河科大振动力学第五章

非线性振动的基本知识第五章2023/1/151《振动力学》先看一个例子图示滚动轴承。求某一个滚动体与内外圈间的弹性力5.1非线性振动示例

：接触变形2023/1/152《振动力学》总的恢复力是所有滚珠恢复力的总和：5.1非线性振动示例

振动方程：典型的非线性振动微分方程：2023/1/153《振动力学》5.2非线性振动基本性质5.2非线性系统的性质1、恢复力为非线性时，系统的固有频率与振幅的大小有关，而线性系统固有频率与振幅无关。非线性系统与线性系统相比有许多本质的不同，主要表现在：2、非线性系统的强迫振动会出现跳跃现象和滞后现象，对于强非线性系统,当激振力大小不变，缓慢地增加激振力的频率,其强迫振动的振幅将逐渐加大,直至某一点,振幅突然下降,即发生一次降幅跳跃,此后若继续增加激振力的频率,振幅将逐渐减小。反之,从高频开始逐步减小频率,振幅将逐渐增大,直至某一点,振幅突然增大,发生一次增幅跳跃,但激振力的频率在增大和减小过程中产生跳跃点的位置不同,正过程跳跃在前,逆过程跳跃在后,这就是滞后现象。2023/1/154《振动力学》5.2非线性振动基本知识3、在非线性系统中,由简谐干扰力引起的强迫振动,不仅有与干扰力周期相同的振动,而且有等于干扰力周期整倍数周期的振动。对于一个单自由度非线性系统作用一个简谐干扰力,可能出现多种共振状态。而线性系统的强迫振动周期与简谐干扰力周期相同。4、除非在很强的限定条件下,叠加原理通常不再适用。这一性质使得求解非线性系统的全解变得十分复杂。2023/1/155《振动力学》5.2非线性振动基本知识5、非线性系统中可能会出现自激振动。线性系统中由于阻尼，其自由振动总是衰减的。而在非线性系统中，即使是存在阻尼，也可能有稳定的周期性自由振动。能量的损失可以由输入该系统的能量得到补偿，输入能量的时间和大小由振动系统的特性及工况决定。这也是自激振动的本质。由于线性叠加原理已不适用，所以应对所有的激振源同时进行考虑。在参数空间的某些区域可能存在多个解，而且每个分岔等现象也各不相同，当系统的参数，如转速等发生变化时，可能产生跳跃现象或者解的分岔等现象。2023/1/156《振动力学》5.2非线性振动基本知识6、存在频率俘获现象。线性振动系统中，如果同时存在两个简谐振动时，则当这两个频率比较接近时，会产生拍振。非线性系统则可能出现一个频率的振动，即振动同步，这一现象称为频率俘获7、混沌运动的产生和消失等。混沌现象是非线性系统特有的又一特性。2023/1/157《振动力学》5.3非线性动力基本理论5.3非线性动力基本理论动力系统是在给定的空间，对系统中所有点随时间变化所经过的路径的描述，表征了它们随时间的演化。动力系统理论主要研究系统随时间的各种演化行为，如平衡点、周期解等，分析解的分岔、稳定性等对于一个随时间演化的系统，如果可以用下面的常微分方程组来描述：则称该系统为古典动力系统。2023/1/158《振动力学》5.3非线性动力基本理论1、动力系统运动稳定性

运动稳定性是指激励引起的内部状态随时间变化的规律。Lyapunov运动稳定性研究的是动力系统对初始值扰动的动态行为，是动力系统在受到初始扰动后的动态特性。设是动力系统方程的一个解，对于任给的一个无穷小量，如果存在一个与相关的无穷小量，使得方程的任意解，当时就有，则称是Lyapunov意义下稳定的，否则是不稳定的。2023/1/159《振动力学》5.3非线性动力基本理论2、分岔对于一些含参数的系统，当参数变化并经过某些临界值时，系统的定性性态（例如平衡状态或周期运动的数量、性质和稳定性）会突然发生变化，这种现象称为分岔，对应的参数的临界值称为分岔值。

分岔是一种常见的非线性现象，并且与其他一些非线性现象如混沌、分形等密切相关。因此，在非线性动力学中占有重要地位。2023/1/1510《振动力学》5.3非线性动力基本理论对于含参数的系统其中为状态变量，为分岔参数。当参数在附近连续的变动时，若系统的相轨迹的拓扑结构（或运动的性质）发生突然变化，则称此现象为分岔，相应的临界值为分岔值。在参数空间中，分岔值构成的集合称为分岔集。若系统只是解的数量和稳定性在分岔值附近发生了变化，则称为静态分岔。若系统不但解的数量和稳定性在分岔值附近发生了变化，而且相轨迹的拓扑结构也发生了改变，则称动态分岔。。2023/1/1511《振动力学》5.3非线性动力基本理论分岔问题和结构稳定性问题密切相连。结构不稳定的系统往往伴随着分岔现象的出现。分岔问题的主要研究内容有：

1、分岔集的确定，即研究发生分岔的必要条件和充分条件。

2、当出现分岔时，系统的拓扑结构随参数的变化情况，即分岔的定性性态的研究。3、计算分岔解，尤其是平衡点和极限环，并分析其稳定性。

4、考察不同分岔的互相作用，以及分岔与混沌、分形等其它动力学现象的关系。2023/1/1512《振动力学》5.3非线性动力基本理论3、混沌

混沌运动是一种由确定性动力系统产生，对于初始条件极为敏感而具有内禀随即性和长期预测不可能性的非周期运动。混沌现象只出现在非线性动力系统中，它是普遍存在又极其复杂的现象。除平衡、周期、拟周期之外的始终有限的定常运动称为混沌2023/1/1513《振动力学》5.3非线性动力基本理论混沌的性质：

1、初值敏感性混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可导致系统运动过程的显著差别。

2、内禀随机性混沌运动从表象上看和随机运动类似，其时间历程、频谱和相关分析都和随机运动非常相似。但是，混沌运动产生于确定性系统，这完全有别于随机运动2023/1/1514《振动力学》5.3非线性动力基本理论

3、长期不可预测性混沌运动是不可能长期预测的，这又有别于完全不可预测的真正随即过程。由于混沌具有初值敏感性，随着时间的流逝，初值误差不断放大，初始条件中的不确定性因素的作用愈来愈大。一段时间以后，决定运动的已不是初始条件中以有限精度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的部分，运动的预测便成为不可能了。混沌系统的长期不可预测性被形象地称为蝴蝶效应。2023/1/1515《振动力学》5.3非线性动力基本理论

4、局部不稳定而整体稳定混沌运动在无限长的时间历程中，从局部看一般是不稳定的，呈指数发散；但是就总体来看，混沌运动又是有界的，系统的运动限定在一定的范围内而不会无限游荡。

5、分形结构与无限自相似

奇怪吸引子的层次结构为分形，混沌系统的维数为分维。混沌轨道遍历系统的每一个角落，局部放大即可得到整体框架。2023/1/1516《振动力学》5.3非线性动力基本理论混沌的分析方法研究混沌的方法可分为解析方法和数值方法两大类。解析方法（如Melnikov方法，Shilnikov方法）是以混沌的拓扑描述为基础，尽管有一定的理论依据，但由于拓扑意义的混沌与实际观测到的混沌并非完全一致，因此解析方法得到的结果往往与实际结果相差较大。而且解析方法需要大量复杂的数学工具，往往难于应用到工程问题。工程实际中一般采用较多的是数值方法。分析混沌运动的数值方法主要有：混沌运动时间历程图、相图、Poincaré映射、重构相空间的Poincaré映射、分岔图、功率谱、分形维数、Lyaounov指数、胞映射法、测度熵。2023/1/1517《振动力学》5.3非线性动力基本理论通往混沌的途径

混沌是非线性动力系统可能出现的一种运动形态，理论和实验的研究结果表明，产生混沌主要有以下途径：1、倍周期分岔倍周期分岔通往混沌是指系统周期解在一定条件下会产生倍周期分岔，这种分岔可以无限进行下去，直至周期演化为无穷大时出现混沌。2、拟周期环面破裂初始处于平衡状态的系统当参数变化是，可能发生Hopf分岔。参数继续变化，系统再经历分岔而出现耦合的极限环而成为环面。若两个极限环代表的周期运动的频率不可有理通约，则系统作拟周期运动。在这类系统中，参数的变化可能导致环面破裂而出现混沌。2023/1/1518《振动力学》5.3非线性动力基本理论3、阵发性分岔阵发性是指系统的周期解随着参数的逐渐变化，在达到某一值时，不经过一系列的分岔，而是突然变为非周期的而成为混沌2023/1/1519《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法5.3非线性振动基本分析方法非线性动力学问题，一般从两个方面进行研究：定量方法和定性方法。定量方法是研究如何求出方程的精确解或近似解，主要包括微分方程解的具体表达形式、数量和大小等内容。定性方法是研究方程解的存在性、唯一性及周期解稳定等。定性方法主要研究微分方程解的形式等问题，研究的方法有解析方法、数值方法、图解方法和实验方法等。2023/1/1520《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

1、时域分析分析系统的参数随时间的变化规律。周期运动：时域图规律，周期重复

拟周期运动：有“拍”

现象混沌运动：无规律，不重复2023/1/1521《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

2、频域分析时间序列进行傅里叶变化，得到频率规律。2023/1/1522《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

周期运动：离散的谱线，所有谱线对应的频率可共约2023/1/1523《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

拟周期运动：离散的谱线，至少有两条谱线对应的频率不可共约

混沌运动：连续的谱线2023/1/1524《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

3、轨迹相关参数随时间变化的空间路径。

轴承轴心轨迹图2023/1/1525《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

4、相图同一参数不同状态随时间变化的空间路径。2023/1/1526《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法不同滚动体数目时的相图2023/1/1527《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

周期运动：闭曲线2023/1/1528《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法

拟周期运动：环面上永不重复的运动轨线混沌运动：有限区域内永不重复，貌似随机的运动轨线2023/1/1529《振动力学》5.3非线性振动基本分析方法