振动合成简谐机械波的波函数

上讲：简谐振动特征量运动方程判据1判据2判据3旋转矢量法描述A,,0四、孤立谐振动系统的能量孤立谐振动系统机械能守恒水平放置的弹簧振子{以平衡位置为坐标原点不计振动传播带来的能量损失——辐射阻尼不计摩擦产生的热损耗——摩擦阻尼孤立E–t

曲线E–x曲线A-AEpEEkxEO

竖直悬挂的弹簧振子以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点以平衡位置为坐标原点kmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk恰当选择零势点，可去掉第二项。如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点kmOxkx0EP=0mg-kx0=0xk注意：只要以平衡位置为坐标原点和零势点准弹性势能:（包括重力势能、弹性势能）振动系统总能量五、简谐振动的合成1.关于叠加原理的一般概念物理量满足叠加原理的条件是该物理量遵从线性微分方程例如:简谐振动遵从叠加原理，其合成分解工具：合成：矢量合成的平行四边形法则分解：傅立叶级数展开自然界中存在大量用非线性方程描述的物理现象：强振动，非线性波，激光等均不遵从叠加原理。注意：特点：2.同方向同频率谐振动的合成O合振动仍为该直线上同一频率的谐振动

合振动的强弱与两分振动相位差的关系讨论xOxO多个同一直线上,同频率谐振动的合成——多边形法则特例：封闭多边形:直线:练习：已知:求：解：作平行四边形如图o3.同方向不同频率简谐振动的合成

平行四边形形状变化大小变化，不表示谐振动。设振幅随时间变化振动第一项缓慢变化，第二项快速变化：“拍”调制讨论:(1)但彼此相差很小，调制频率载频拍频合振动出现一次最强O重要意义非谐振动周期性非周期性谐振动研究一切振动的基础讨论:(2)当可化为整数比时，合振动为周期性振动，否则合振动为非周期振动。讨论：(3)振动的频谱任何一个振动都可以分解为一系列谐振动基频：分振动中频率最小值谐频：为基频整数倍的成分主频：分振动中振幅最大的成分频谱：曲线周期性振动的频谱是分立的线状谱4.互相垂直的谐振动合成(1)

两个分振动频率相同，振动方向互相垂直一般情况下为椭圆方程几种不同相差情况下合运动轨迹(2)两个分振动振动方向互相垂直，频率成简单整数比

合运动具有严格的周期性和稳定、封闭的轨道。

——利萨如图形“方波”的分解例：六、振动的分解

任何一个周期性函数都可以分解为一系列频率为基频整数倍的简谐函数——傅里叶分解一、机械波的产生振动在空间传播波动振动质点引起邻近质点的振动实际振动都是有阻尼的阻尼摩擦阻尼:辐射阻尼:有序运动能量无序运动能量有序运动能量有序运动能量波源介质振动相位（状态）能量第三节机械波的产生、传播和叠加产生条件：1)存在做受迫振动的波源。

2)存在能够传播机械振动的弹性介质。波源自由振动(无能量补充)——波动不能长期维持受迫振动(有能量补充)——波动才能长期维持波的分类(1)按物理性质分:水波、声波、电磁波…...(2)按能量传播空间分:一维波、二维波、三维波(3)按振动方式分:脉冲波、周期波、简谐波…...(4)按振动方向与传播方向的关系分:横波，纵波二、描述波动的物理量1.波线和波面波线：由波源出发，沿波传播方向的线，其上任一点切线方向为该点波传播方向。在各向同性均匀介质中，波线为直线，波线与波面垂直。平面简谐行波波面为平面传播中的波(相对于“驻波”而言)波面：某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱面波,平面波……）波前：传在最前面的波面波面波线波面波线2.波的特征量波的特征：在空间、时间上具有周期性

2)波长：同一波线上，相邻的相位差为2的两点间的距离。描述波的空间周期性空间频率描述波动的时间周期性时间频率

1)

周期T、频率:即介质中各质元振动的周期和频率，由波源振动情况决定。3)时间周期性空间周期性在一个周期内，某一个确定的振动状态(相位)在空间正好传播一个波长。二者在同一直线上：纵波二者互相垂直：横波注意：相位传播速度：在各向同性介质中为常数质点振动速度:波速由介质的性质决定振动相位传播的速度简称波速。3.波形曲线描述某时刻、波线上各点位移的分布(广义)思考：对纵波，波形曲线是不是实际波形？波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？对横波：直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形xO注意：波形曲线与振动曲线比较(见下页表)xuxO密部中心疏部中心形变最大形变为零振动曲线波形曲线图形研究对象物理意义特征某质点位移随时间变化规律某时刻，波线上各质点位移随位置变化规律对确定质点曲线形状一定曲线形状随t向前平移由波形曲线可知该时刻各质点位移只有t=0时刻波形才能提供初相波长,振幅A某质点方向参看前一质点AxPt0uOAtPt0TO由振动曲线可知某时刻方向参看下一时刻初相周期T

振幅A

已知：波线上任一点O的振动方程波速u,向右传播求：该平面简谐波波函数4.波函数（波动方程的积分形式）建立波函数的依据波的空间、时间周期性沿波传播方向各质元振动状态(相位)相继落后（滞后效应）振动量

随时间、空间的变化规律三、一维平面简谐行波波动方程建立=(x,t)的数学形式方法1O点的振动状态传到P所需时间解：以参考点O为坐标原点，波速u的方向为+x,建立一维坐标。设P为波线上任意一点，坐标x已知坐标原点振动方程uOP(x)即(1)由于所以(1)、(2)是一致的即(2)P点相位比O落后方法2波线上沿传播方向每走一个，相位落后2uOP(x)平面简谐波波函数的数学形式和物理意义1)

当x给定(x=x0)时即x0

处质点的振动方程即t0

时刻的波形曲线方程。2)

当t给定(t=t0)时对应跑动的波形。3)

当x、t均变化时(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律练习1建立向-x方向传播的简谐行波波函数以参考点为原点P相位比O超前练习2移动坐标原点后如何建立波函数（即参考点不作为坐标原点）已知C点处振动方程为分别以O、O为坐标原点建立波函数，并写出B点的振动方程。解:C为参考点：，设P为波线上任意一点(1)以O为坐标原点P点离参考点C距离P点离参考点C距离(2)以O为坐标原点原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振动方程不变。更换计时起点后如何建立波函数已知:求：将计时起点延后0.05s情况下的波函数练习3代入原波函数:解：设新的时间坐标为tt与t的关系t=t–0.05,即t=t+0.05原函数时间变换，移动计时起点——改变初相原点处得即原点振动方程将(SI)波函数：解：时间变换已知平面简谐练习4波在t=2s时波形,求波函数x/m/mAO/2u由波形曲线和振动曲线建立波函数练习5已知：平面简谐波t=0

时波形和波线上x=1m

处P点振动曲线求：波函数(1)以O

为参考点。(2)以P

为参考点。t/sP/m0.2O0.20.1x/m/m0.2O21Pt=0解：由图可知：则(1)以O为参考点，先写O的振动方程P在t=0时刻过平衡位置向负向运动——波向左传t/sP/m0.2O0.20.1x/m/m0.2O