工程力学第22章

第22章应力状态和强度理论学习要求：1.掌握平面应力状态分析的解析法和图解法；2.了解一点应力状态的概念、强度理论。22.1

应力状态的概念一点处的应力状态：

是指受力构件内某一点处所有方

位截面上应力的集合。单元体：构件内截取的微小正六面体。研究方法：利用静力学的平衡条件来分析单元体所有方位平面上的应力。一、一点处的应力状态的概念主平面：单元体上切应力为零的平面称之。主应力：作用于主平面上的应力称之，分别用σ1,σ2,

σ3表示，并按代数值排列，即σ1

≥σ2≥σ3。主单元体：只有主应力而没有切应力的单元体称之。按主应力不为零的数将一点处的应力状态分为3类：一向应力状态：某点的主单元体上只有一个主应力不为零;二向应力状态：某点的主单元体上有两个主应力不为零;三向应力状态：某点的主单元体上三个主应力都不为零。二、主平面、主应力和应力状态的分类yxz空间和平面应力状态空间应力状态：单元体的所有面上都有应力。特例平面应力状态：单元体上不为零的应力都在同一平面。平面应力状态的几种形式22.2

平面应力状态分析—解析法一、平面应力状态斜截面上的应力

正应力：拉为正压为负；切应力：绕着单元体内任一点顺为正逆为负；

角度：从x轴转到斜截面的外法线n，逆为正顺为负。符号规定二、主平面的确定和主应力的计算两个角度相差90度，说明存在两个相互垂直的主平面，从而可以确定出两个相互垂直的主应力，这两个主应力分别为最大正应力max和最小正应力min。利用三角函数关系可得：利用三角函数关系可得：切应力极值及其所在平面例1：如图所示单元体，试求斜截面上的正应力和切应力。解:

由题意可知1）求斜面上的应力。例2：一点处的平面应力状态如图示。试求：1）斜面上的应力；2）主应力和主平面的方位；3）主应力单元体。解：由图可知30º60MPa40MPa30MPa确定主平面的方位：3）主应力单元体2）求主应力大小和确定主平面方位。30º60MPa40MPa30MPa解：（1）求主应力。例3：试求图中所示单元体的主应力和最大切应力。（2）求最大切应力。RC22.3

平面应力状态分析—图解法一、应力圆或莫尔圆的概念CADa(sx,tx)d(sy,ty)二、莫尔圆的作法三、利用莫尔圆求解平面应力状态1、利用莫尔圆确定斜截面上的应力Ca(sx

,tx

)d(sy,ty

)AD点

面

对

应——莫尔圆圆周上某一点的坐标值对应于单元体某一方位平面上的正应力和切应力；

转

向

对

应——莫尔圆半径转向与单元体上斜截面角度转向一致;二倍角对应——半径转过的角度等于斜截面转过的角度的两倍。b从半径Ca开始旋转对应从x轴开始旋转BCa(sx,tx)d(sy,ty)ef2α0的正负:半径到σ轴

逆正顺负2、利用莫尔圆确定主应力、主平面和切应力极值例1：试用图解法-莫尔圆求解图示单元体斜截面e－f上的应力大小(图中的应力单位均为MPa)。例2：如图所示平面应力状态，若面内最大切应力τmax＜85MPa，试求τx的取值范围(图中应力单位均为MPa)。adτx的取值范围为根据应力圆中的几何关系可得出：22.4

三向应力状态分析如果已知三向应力状态的三个主应力，如何求其任意斜截面上的应力？平行于σ3的各斜截面上的应力

由于斜截面平行于主应力σ3

，则σ3对斜截面上的应力就没有任何影响，那么斜截面上的应力对应于由主应力σ1和σ2所画的莫尔圆圆周上各点的坐标。平行于主应力σ3的莫尔圆平行于主应力σ1和σ2的莫尔圆因此，单元体上与主应力之一平行的各个斜截面上的正应力和切应力，可由三个莫尔圆的圆周上各点的坐标来表示。

平行于单元体上主应力之一的斜截面上的应力

在弹性力学中已经证明，与三个主应力都不平行的任一斜截面，其上的正应力和切应力可由三个莫尔圆所形成的阴影面内某点的坐标来表示。推广至一般情况K

最大切应力τmax作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向均成45度角的平面上，如图所示。三向应力状态下σ和τ的极值的确定解：由题意可得

x

面上没有切应力，故其上正应力σx=50MPa为主应力，其余两个主应力可依据y、z两平面的应力，由平面应力状态的最大、最小应力计算公式求解。例1：求图示空间应力状态的主应力和最大切应力(应力的单位均为MPa)。5020304050203040解：由题意可得

z面上没有切应力，故其上正应力σz=–30MPa为主应力，其余两个主应力可依据x、y两平面的应力，由平面应力状态的最大、最小应力计算公式求解。例2：求图示空间应力状态的主应力和最大切应力(

应力单位均为MPa)。12040303012040303022.5

广义胡克定律1.基本变形时的胡克定律1）轴向拉伸与压缩的胡克定律横向应变2）扭转变形的剪切胡克定律yxo2.三向应力状态下的广义胡克定律—叠加法3.空间应力状态下的广义胡克定律yxz

在空间应力状态下，单元体上既作用有正应力又作用有切应力。根据叠加法，正应力与三个坐标轴方向的正应变之间的关系和切应力与切应变之间的关系分别为：例1：边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知泊松比μ=0.3，

假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。

试求立方体各个面上的正应力。例2：某点的应力状态如图所示，当σx、σy、σz不变，τx增大时，关于εx的值说法正确的是____。A.不变B.增大C.减小D.无法判定

由应变计算公式可知：εx仅与正应力有关，与切应力的大小无关，所以当切应力增大时，线应变不变。解析：

强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断、推理和概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，从而上升为一种理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。22.6

强度理论及其应用关于断裂的强度理论：最大拉应力和最大伸长线应变理论；关于屈服的强度理论：最大切应力和畸变能密度理论。一、最大拉应力理论（第一强度理论）内容：材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力σ1

，即不论材料处于哪种应力状态，只要其最大拉应力σ1

达到材料单向拉伸断裂时的强度极限σb，材料将发生断裂。破坏条件和强度条件：实验证明，该理论与铸铁、岩石、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。内容：材料发生断裂的主要因素是最大伸长线应变ε1，即不论材料处于哪种应力状态，只要其最大伸长线应变ε1达到材料单向拉伸断裂时的线应变εb

，材料将发生断裂。破坏条件：强度条件：二、最大伸长线应变理论（第二强度理论）实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，例如，铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。内容：认为最大切应力τmax是使材料发生屈服破坏的根本原因，即不论材料处于哪种应力状态，

只要其最大切应力τmax达到材料单向拉伸屈服时的最大切应力τs，材料将会发生屈服（或剪断）破坏。破坏条件：强度条件：三、最大切应力理论（第三强度理论）该理论计算公式简单，在工程设计中得到了广泛应用。该理论没有考虑中间主应力σ2的影响，其带来的最大误差不超过15％，而且在大多数情况下远比此值小。内容：认为畸变能密度是引起材料屈服的基本原因，即不论材料处于哪种应力状态，只要其畸变能密度vd达到材料单向拉伸屈服破坏时的极限畸变能密度vs，

材料将会发生屈服破坏。破坏条件：强度条件：四、畸变能密度理论（第四强度理论）实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。五、强度理论的相当应力强度理论的统一表达式：四种强度理论的相当应力分别为：使用原则：一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应采用第三、第四强度理论。相当应力六、强度理论使用的特殊情况

材料的破坏形式不仅取决于材料的力学行为，而且与所处的应力状态、温度和加载速度有关，如：低温能提高材料的脆性，高温能提高材料的塑性；在高速动载荷作用下材料的脆性提高，在低速静载荷作用下材料保持塑性。

无论是塑性材料还是脆性材料：

在三向拉应力接近相等的情况下，材料都是以断裂的形式破坏，所以应该采用第一强度理论；

在三向压应力接近相等的情况下，材料都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。例1：已知铸铁构件上危险点处的应力状态如图所示。若铸铁拉伸许用应力为[σ＋]

=30MPa，试校核该点处的强度是否安全。231110(单位MPa)解：根据平面应力状态求其主应力例2：铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀而被胀裂，而管内的冰却不会破坏。这是因为（）。A.冰的强度较铸铁高；

B.冰处于三向受压应力状态；

C.冰的温度较铸铁高；

D.冰的应力等于零。水管处于二向拉应力状态，则有B例3：若构件内危险点的应力状态为二