测量误差的分析与处理

会计学1测量误差的分析与处理PPT课件2某仪表满度相对误差为m

在此量程内测量时的最大绝对误差：示值相对误差：第1页/共77页3例题1

某电压表S=1.5，求它在0-100V量程中的最大绝对误差？

=±1.5%×(100-0)V =±1.5V第2页/共77页4误差的等量化处理

仪表在同量程不同示值处的绝对误差未必处处相等，但在无修正值可利用时只能按最坏情况处理，即认为测量仪表在同一量程各处的绝对误差为常数且等于最大绝对误差——误差的等量化处理为减小测量的示值误差，在进行量程选择时应尽可能使示值接近满度值，一般以示值不小于满度值的2/3为宜第3页/共77页5例题2

某1.0级压力表，满度值xm=1.00MPa，求测量值分别x1=1.00MPa,x2=0.80MPa,

x3=0.20MPa时绝对误差和相对误差?绝对误差

△xm=γm×xm

=±1.0%×(1.00-0.00)MPa =±0.01MPa第4页/共77页6相对误差仪表准确度并不是测量结果的准确度！第5页/共77页7例题3

要测量100℃的温度，现有0.5级、测量范围为0~300℃和1级、测量范围为0~100℃两种温度计，试分析各自产生的绝对误差和相对误差？0.5级绝对误差

△xm1=γm1×xm1=±0.5%×(300-0)=±1.5℃示值相对误差第6页/共77页81.0级绝对误差1.0级示值相对误差实际测量操作时，一般应先在大量程下测得被测量的大致数值，再选择合适的量程进行测量第7页/共77页9

在相同测量条件下，对同一被测量进行多次测量，由于受到大量的、微小的随机因素的影响，测量误差的绝对值的大小和符号没有一定的规律，且无法简单估计，这类误差称为随机误差。指测量者无法严格控制的因素2.2随机误差的分布规律

第8页/共77页10测量列中的随机误差：

δi=xi－X0式中,δi——测量列的随机误差，i=1，2，3，…，n；

xi——测量列的测量值；

X0——被测量的真值。

第9页/共77页11

随机误差分布的性质有界性：在一定的测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。第10页/共77页12对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同，其分布呈对称性。抵偿性：在等精度测量条件下，当测量次数不断增加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。随机误差的四大公理第11页/共77页13正态分布的分布密度函数为

式中，——

标准误差（均方根误差）

e

——

自然对数的底如用测定值x本身来表示，则一、随机误差的正态分布性质X0代表真值：----抵偿性第12页/共77页14①对称性正态分布反映了随机误差的分布规律，与前述4条公理相互印证②有界性③抵偿性④单峰性---可正可负---绝对值相等的正负误差出现的机会相等

f()-曲线对称于纵轴---绝对值不会超过一定的范围（一定的测量条件下）绝对值很大的误差几乎不出现---测量次数n∞时（相同条件下）全体随机函数的代数和---绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）

=0处随机误差概率密度有最大值正态分布（高斯分布）---大多数；均匀分布---量化误差、舍入误差；其它---正弦分布、二次分布、卡方分布、指数分布、分布、分布等第13页/共77页151）数学期望（Expectation）

---真值X0正态分布的特征量：子样（样本）平均值：对被测量x进行n次等精度测量，得n个测量值，xi(I=1,2,…n)，样本平均值为：测定值子样平均值的数学期望恰好是被测量真值：随机误差的算术平均值当n→∞(抵偿性)：所以：第14页/共77页162）标准偏差（Standarddeviation）---测量精密度的标志3）h---

精密度指数第15页/共77页17对于一定的被测量，在静态情况下，X0是一定的，σ的大小表征着诸测定值的弥散程度。σ值越小，正态分布密度曲线越尖锐，幅值越大；σ值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。可用参数σ来表征测量的精密度，σ越小，表明测量的精密度越高。第16页/共77页18σ并不是一个具体的误差，它的数值大小只说明了在一定条件下进行一列等精度测量时，随机误差出现的概率密度分布情况。在一定条件下进行等精度测量时，任何单次测定值的误差δi可能都不等于σ，但我们认为这列测定值具有同样的均方根误差σ；而不同条件下进行的两列等精度测量，一般来说具有不同的σ值。第17页/共77页19随机误差出现的性质决定了人们不可能正确地获得单个测定值的真误差δi的数值，而只能在一定的概率意义之下估计测量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间的概率。二、正态分布密度函数与概率积分第18页/共77页20将正态分布密度函数积分获得正态分布函数F(x)，亦称概率积分服从正态分布的测量误差出现于区间[a,b]内的概率：第19页/共77页21由于正态分布函数的对称性，测量误差出现于区间[-a,a]内的概率为：由于随机误差在某一区间内出现的概率与均方根误差σ密切相关，可取σ的若干倍来描述对称区间。令a=zσ，则第20页/共77页22第21页/共77页232.3直接测量误差分析与处理子样平均值：代表由n个测定值x1,x2,…,xn组成的子样的散布中心子样方差：描述子样在其平均值附近散布程度总体期望：无限次测量（不可能实现）---有限次测量代替估计（Estimation)---有限次样本推测总体参数---估计值（^）引入数理统计常用概念：第22页/共77页24根据同一被测量进行n

次等精度测定值（样本），利用最大似然估计方法来估计被测量真值X0

（教材中为

）可推导出最大似然估计值表示为：一、算术平均值原理

可以证明用估计真值X0具有无偏性。测定子样的算术平均值是被测真值的最佳估计值，即所谓的算术平均值原理第23页/共77页25设x1、x2、…，xn为n次测量所得的值，则算术平均值为

用算术平均值代替被测量的真值，则有

式中vi——xi的剩余误差；

xi——第i个测量值，i=1，2，…，n

第24页/共77页26剩余误差（残差）有限次测量时，各次测得值与算术平均值之差，为剩余误差或残差：当n→∞时，样本算术平均值→X0，残差=随机误差δi(=xi-X0)剩余误差和的代数和等于零，即剩余误差的平方和为最小，即残差以区别随机误差，因为不能做无限次的测量，有限次的测量情况需要区别第25页/共77页27测定值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的倍。在等精度测量条件下对某一被测量进行多次测量，用测定值子样平均值估计被测量真值比用单次测量测定值估计具有更高的精密度。第26页/共77页28二、贝塞尔公式

因为真值X0为未知，所以必须用残差vi来表示，即

此式称贝塞尔公式,表示有限次测量(n>1)标准误差的最佳估计值标准误差定义:测定值服从正态分布的均方根误差第27页/共77页29三、测量结果的置信度假设用对μ进行估计的误差为，那么。对于某一指定的区间[－λ,λ]，落在该区间内的概率为。同样地，可以求得测定值子样平均值落在区间[μ－λ,μ＋λ]的概率为第28页/共77页30

表示“测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内”这一事件的概率；表示“在宽度一定作随机变动的随机区间内包含被测量真值”这一事件的概率。第29页/共77页31定义区间为测量结果的置信区间，也称为置信限λ为置信区间半长，也称为误差限概率为测量真值经过在置信区间内的置信概率。置信概率也常用危险率来表示：第30页/共77页32置信区间与置信概率共同表明了测量结果的置信度，即测量结果的可信程度。对于同一测量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。第31页/共77页33一列等精度测量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量测量结果＝子样平均值±置信区间半长（置信概率P＝？）测量结果的表示第32页/共77页34例题4：在等精度测量条件下对某透平机械的转速进行了20次测量，获得如下的一列测定值（单位：r/min）

4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74650.04751.0

试求该透平机转速（设测量结果的置信概率P＝95％）。第33页/共77页35第34页/共77页36在实际测量工作中，并非任何场合下都能对被测量进行多次测量，而多为单次测量。如果知道了在某种测量条件下测量的精密度参数，而且在同样的测量条件下取得单次测量的测定值，那么单次测量情况下测量结果的表达式为：测量结果＝单次测定值±置信区间半长（置信概率P＝？）第35页/共77页37例题5：对例4所述的透平机转速测量，设测量条件不变，单次测量的测定值为4753.1r/min，求该透平机转速（测量结果的置信概率P＝95％）。第36页/共77页38在同样的置信概率下，用单次测定值表示测量结果比用多次测量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。由例4可知第37页/共77页39随机误差δi落在[－,＋]区间的概率为：测量值落在[Ex-,Ex+]置信区间概率为0.683随机误差δi落在[Ex-2,Ex+2]和[Ex-3,Ex+3]置信区间的概率为：四、测量结果的误差评价第38页/共77页40标准误差

由于测定值服从正态分布，测量列中的随机误差不大于均方根误差σ的概率为0.683若测量结果用单次测定值表示，误差限采用标准误差，则

测量结果＝单次测定值x±标准误差（P=68.3%）若测量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用标准误差，则

测量结果＝子样平均值x±标准误差（P=68.3%）第39页/共77页41极限误差测量列标准误差的三倍，定义为测量列的极限误差:

测量值xi落在[Ex-3,Ex+3]的概率0.997，△=3称为极限误差、最大误差，也称为随机不确定度子样平均值的极限误差与测量列极限误差的关系是:第40页/共77页42除标准误差、极限误差以外，还可以用平均误差、或然误差来作为测量结果的误差评价，但以标准误差的意义最为明确，因此人们习惯以标准误差作为测量的精密度参数。各种误差本质上是一定置信概率下的误差限，而且它们是在同一正态分布下得到的结果。所以测量的精密度可以由四种误差的任何一种来衡量。第41页/共77页43习题2

用温度表对某一温度测量10次，设已消除系统误差及粗大误差，测得数据及有关计算值如下表，试给出最终测量结果表达式n12345678910xi/℃75.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0875.05vi-0.035-0.0050.025-0.045-0.0150.045-0.015-0.0250.0350.005vi20.0012250.0000250.006250.0020250.002250.0020250.002250.006250.012250.00025第42页/共77页44五、小子样误差分析与t分布

当测量次数很少时，子样平均值的标准误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就愈严重。为了在σ未知的情况下，根据子样平均值估计被测量真值，就须考虑一个统计量。它的分布只取决于子样容量n，而与σ无关。这时需引入统计量t。

第43页/共77页45定义t为t不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度函数为 式中，是特殊函数，v是正整数，称为t分布的自由度。

第44页/共77页46当进行n次独立测量时，由于t受平均值的约束，服从自由度为n－1的t分布，所以ν＝n－1。t分布与母体均方根误差σ无关，只与子样容量n有关。t分布的概率密度函数以t=0为对称。当自由度v趋于无穷大时，t分布趋于标准正态分布。第45页/共77页47第46页/共77页48

表中列有在各种自由度和置信概率下，满足式的tp值。它表明自由度为v的t分布在区间[－tp，tp]内的概率为P。假设一列等精度独立测定值x1，x2，…，xn服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：

第47页/共77页49由于服从自由度v=n－1的t分布，所以可用上式做以下的概率描述或写成测量结果可表示为：

测量结果第48页/共77页50例题6用光学高温计测量某金属铸液的温度，得到如下5个测量数据（℃）：975，1005，988，993，987

设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的实际温度（取P＝95％）。第49页/共77页51解：

根据P＝95％和v＝5-1=4，查表得tp＝2.78，则测量结果为第50页/共77页52若上例用正态分布求取给定置信概率下的置信温度区间是[980.6,999.0]，这要比由t分布求得的区间小。这表明，在测量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会得到“太好”的结果，夸大了测量结果的精密度。因此，对小子样的误差分析，应采用t分布处理。第51页/共77页532.4间接测量误差分析与处理在间接测量中，测量误差是各个测量值误差的函数。因此，研究间接测量的误差也就是研究函数误差。研究函数误差有下列三个基本内容：已知函数关系和各个测量值的误差，求函数即间接测量值的误差。已知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个测量值的误差。确定最佳的测量条件，即使函数误差达到最小值时的测量条件。第52页/共77页54一、误差传布原理设间接测量值y是直接测量值x1，x2，…，xm的函数，其函数关系的一般形式可表示为y=f（x1，x2，…，xm）假定对x1，x2，…，xm各进行了n次测量，那么每个xi都有自己的一列测定值xi1，xi2，…，xin，其相应的随机误差为，，…，。第53页/共77页55若将测量x1，x2，…，xm时所获得的第一个测定值代入函数关系式，可求得间接测量值的第一个测定值y1，即y1=f（x11，x21，…，xm1）由于测定值x11，x21，…，xm1与真值之间存在随机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记为δy1。由误差的定义，上式可写为

Y+δy1=f（X1+δ11,X2+δ21,…,Xm+δm1

）

第54页/共77页56

若较小，且诸Xi是彼此独立的量，将上式按泰勒公式展开，并取其误差的一阶项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成第55页/共77页57

同样地，将测量x1，x2，…，xn时所获得的第二、第三，直至第n个测定值分别代入函数关系式，可得

……第56页/共77页58

将上述各式相加并除以n，可求得间接测量值的算术平均值，也就是Y的最优概值

第57页/共77页59

式中，正好是测量xm时所得一列测定值的算术平均值的随机误差，记为，所以

第58页/共77页60

另一方面，将直接测量x1，x2，…，xm所获得的测定值的算术平均值，,…

代入函数关系式，并将其在x1，x2，…，xm的邻域内用泰勒公式展开，可有

第59页/共77页61

将上两式进行比较，可得

由此可得出结论Ⅰ：间接测量值的最佳估计值可以由与其有关的各直接测量值的算术平均值代入函数关系式求得。

第60页/共77页62

并且可以知道，直接测量值x1，x2，…，xm第j次测量获得的测定值的误差，，…，与其相应的间接测量值Y的误差之间关系应为

第61页/共77页63

假定的分布服从正态分布（只有当y与x1，x2，…，xn之间存在线性关系时，这种假设才成立，否则只是近似成立），那么可求得y的标准误差

第62页/共77页64其中第63页/共77页65

根据随机误差的性质，若直接测量值xi彼此独立，则当测量次数无限增加时，必有（i≠k）

所以第64页/共77页66

则而正好是第i个直接测量值xi的标准误差的平方，因此可得出间接测量值的标准误差与诸直接测量值的标准误差之间如下的关系：第65页/共77页67

式中，称为误差传递系数，称为自变量xi的部分误差，记为Di。由此可得出结论Ⅱ：间接测量值的标准误差是各独立直接测量值的标准误差和函数对该直接测量值偏导数乘积的平方和的平方根

第66页/共77页68以上两个结论是误差传布原理的基本内容，是解决间接测量误差分析与处理问题的基本依据。它们还可以推广到描述间接测量值算术平均值的标准误差和各直接测量值算术平均值的标准误差之间的关系第67页/共77页69有时，测量结果的误差用相对误差的形式描述更合适。如果以间接测量值的算术平均值作为约定值，那么间接测量值y的实际相对误差为

式中，是直接测量值xi的实际相对误差

第68页/共77页70

最后，应指出以下两点：

1．上述各公式是建立在对每一独立的直接测量值xi进行多次等精度独立测量的基础上的，否则，上述公式严格地说将不成立。

2．对于间接测量值与各直接测量值之间呈非线性函数关系的情况，上述公式只是近似的，只有当计算y的误差允许作线性近似时才能使用。

第69页/共77页71二、函数误差的分配

在间接测量中，当给定了函数y的误差，再反过来求各个自变量