建筑力学6应力应变

1建筑力学第六章应力与应变教师：邹定祺2内容：应力、应变的概念平面应力状态分析重点：应力、应变的概念（正应力、剪应力）胡克定律平面弯曲梁横截面上的应力惯性矩36.1基本概念6.1.1应力的概念△FR

△FR

σ

内力在一点处的集度称为应力，即通常将应力分解为互相垂直的两个分量。垂直于截面的分量称为正应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称为切应力，用表示。

应力的单位为牛顿/平方米（N/㎡），记为Pa。工程中常用单位有：kPa,MPa,GPa.△A46.1.2应变的概念

构件在外力的作用下，其几何形状和尺寸的改变，称为变形。在一点处沿单位长度的线变形的极限称为线应变。在一点处，原来互相垂直的两根棱边的直角夹角的改变量称为切应变或角应变γ。../2-γ...△x

△udx.56.1.3应力与应变之间的关系1.胡克定律

=EεE—材料的弹性模量，时衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。2.剪切胡克定律

=GγG—材料的切变模量3.弹性常数E、G、μ之间的关系μ—材料的泊松比66.2轴向拉压杆横截面上的应力ac...bd..ac.FFFF..bd.max.FFN....σ=FN/A.6.2.2应力集中76.3扭转圆轴横截面上的应力.MeMe

max...ρ.xMx

..ρ.8实心圆轴横截面对0点的极惯性矩

y实心圆轴的抗扭截面系数.dρ.dA.ρ

x.0...D切应力互等定理：

在单元体两个互相垂直的平面上，同时存在垂直于公共棱边且数值相等的剪应力，其方向均指向或背离两平面的交线。这种关系称为切（剪）应力互等定理。9.τ=τ’106.4平面弯曲梁横截面上的应力6.4.1平面弯曲梁横截面上的正应力1.变形几何关系纯弯曲(CD段)实验：中性轴.FF.ACDB..ala.MM.FQ+F.-F..M+FaFa实验观察:11中性层中性轴MM现象一：横向线保持为直线；纵向线与横向线依然垂直。现象二：凹边缩短，凸边伸长。中性层：杆件弯曲变形时，其纵向线段既不伸长又不缩短的层面。中性轴：中性层与横截面的交线。12实验推测的结论：（1）变形前梁的横截面，变形后仍保持为平面,并仍然垂直于变形后得梁轴线，只是旋转了一个角度。（平面假设）（2）变形后，梁向下凸，梁下侧的纵向线伸长,梁上侧的纵向线缩短。若梁是由无数纵向纤维组成。变形后，纵向纤维从上到下，由缩短到伸长的变化中，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。13线应变的几何关系式：..MMx12d..00xρ.yy12.bb.220dx0‘.dxy.dxb’b’22

变形前变形后142.物理关系由于纯弯曲段没有剪力，可认为梁的纵向纤维之间不存在相互挤压，因而当应力不超过某一（比例）极限时，每一纵向纤维处于单向拉伸或压缩。根据胡克定律，横截面上的正应力：

(6.2.4)可见，横截面上，各点的正应力σ与该点到中性轴的距离成正比，即，σ沿截面高度按直线规律变化。M

x

yMyzOx153.静力学关系..MzMzx..x

σdA......yy横截面上所有微内力σdA组成的空间平行应力系可以简化为三个内力分量：

16根据平衡条件：17由平面图形的几何性质可知，只有当z轴通过截面的形心时，才能使静矩Sz等于零，因此，式（6-28）表明，中性轴z必定通过截面形心。18公式（6-31）的适用条件和范围：（1）纯弯曲和跨高比L/h>5的横力弯曲（剪力和弯矩同时存在）的梁（细长梁）。（2）适用于具有一纵向对称面，横截面具有一对称轴，荷载作用于对称面的梁。（3）当梁的应力σ超过材料的线弹性（比例极限σp）时公式不适用。19由（6-31）知梁截面上最大正应力发生在离中性轴最远处，设ymax为最远点到中性轴的距离，则：206.4.2惯性矩的计算1.矩形截面

.b....h0z

.y..

.dy..y..212.圆形和圆环形截面直径为d的圆形截面例题【例6-4】悬臂梁如图(a)所示，Ⅰz=405×10-6m4,（1）求1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。（2）求梁横截面上的最大正应力。【解】（1）画出梁的弯矩图如图(c)。（2）计算四点的正应力M1-1=20kN.m,yA=-150×10-3myB=0,yC=100×10-3m,yD=150×10-3mσA=M1-1yA/Ⅰz=-7.41MPaσB=0,σC=M1-1yC/Ⅰz=-4.93MPa,σD=M1-1yD/Ⅰz=7.41MPa(3)最大正应力：Mmax=25kN.m,ymax=150×10-3mσmax=Mmaxymax/Ⅰz=9.26MPa。223m15kN20kN.m4m1m9090150150xyABCD30502520M图(kN.m)(a)(b)111-1截面（单位：mm)236.4.3矩形截面平面弯曲梁横截面上的切应力对于矩形截面梁的高度h大于宽度b的梁，作如下假设：（1）截面上任何点处的切应力

方向与横截面的侧边平行，与剪力同向。（2）切应力沿横截面宽度均匀分布，即距中性轴等距离处的各点的切应力相等。其计算公式为：24式中Sz*—横截面上所求切应力作用点的横线以下（或以上）部分截面积对中性轴的面积矩。25

由公式（6-41）知，矩形截面梁横截面上的切应力在上下边缘y=±h/2处，=0；在中性轴y=0处，。而等于横截面上的平均切应力。故，矩形截面梁横截面上的最大切应力的值等于1.5倍横截面上的平均切应力，且发生在中性轴上各点。.FQb.z.xhzτmax

....yy【例6-5】求图示简支梁1-1截面上a、b两点的切应力。【解】（1）求1-1截面上剪力∑MB=0:FAy×2.2-8×1=0得FAy=40/11kNFQ1-1=FAy=40/11kN（2）求1-1截面a、b点的切应力=bh3/12=75×1503×10-12/12=21.9×10-6m4

268kN1m1.2m1m11751040/11kN48/11kN401501-1截面(mm)FQ图276.5平面应力状态分析6.5.1应力状态的概念

在外力的作用下，构件内各点的应力不同,同时过一点不同方向面上的应力也不同。为了研究一点的应力，通常是围绕该点取一无穷小的单元体。每一对互相平行平面上的同类应力大小相等、性质相同。一点的应力状态可用单元体的三个互相垂直平面上的应力来表示。

单元体上切应力为零的面称为主平面。286.5.2平面应力状态分析1.任意斜截面上的应力.y