引论13-信号采样

1.3连续时间信号的采样一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节讨论采样过程:采样后信号的频谱怎样变换，信号内容会不会丢失，离散信号恢复件等。图

连续时间信号的采样过程1.3.1理想采样

理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。冲激函数序列s(t)为（1）以表示理想采样的输出，以后我们都以下标a表示连续信号（或称模拟信号），如xa(t)；而以它的顶部符号（∧）表示它的理想采样，如。这样我们就可将理想采样表示为把式（1）代入式（2），得由于δ(t-nT)只在t=nT时不为零，故(3)(4)（2）1.3.2理想采样信号的频谱在连续时间信号与系统中已学过，表示时域相乘，则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。若各个信号的傅里叶变换分别表示为:(1)(2)(3)则应满足现在来求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即(4)此级数的基频为采样频率，即:一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs为角频率，单位为弧度/秒;习惯上都统称为“频率”。它们的区别由符号f及Ω来识别。根据傅氏级数的知识，系数ak可以通过以下运算求得以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n≠0都在积分区间之外，且利用了以下关系:因而(5)由此得出由于(6)所以(7)将式（7）代入式（4）可得根据冲激函数的性质，可得(8)或者(9)一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T

为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓，即：理想采样信号的频谱，是Xa(jΩ)的周期延拓函数，其周期为Ωs，而频谱的幅度则受1/T加权。如各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，且最高频谱分量Ωh不超过Ωs/2，即图

时域采样后，频谱的周期延拓（a）原始限带信号频谱;（b）采样函数频谱;（c）已采样信号频谱（Ωs>2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs<2Ωh）那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图1-10（c）所示。采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，就可得到不失真的原信号频谱。(10)图

时域采样后，频谱的周期延拓（a）原始限带信号频谱;（b）采样函数频谱;（c）已采样信号频谱（Ωs>2Ωh）;（d）已采样信号频谱（Ωs<2Ωh）如果信号的最高频谱Ωh超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，由于Xa(jΩ)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图中我们将Xa(jΩ)作为标量来处理。常常将采样频率之半（Ωs/2）称为折叠频率，即它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。(11)例：说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图（a）中，给出该余弦信号的傅里叶变换Xa(jΩ)。图（b）是在Ω0<Ωs/2时，的傅里叶变换。图（c）是在Ω0>Ωs/2时，的傅里叶变换。例图

一个余弦信号采样中的混叠效果（d）和（e）则分别对应于Ω0<Ωs/2=π/T和Ω0>π/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为在有混叠时，则是(1-33)这就是说，作为采样和恢复的结果，高频信号cosΩ0t已经被当作和低频信号cos(Ωs-Ω0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特采样定理的基础。例图

一个余弦信号采样中的混叠效果结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号，则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（Ωs>2Ωh），这就是奈奎斯特采样定理。即fs>2fh频率Ωh一般称为奈奎斯特频率，而频率2Ωh称为奈奎斯特率。采样频率必须大于奈奎斯特率。

1.3.3采样的恢复

如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率则采样后不会产生频谱混叠，故将通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率。图

采样的恢复采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱因此，在输出端可以得到原模拟信号理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。1.3.4由采样信号序列重构带限信号理想低通滤波器的冲激响应为由与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为这里h(t-nT)称为内插函数：它的波形如图所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1;其余采样点上，函数值都为零。图

内插函数由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。这个公式说明了，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。图采样内插恢复1.4拉氏变换、傅氏变换与Z变换1.4.1拉氏变换与Z变换

首先讨论序列的Z变换与理想采样信号的拉普拉斯变换的关系。设连续信号为xa(t)，理想采样后的采样信号为，它们的拉普拉斯变换分别为:将式（1-19）的代入可得采样序列x(n)=xa(nT)的Z变换为(1-97)对比式（1-97）看出，当z=esT时，采样序列的Z变换就等于其理想采样信号的拉普拉斯变换：(1-98)这说明，从理想采样信号的拉普拉斯变换到采样序列的Z变换，就是由复变量S平面到复变量Z平面的映射，其映射关系为:(1-99)这个变换称为标准变换。下面来讨论这一映射关系。将S平面用直角坐标表示为s=σ+jΩ而Z平面用极坐标表示z=re

jω将它们代入式（1-99）中，得到rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT因此:r=eσTω=ΩT

(1-100b)(1-100a)显然，z的模r对应于s的实部σ，z的相角ω对应于s的虚部Ω。先讨论s的实轴σ与z的模r的关系，即（1-100a）式

σ=0（S平面虚轴）r=1（Z平面单位圆上）

σ<0（S的左半平面）r<1（Z平面单位圆内部）

σ>0（S的右半平面）r>1(Z平面单位圆外部）再讨论s的虚轴Ω与z的相角ω的关系式（1-100b）

Ω=0（S平面的实轴）ω=0（Z平面正实轴）

Ω由-π/T增至0ω由-π增至0

Ω由0增至π/T→

ω由0增至π可见，Ω由-π/T增至π/T，对应于ω由-π经0增至π，即在Z平面上旋转一周。综上所述，可得结论：Z平面上宽度为2π/T的水平带映射到整个Z平面。同样，每当Ω增加一个采样角频率Ωs=2π/T，则ω相应的增加一个2π，也即在Z平面上重复旋转一周，如图1-34所示。因此S平面到Ｚ平面的映射是多值映射。图1-34S平面与Z平面多值映射关系有了S平面到Z平面的映射关系，就可以进一步通过理想采样所提供的桥梁，找到连续信号xa(t)本身的拉普拉斯变换Xa(s)与采样序列x(n)的Z变换X(z)之间的关系。将1.2节中的式（1-34）重写如下：将此式代入到式（1-98），即得X(z)与Xa(s)的关系：(1-101)1.4.2连续信号的傅氏变换与序列的Z变换

我们再看傅氏变换与Z变换的关系，傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是单位圆z=ejΩT，将这两个关系代入到式（1-98）可得(1-102)(1-103)式（1-102）说明：采样序列在单位圆上的Z变换，就等于其理想采样信号的傅里叶变换（频谱）。1.4.3序列的傅氏变换与Z变换

从式（1-100b）我们看到，Z平面的角变量ω直接对应着S平面的频率变量Ω，因此ω具有频率的意义，称为数字频率，它与模拟域频率Ω的关系是（1-104）可以看出数字频率是模拟角频率对采样频率fs的归一化值，它代表了序列值变化的速率，所以它只有相对的时间意义（相对于采样周期T），而没有绝对时间和频率的意义。将式（1-104）代入式（1-102）可得(1-105)可见，单位圆上的Z变换是和模拟信号的频谱相联系的，因而常称单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，也称为数字序列的频谱。同时，式（1-105）表明：数字频谱是其被采样的连续信号频谱周期延拓后再对采样频率的归一化。因单位圆上序列的Z变换为序列的傅里叶变换，根据式（1-54）Z变换的定义，用ejω代替z，从而就可以得到序列傅里叶变换的定义为再根据Z反变换的公式（1-64），并将积分围线取在单位圆上就可得到序列的傅里