数学建模复习

一、

数学模型基础知识数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究

(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析.二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.1.4

数学建模的方法和步骤数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性描述、优化、预报、决策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续二、

数学软件基础知识常用函数列表：常用MATLAB命令

利用size函数返回矩阵的行数和列数。>>x=[123;456]%定义矩阵xx=123456>>size(x)%查看矩阵x的行数和列数ans=23>>[m,n]=size(x)%返回矩阵x的行数m和列数nm=2n=3利用行标、列标和冒号运算符提取矩阵元素。>>x=[123;456;789]%定义一个3行3列的矩阵xx=123456789>>y1=x(1,2)%提取矩阵x的第1行，第2列的元素>>y2=x(2:3,1:2)%提取矩阵x的第2至3行，第1至2列的元素>>y3=x(:,1:2)%提取矩阵x的第1至2列的元素>>y4=x(1,:)%提取矩阵x的第1行的元素特殊矩阵

零矩阵：zeros

一矩阵：ones

单位阵：eye

对角阵：diag

随机阵：rand

魔方阵：magic方阵的行列式。>>A=[12;34];%定义矩阵A>>d1=det(A)%求数值矩阵A的行列式d1=-2逆矩阵。>>A=[12;34];%定义矩阵A>>Ai=inv(A)%求A的逆矩阵Ai=-2.00001.00001.5000-0.50002023/1/15方阵的特征值与特征向量。>>A=[504;316;023];%定义矩阵A>>d=eig(A)%求数值矩阵A的特征值向量dd=-1.00003.00007.0000>>[V,D]=eig(A)%求特征值矩阵D与特征向量矩阵VV=-0.28570.89440.6667-0.85710.00000.66670.4286-0.44720.3333D=-1.00000003.00000007.00002023/1/15矩阵的迹和矩阵的秩。>>A=[123;456;789];%定义矩阵A>>t=trace(A)%求矩阵的迹t=15>>r=rank(A)%求矩阵的秩r=2符号演算的MATLAB命令

Matlab常用求极限命令

求下列极限symsxlimit((x^3+1)/(x^4+2))symsxlimit(x+2,3)symsxalimit(x+a,a,3)symsxlimit(sqrt(x^2+x)-x,inf)symsxlimit((5*x^3+2*x)/(x^10+x+7),x,-inf)微积分求的1阶和10阶导数symsxf1=diff(tan(x))；f2=diff(tan(x),10)求下列积分symsyxint(3*y*sec(x),y)symsxint(x,2,3)symsxint(exp(-x),0,inf)symsxyzint(int(int(x*y^2*z^5,x),y),z)symsxyint(int(x^3*y,x,2,4),y,1,2)MATLAB绘图命令

loglog函数：双对数坐标绘图>>x=logspace(-1,2);>>loglog(x,exp(x),'-s')>>gridon%为X轴，Y轴加标签>>xlabel('X');ylabel('Y');

polar函数：极坐标绘图>>t=0:0.01:2*pi;>>polar(t,sin(2*t).*cos(2*t),'--r')

plotyy函数：双纵坐标绘图>>x=0:0.01:20;%定义横坐标向量>>y1=200*exp(-0.05*x).*sin(x);

%纵坐标向量>>y2=0.8*exp(-0.5*x).*sin(10*x);%纵坐标向量>>ax=plotyy(x,y1,x,y2,'plot');xlabel('X');>>set(get(ax(1),'Ylabel'),'string','LeftY');%左Y轴标签>>set(get(ax(2),'Ylabel'),'string','RightY');%右Y轴标签双纵坐标绘图>>t=linspace(0,10*pi,300);%产生一个行向量>>plot3(20*sin(t),20*cos(t),t,'r','linewidth',2);%绘制螺旋线>>holdon%图形保持>>quiver3(0,0,0,1,0,0,25,'k','filled','LineWidth',2);%添加箭头作为x轴>>quiver3(0,0,0,0,1,0,25,'k','filled','LineWidth',2);%添加箭头作为y轴>>quiver3(0,0,0,0,0,1,40,'k','filled','LineWidth',2);%添加箭头作为z轴>>gridon%添加网格>>xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');%添加坐标轴标签>>axis([-2525-2525040]);%设置坐标轴范围>>view(-210,30);%设置视角用plot3函数绘制三维螺旋线。>>[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi);>>z=sin(x+sin(y))-x/10;

mesh(x,y,z);>>axis([04*pi04*pi-2.51]);绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y))-x/10。>>ezsurf('u*sin(v)','u*cos(v)','4*v',[-2*pi,2*pi,-2*pi,2*pi])调用ezsurf函数绘制螺面数学软件编程语言

>>x1=linspace(0,2*pi,100);>>x2=linspace(0,3*pi,100);>>x3=linspace(0,4*pi,100);>>y1=sin(x1);>>y2=1+sin(x2);>>y3=2+sin(x3);>>x=[x1;x2;x3]';>>y=[y1;y2;y3]';>>plot(x,y,x1,y1-1,’r-*’)x1,y1-1x,y三列2023/1/15%程序1：y=0;fori=1:infy=y+i^2;ify>2000break;%跳出循环

endendn=i-1y=y-i^2n=17y=1785%程序2y=0;i=0;whiley<=2000i=i+1;y=y+i^2;endn=i-1y=y-i^2

某工厂有两条生产线，分别用来生产M和P两种型号的产品，利润分别为200元/个和300元/个，生产线的最大生产能力分别为每日100和120，每生产一个M产品需要1个劳动日（1个工人工作8小时称为一个劳动日），而每个P产品需要2个劳动日，该厂工人每天共计能提供160劳动日，假如原材料等其他条件不受限制，问应如何安排生产计划，才能使获得的利润最大？建立模型模型求解在Model窗口输入以下模型MAX=200*X1+300*X2;X1<=100;X2<=200;X1+2*X2<=160;注：LINGO默认所有决策变量都为负，因而变量非负条件可以不必输入插值问题

用MATLAB作插值计算一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method')插值方法被插值点插值节点xi处的插值结果‘nearest’

最邻近插值；‘linear’

线性插值；‘spline’

三次样条插值；‘cubic’

立方插值；缺省时分段线性插值．注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围．例4：从1点12点内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度的数值依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24．(1)试估计在3.1h,6.8h,7.5h,11.8h时的温度值；(2)试估计每隔1/10小时的温度值．clcsj=1:12;wd=[5,8,9,15,25,29,31,30,22,25,27,24];%sj1=[3.16.87.511.8];%t=interp1(sj,wd,sj1)%T=interp1(sj,wd,sj1,'spline')sj2=1:0.1:12;t=interp1(sj,wd,sj2,'spline')plot(sj,wd,'o',sj2,t,'*')

要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取为列向量，x,y的值分别不能超出x0,y0的范围．z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)被插值点插值方法用MATLAB作网格节点数据的插值插值节点被插值点的函数值‘nearest’

最邻近插值；‘linear’

双线性插值；‘cubic’

双三次插值；缺省时

双线性插值.例：测得平板表面3×5网格点处的温度分别为：828180828479636165818484828586试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形．1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲线图.2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.[x,y]=meshgrid(1:5,1:3);z=[8281808284;7963616581;8484828586];mesh(x,y,z)xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,z,xi',yi)mesh(xi,yi,zi)三、

数学模型知识公平分配方案应使rA

,rB

尽量小~对A的相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2

，定义

公平的席位分配

定义该席给Q值较大的一方推广到m方分配席位该席给Q值最大的一方Q

值方法计算，p1.p2.c1y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：

单调减(x增加,y减小)

下凸(凸向原点)

互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的

x换取较少的y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）

实物交换模型ABp交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0xx0,0yy0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x军备竞赛模型y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数当x=0时y=y0，y0~乙方的威慑值xyy00y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P~平衡点(双方最少导弹数)乙安全线

商人安全过河模型问题(智力游戏)3名商人3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员.要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)模型构成求dkD(k=1,2,n),使skS,并按转移律sk+1=sk+(-1)kdk

由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).模型求解S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}穷举法~编程上机xy3322110状态s=(x,y)~16个格点

~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移