r/r+2r/r+K=0(4.1.2)(r-)/r---正r面面积大于负r面面积,与通过形心的r轴有一角度2r/r----r

作用的正r面面积大于负r面面积，r与通过形心的轴有一角度徐汉忠第一版2000/76弹性力学第四章4.2geometricalandphysicalequationsinpolarcoordinates极坐标中的几何物理方程P57(E)Fig.4.2.1;P60(中)图4-2徐汉忠第一版2000/77弹性力学第四章Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移PP=urAA=ur+ur/

rdrBB=ur+ur/

dr=(PA-PA)/PA=(AA-PP)/PA=[(ur+ur/rdr)-ur]/dr=ur/r

=(PB-PB)/PB=[(r+ur)d-rd]/(rd)=ur/r

徐汉忠第一版2000/78弹性力学第四章Onlytheradialdisplacementtakesplace只有径向位移theangleofrotationofPAwillbe=0theangleofrotationofPBwillbe=(BB-PP)/PB=[(ur+ur/d)-ur]/rd=ur/(r)

rr=+=ur/(r)

徐汉忠第一版2000/79弹性力学第四章Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移PP=u

AA=u+u/

rdrBB=u+u/dr=0=(PB-PB)/PB=(BB-PP)/PB=[(u+u/d)-u

]/(rd)=u/(r)徐汉忠第一版2000/710弹性力学第四章Onlythecircumferentialdisplacementtakesplace只有环向位移theangleofrotationofPAwillbe=(AA-PP)/PA=[(u+u/rdr)-u

]/dr=u/rtheangleofrotationofPBwillbe=-<pop=-PP/OP=-u/r

rr

=+=u/r-u/r

徐汉忠第一版2000/711弹性力学第四章

geometricalequationsinrectangularcoordinates

直角坐标中的几何方程

x=u/xy=v/yrxy=u/y+v/xgeometricalequationsinpolarcoordinates

极坐标中的几何方程r=ur/r

=ur/r+u/(r)

rr=ur/(r)

+u/r-u/r

徐汉忠第一版2000/712弹性力学第四章x=u/x

y=v/y中的规律由x=u/x

y=v/y，得出规律：某一坐标方向的位移对该坐标求导为该坐标方向的正应变中的项。1.x=u/x---x方向的位移u对x坐标求导u/x为x方向线段的正应变x。2.y=v/y---y方向的位移v

对y坐标求导v/y为y方向线段的正应变y。将此规律应用到极坐标。则有r方向的位移ur对r求导为r方向的正应变中的项r=ur/r。方向的位移u对求导（再除以r以保持因次一致），为方向的正应变中的项=u/(r)。徐汉忠第一版2000/713弹性力学第四章rxy=u/y+v/x中的一般规律由rxy=u/y+v/x，总结出一般规律，即设有两个正交坐标方向，一个坐标方向的位移（如u）对另一个坐标方向（y）求导为该坐标方向（y）线段的转角。1.u/y--x方向的位移u

对y坐标求导为y方向线段的转角。2.v/x--y方向的位移v

对x坐标求导为x方向线段的转角。应用这一规律于极坐标，就能方便地解释ur/(r)

+u/r为rr中的项。徐汉忠第一版2000/714弹性力学第四章

=ur/r+u/(r)

=[2(r+a)-2r])/2r=a/r徐汉忠第一版2000/715弹性力学第四章rr=ur/(r)

+u/r-u/r徐汉忠第一版2000/716弹性力学第四章

physicalequationsinpolarcoordinates

极坐标中的物理方程Thephysicalequationsinthetwocoordinatesystemsmusthavethesameform,butwithrandinplaceofxandyrespectively.x=[x-y]/E(2.6.4)y=[y-x]/Erxy=xy/Gx--r

y--r=[r-]/E(4.2.14-16)=[-r]/Err=r/G徐汉忠第一版2000/717弹性力学第四章4.3stressfunctionandcompatibilityequationinpolarcoordinates

极坐标中的应力函数及相容方程r=/(rr)+2/(r22)

=

2/r2

r=-(/r)[/(r)]=-1/r2/(r)+1/r2/r+=/(rr)+2/(r22)+2/r2x+y=

2/y2+2/x2

r+=x+y/(rr)+2/(r22)+2/r2=

2/y2+2/x22=/(rr)+2/(r22)+2/r2=

2/y2+2/x24

=[/(rr)+2/(r22)+2/r2]2

=0(4.3.9)徐汉忠第一版2000/718弹性力学第四章4.4coordinatetransformationofstresscomponents应力分量的坐标变换式Egs.(4.4.1)---(4.4.12)徐汉忠第一版2000/719弹性力学第四章4.5Axisymmetrialstressesandcorrespondingdisplacements轴对称应力和相应的位移Axisymmetrialstresses：轴对称应力：1.thenormalstresscomponentsareindependentof

2.theshearingstresscomponentsvanish3.hencethestressdistributionissymmetricalwithrespecttoanyplanepassingthroughthezaxis.

r=r(r)=

(r)

r=0徐汉忠第一版2000/720弹性力学第四章r=r(r)=

(r)

r=0

r(r)

(r)

r(r)

(r)

徐汉忠第一版2000/721弹性力学第四章

Axisymmetrialstresses

轴对称应力r=/(rr)+2/(r22)=

2/r2r=-(/r)[/(r)]=-1/r2/(r)+1/r2/=(r)r=/(rr)=

2/r2r=0徐汉忠第一版2000/722弹性力学第四章

thecompatibilityequationanditssolution

相容方程及其解4

=[/(rr)+2/(r22)+2/r2]2

=0(4.3.9)=(r)4

=[/(rr)+2/r2]2

=0=Alnr+Br2lnr+Cr2+D(4.5.2)r=/(rr)=A/r2+B(1+2lnr)+2C(4.5.3)=

2/r2=-A/r2+B(3+2lnr)+2C(4.5.4)

r=0

(4.5.5)SubstitutionofEqs.(4.5.3)-(4.5.5)intophysicalEquationsyieldstheaxisymmetricalstraincomponents.徐汉忠第一版2000/723弹性力学第四章[/(rr)+2/r2]2

=0

[/(rr)+2/r2][/(rr)+2/r2]

=0/(rr)/(rr)=r-2’’-r-3’/(rr)[2/r2]=r-1’’’2/r2[/(rr)

]=/r[r-1’’-r-2’]=r-1’’’-2r-2’’+2r-3’2/r2[2/r2]=d4/dr4r4’’’’+2r3’’’-r2’’+r’=0

=Alnr+Br2lnr+Cr2+D(4.5.2)徐汉忠第一版2000/724弹性力学第四章

r4’’’’+2r3’’’-r2’’+r’=0

Assumer=et=Alnr+Br2lnr+Cr2+D(4.5.2)徐汉忠第一版2000/725弹性力学第四章

thecorrespondingstrainsanddisplacements

相应的应变及位移SubstitutionofEqs.(4.5.3)-(4.5.5)intophysicalEquationsyieldstheaxisymmetricalstraincomponents.将式(4.5.3)-(4.5.5)的应力代入物理方程得应变分量，为轴对称。Substitutingthestrainsintogeometricalequationsandthendoingsomeintegration,weobtainthedisplacements.将应变分量代入几何方程并积分等可得位移分量，一般不为轴对称。徐汉忠第一版2000/726弹性力学第四章

Thecorrespondingdisplacementsinplanestressproblems平面应力问题的相应位移ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br+2(1-)Cr]+Icos+Ksin

(4.5.16)

u=4Br/E+Hr-Isin+Kcos

(4.5.17)theyareusuallynotsymmetricalaboutthezaxis.位移分量一般不为轴对称.u=4Br/Emaybemulti-valueddisplacements.可能为位移多值项。徐汉忠第一版2000/727弹性力学第四章

Thesymmetricaldisplacementsinplanestressproblems

平面应力问题的轴对称位移ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br+2(1-)Cr]+Icos+Ksin

(4.5.16)

u=4Br/E+Hr-Isin+Kcos

(4.5.17)

I=K=H=B=0ur=1/E[-(1+)A/r+2(1-)Br(lnr-1)+(1-3)Br+2(1-)Cr]u=0徐汉忠第一版2000/728弹性力学第四章rigid-bodydisplacements:刚体位移

ur=Icos+Ksin

u=Hr-Isin+KcosI--therigid-bodytranslationinthexdirection.I--x向的刚体平动。K--therigid-bodytranslationintheydirection.K--y向的刚体平动。H--therigid-bodyrotationaboutthezaxis.H--绕z轴的刚体转动徐汉忠第一版2000/729弹性力学第四章4.6Hollowcylindersubjectedtouniformpressures均布压力作用下的中空圆柱体P65(E)Fig.4.6.1

p71(中)图4-4徐汉忠第一版2000/730弹性力学第四章Stresses

应力r=/(rr)=A/r2+B(1+2lnr)+2C(4.5.3)=

2/r2=-A/r2+B(3+2lnr)+2C

(4.5.4)

r=0

(4.5.5)theconditionofsingle-valueddisplacementsleadstoB=0r=A/r2+2C=-A/r2+2C

r=0徐汉忠第一版2000/731弹性力学第四章Boundaryconditions

边界条件r=A/r2+2C=-A/r2+2C

r=0

r)r=a=0andr)r=b=0aresatisfiedautomaticallyr)r=a=-qa

r)r=b=-qb

------p65(E)Eqs.(4.6.1)---------ACLame`sformulasforthestressP66(E)(4.6.2)

拉密解答徐汉忠第一版2000/732弹性力学第四章

Onlyinternalpressureacts只有内压

qa0

qb=0

P66(E)Eqs.(4.6.3)Fig.4.6.1.b.

bsaint-venantsprinciple

Onlyexternalpressureacts只有外压

qa=

0qb0P66(E)Egs.(4.6.5)

Fig.4.6.1c.徐汉忠第一版2000/733弹性力学第四章4.7purebendingofcurvedbeams曲梁的纯弯曲P67(E)Fig.4.7.1

徐汉忠第一版2000/734弹性力学第四章

curvedbeams曲梁Acurvedbeamwithaconstantnarrowrectangularcrosssection.矩形断面曲梁Acurvedbeamwithacircularaxis.圆轴曲梁Innerradiusisa;outerradiusisb;centralangleis.内半径a,外半径b,中心角.ThemomentofeachcoupleperunitwidthofthebeamattheendsisM.单位宽度的端弯矩为

M.徐汉忠第一版2000/735弹性力学第四章Axisymmetricalstressesofthecurvedbeam曲梁的轴对称应力Sincethebendingmomentisconstantalongthebeam,thestressdistributionisthesameonallcrosssectionsandthesolutionoftheproblemcanthereforebeobtainedbyusingEqs.(4.5.2)to(4.5.5)因为弯矩相同，因此各断面上应力分布相同而可用轴对称应力表达式(4.5.2)到(4.5.5)=Alnr+Br2lnr+Cr2+D(4.5.2)r=/(rr)=A/r2+B(1+2lnr)+2C(4.5.3)=

2/r2=-A/r2+B(3+2lnr)+2C

(4.5.4)

r=0(4.5.5)徐汉忠第一版2000/736弹性力学第四章Boundaryconditions边界条件1.r)r=a=0，r)r=b=0,r)=0=0andr)==0aresatisfiedautomatically2.r)r=a=0A/a2+B(1+2lna)+2c=0

(4.7.2)

r)r=b=0A/b2+B(1+2lnb)+2c=0

(4.7.3)徐汉忠第一版2000/737弹性力学第四章Boundaryconditions

边界条件3.ab)=0dr=0

ab)=0dr=abd2/dr2dr=(d/dr)ab=(rr)ab=br)r=b-ar)r=a=0

satisfiedautomaticallyifEqs.(4.7.2)(4.7.3)aresatisfied.

当方程(4.7.2)(4.7.3)满足后，ab)=0dr=0自动满足。

徐汉忠第一版2000/738弹性力学第四章Boundaryconditions

边界条件4.ab)=0rdr=Mab)=0rdr=ab

rd2/dr2dr

=abrd(d/dr)=

(rd/dr)ab

-ab

d/dr

dr

=(r2r)ab-

)ab=b2r)r=b-a2r)r=a-

)ab

=-

)ab

=

)r=a-

)r=b=M

=Alnr+Br2lnr+Cr2+D(4.5.2)

(Alna+Ba2lna+Ca2+D)-(Alnb+Bb2lnb+Cb2+D)=M(4.7.6)徐汉忠第一版2000/739弹性力学第四章Boundaryconditions

边界条件SolvingforA,B,CfromEqs.(4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)andthensubstitutingABCintoEqs.(4.5.3)to(4.5.5),weobtaintheGolovinssolutionEqs.(4.7.7)to(4.7.9)解方程(4.7.2)(4.7.3)(4.7.6)得ABC，然后将

ABC代入方程(4.5.3)至(4.5.5)得Golovins解答(4.7.7)至(4.7.9)徐汉忠第一版2000/740弹性力学第四章Analysisofthesolution解答分析ThedistributionofrandisapproximatelyshowninFig.4.7.2

应力r

和近似地绘于图4.7.2徐汉忠第一版2000/741弹性力学第四章Analysisofthesolution

解答分析mechanicsofmaterials

材料力学r=0r=00Elasticity

弹性力学

r0r=00

theneutralaxis(where=0)islocatedalittlenearersurfacethantheoutersurface.中性轴偏内mechanicsofmaterials

材料力学

Elasticity

弹性力学

Crosssectionsremainplaneafterbending.

弯曲后横截面仍为平面。徐汉忠第一版2000/742弹性力学第四章4.9Effectofcircularholesonstressdistribution

圆孔对应力分布的影响Aphenomenonofstressconcentrationintheneighborhoodofahole.anelasticbodywithoutholeissubjectedtoacertainstressdistribution.Ifasmallholeismadeinsidethebody,largeadditionalstressintheneighborhoodoftheholewilltakeplace.Howeverthestressdistributionisalmostthesameatdistanceswhicharelargeincomparisonwiththedimensionofthehole.Itiscalledthephenomenonofstressconcentration.Itisofalocalizedcharacter.徐汉忠第一版2000/743弹性力学第四章4.9Effectofcircularholesonstressdistribution圆孔对应力分布的影响

孔边应力集中现象:

无孔弹性体中有某种应力分布，在该弹性体中有一小孔后，孔边产生很大的附加应力，而离孔较远处应力基本无变化。这种现象叫孔边应力集中现象，它具有局部性。徐汉忠第一版2000/744弹性力学第四章A.arectangularplatewithasmallcircularholeofradiusaandsubjectedtouniformtensileforceofintensityqinthexdirection.

具有半径为a的小圆孔的矩形板在x方向受均布荷载q

p71(E)Fig.4.9.1徐汉忠第一版2000/745弹性力学第四章Thestressatanypointonthecircler=bawillbethesameasiftherewerenoholeatall.

半径为b>>a的圆周上的应力同无孔时的应力x)r=b=q

y)r=b=0

yx

)r=b=0p61(E)(4.4.4)to(4.4.6)r=0.5q+0.5qcos2

=0.5q-0.5qcos2r=-0.5qsin2徐汉忠第一版2000/746弹性力学第四章徐汉忠第一版2000/747弹性力学第四章r=0.5q+0.5qcos2r=-0.5qsin2

r=0.5q

r=0part1r=+0.5qcos2

part2r=-0.5qsin2徐汉忠第一版2000/748弹性力学第四章Part1r=b:r=0.5qr=0P66Eqs.(4.6.5)withqb=-0.5qanda/b=0becomeEqs.(4.9.4)p72徐汉忠第一版2000/749弹性力学第四章

Part2r=b:r=0.5qcos2r=-0.5qsin2

Sincer=/(rr)+2/(r22)=

2/r2r=-(/r)[/(r)]weassume=f(r)cos24=[/(rr)+2/(r22)+2/r2]2

=0(4.3.9)cos2[f(4)(r)+2/rf(r)-9/r2f+9/r3f]=0f(4)(r)+2/rf(r)-9/r2f+9/r3f=0f=Ar4+Br2+C+D/r2

=cos2[Ar4+Br2+C+D/r2]p73Eqs.(4.9.5)rr徐汉忠第一版2000/750弹性力学第四章

Part2--boundarycondition

r)r=a=0r)r=a=0r)r=b=0.5qcos2

r)r=b=-0.5qsin2

---------ABCD

Solution=part1+part2

Eqs.(4.9.6)徐汉忠第一版2000/751弹性力学第四章)r=a=q(1-2cos2)max)r=a=3q

independentofa两端受拉，产生压应力。徐汉忠第一版2000/752弹性力学第四章B.arectangularplatewithasmallcircularholeofradiusaandsubjectedtouniformtensileforceofintensityq1andq2inthexandydirectionrespectively.具有半径为a的小圆孔的矩形板在x和y方向分别受到均布荷载q1和q2作用。1.Putq=q1inEqs.(4.9.6)用q=q1

代入式(4.9.6)2.putq=q2andreplaceby+/2inEqs.(4.9.6)式(4.9.6)中q用q2代,用+/2代.3.Addingtheresultstogether,weobtainEqs.(4.9.7)上述结果相加得本问题解答(4.9.7)徐汉忠第一版2000/753弹性力学第四章C.Aplateofanyshapeinplanestressorstraincondition

withasmallcircleholelocatedatsomedistanceawayfromtheboundaryissubjectedtoanyexternalforces.

Assumethatthereisnohole,findthestresscomponentsandthenthemagnitudesanddirectionsoftheprincipalstresses,1and2,atthepointcorrespondingtothecenterofthehole.Placetheoriginofcoordinatesatthecenterofthehole,withxandyaxesalong1and2respectively,andapplyEqs.(4.9.7)withq1=1andq2=2.徐汉忠第一版2000/754弹性力学第四章C.任意平面问题的板中有一离边界较远的半径为a的小圆孔，受到任意荷载作用。假定无洞，求出洞中心处的应力，主应力1

和

2及方向。置坐标原点于洞中心，x轴在1

方向，y轴在2方向，将q1=1

和

q2=2代入式(4.9.7)得欲求的解答。徐汉忠第一版2000/755弹性力学第四章4.10wedgeloadedatthevertexorontheedges契形体在契顶或契边受力P75(E)Fig.4.10.1徐汉忠第一版2000/756弹性力学第四章A.awedgeissubjectedtoaconcentratedloadatitsvertex.契形体在契顶受集中力因次分析dimensionalanalysis

stress--[force][length]-2

P--[force][length]-1

r--[length]

,,---dimensionlessstresses---P/r=rf()徐汉忠第一版2000/757弹性力学第四章

=rf()(1)substitutionof(1)into

4

=[/(rr)+2/(r22)+2/r2]2

=0yields

1/r3[f(4)()+2f+f]=0[f(4)()+2f+f]=0f=[Acos+Bsin+(Ccos+Dsin)]=r[Acos+Bsin+(Ccos+Dsin)]=r(Ccos+Dsin)徐汉忠第一版2000/758弹性力学第四章

stresses=r(Ccos+Dsin)r=/(rr)+2/(r22)

=2/r(Dcos-Csin)(4.10.3)=

2/r2=0

(4.10.4)

r=-(/r)[/(r)]=0

(4.14.5)徐汉忠第一版2000/759弹性力学第四章

boundaryconditionr=2/r(Dcos-Csin)

=

0

r=0)=/2=

0

r)=/2=0aresatisfied徐汉忠第一版2000/760弹性力学第四章boundaryconditionr=2/r(Dcos-Csin)

freebody0ABFx=0

-/2/2

rcosrd+Pcos=0

Fy=0-/2/2

rsinrd+Psin=0徐汉忠第一版2000/761弹性力学第四章boundaryconditionr=2/r(Dcos-Csin)

freebody0ABFx=0

-/2/2

rcosrd+Pcos=0

Fy=0-/2/2

rsinrd+Psin=0

solvingforDCandsubstitutingDCintoEq.(4.10.3),weobtain:r=-2P/r[(coscos)/(+sin)+(sinsin)/(-sin)]=0

r=0

(4.10.6)徐汉忠第一版2000/762弹性力学第四章

specialcase1特例1:==/2Fig.

Pyxr=-2Psin/(r)

=0r=0

徐汉忠第一版2000/763弹性力学第四章Specialcase2

特例2:==0---------------4.11concentratednormalloadonastraightboundary(Flamantsproblem)直线边界上作用法向集中荷载(符拉芒问题）r=-2Pcos/(r)

=0r=0(4.11.1)

徐汉忠第一版2000/764弹性力学第四章displacements

平面应力问题的位移r=-2Psin/(r)

=0r=0ur=-2Pcoslnr/(E)-(1-)Psin/(E)+Icosu=2Psinlnr/(E)+(1+)Psin/(E)-(1-)Pcos/(E)-Isin