高等流体力学之三个特解

一、涡的衰减情况推导

由涡旋的传输方程知道，当流体具有粘性、非正压或者质量力无势时，均将破坏涡旋的守恒。粘性、非正压与质量力无势这三者中，尤以粘性流体为经常性起作用的因素。因为，对于实际的流体，运动时总是呈现粘性。因此，粘性流体一般来讲是有旋的，而且其涡旋的大小可以随时间产生、发展、衰减、消失。涡旋还会扩散，自涡旋强度大得地方向涡旋强度弱的地方扩散，直至涡旋强度均衡为止。涡旋强度的扩散性质决定了很多流体运动的物理现象；因此，研究涡旋在粘性流体中运动的规律具有重要的实际意义。

下面以一空间孤立涡线为例，从涡旋传输方程具体分析涡旋扩散的规律。设在无边界的粘性流体中有一强度为的无穷长直涡线。不难证实，此涡线引起的运动与非粘性流体情形相似，运动是无旋的，涡线周围各处的，流体质点以的速度作定长圆周运动。差别只在于，在非粘性流体中，由于没有粘性内摩擦阻力，因此，该直涡线的强度能够永远保持不变，且不会向周围流体中扩散，不需要外加能量来维持质点的定常圆周运动；但在粘性流体中，由于粘性的缘故，涡旋将衰减下去，要维持这种运动，就必须有外加能量，例如用涡旋的无穷长细柱体来供给涡源。现在讨论的问题是，假定在某时刻，外加涡源突然中断，分析该直涡线的扩散（衰减）情况。根据质量力有势的不可压缩粘性流体的涡旋传输方程上述方程也可以写成下面的形式：

(1-1)如图3-2所示，沿直涡线去oz轴，则有由于运动的对称性和平面运动中速度V沿方向的微商为零，故于是，（1-1）式可改写成略去下标z，写成

(1-2)采用极坐标，上式可写成

(1-3)初始条件为：

(1-4a)边界条件为：

(1-4b)解方程（1-3）可得

(1-5)式中，常数A可用沿周线的速度环量等于该圆周所围得涡管强度这一条件来确定。设在任意时刻沿半径为r的圆周上的速度环量为，同一时刻，半径为r的涡管强度应该为因此可得

(1-6)将，代入上式，可得于是得到涡量分布为

(1-7)速度环量为

(1-8)由于

(1-9)把（1-9）式代入上式，得到速度分布为

(1-10)由（1-7）式可以看到，在初始时刻t=0，各处（r>0）的运动都是无旋的，在t>0的任何时刻整个空间立即产生涡旋，分布情况可由（1-7）式代表即涡旋随距离r的增加而单调地下降。在中心处（r=0）的涡旋随时间增长而单调地下降。而在离中心某一距离处（r=a）的点上，涡旋起初增加，达到一个极大值以后，开始降低，一直降到当时的值。在r=a处，随t的变化规律如图3-3所示。同样根据（1-10）式可以画出不通时刻速度随r的变化规律。如图3-4所示.最后，还可以注意到，在任意r处，当时，。换句话说，初始时刻由于无源涡线在粘性流体中引起的运动，随时间过程而衰减下去，直至运动停止，所有涡旋的动能都耗散变为热。相反，对于任意时刻t，当时，，，也就是说，运动在直涡线处逐渐消失。二、旋转圆盘附近的流动

Von-Karman研究了旋转圆盘附近的流动，并用N-S方程做了解析解。如图所示，假定半径为无限大的平面圆盘在不可压缩流体中以等加速度旋转，忽略质量力。如图3-11所示，由于粘性，圆盘带动圆盘附近的流体旋转，离心力的作用使流体产生径向分速，压力下降。为补充径向分速流出的流体，自然出现轴向分速，最终形成轴对称螺旋形流动。在惯性圆柱坐标系中，速度分量为uz，u2

，uθ流动为轴对称，故流动各量不随周向角θ变化。基本微分方程为（2-1a）

（2-1b）

（2-1c）

（2-1d）

边界条件方程2-1中，ur

、uθ和uz是二阶微商，要有七个边界条件才能确定。边界条件不够，因此在求解之前必须对流动做进一步的分析，作出合理的假定。显然，决定流动速度和鸭梨分布的因素是圆盘旋转速度ω，流体粘性系数ν及空间点的坐标r和z，故可得速度和压力为（2-2）

（2-3）

下面估算圆盘旋转带动的粘性层厚度δ。因为距旋转轴距离为r的粘性层流体单位体积所受的离心力为ρrω2，所以在底面积为drds、高δ为粘性层厚度的流体元上，所受的离心力为ρrω2drdsδ

。同一流体元还受到圆盘面上切应力τw的作用，这个力与流体滑动方向相反，且与周向速度成一角度，比如β。该流体元的切应力的径向分量必与离心力平衡。或（2-4）

另一方面，切应力的周向分量必须正比于壁面上周向速度的轴向梯度，其数量级（以“~”表示数量级）关系为从以上两个方程中消去，得

因为圆盘半径无限大，所以紧贴壁面流体滑动的方向与半径r无关，故圆盘带动的流体厚度为（2-5）

（2-6）

将上式带入式（2-4），得圆盘上得摩擦应力为为了求解方程（2-1），根据切向应力引起uθ、离心力引起ur和圆盘无限大的流动特点，Von-Karman假设

（2-7）

（2-8）

对上式应用π定理，选ω、ν为量纲独立量，得可见是无量自变量，用η表示为因此，式（2-8）可写成，，，，（2-9）

，，，，

（2-10）

将式（2-9）和（2-10）分别代入方程（3-1）各式，因为则方程（3-1）各式变为（2-11）

边界条件为；；；

（2-12）

先从（2-11）的前三式求F、G、H，然后代入第四式求P。方程（2-11）是非线性常务分方程，不易求解，可用数值积分或幂级数法。Karman用数值积分法求的近似解，以后Cocbran得到更精确的数值结果，计算结果表示于图3-12和表3-1中。计算表明，当ν很小时，随η增大，F和G迅速趋于零，具有边界层特性。ur和uθ只在圆盘附近明显，在粘性影响范围内，压力变化的量级为ρνω。流体从远处吸向圆盘，并向周围抛出，旋转圆盘相当于离心泵的作用。各函数的边界值为：，，，：

（相当于边界层外边界）

：虽然上述结果是假设圆盘无限大的条件下导出的，但只要圆盘半径比边界层厚度打得多，可忽略圆盘周边的影响，仍可用上述结果计算有限大圆盘的摩擦力矩。壁面摩擦应力为（2-13）

半径为R的圆盘两面所受的力矩和力矩系数分别为（2-14）

式中半径为R圆盘上上不离心力甩出的体积流量为（2-15）

该流量等于轴向流入的流量。图3-13所示，当时，理论结果与实验很吻合，说明在层流条件下，上述推论完全正确；当时，理论偏离实验，说明流动变为湍流，湍流摩擦阻力大。按湍流速度分布的七分之一次方规律计算，旋转圆盘的力矩系数为（2-16）

三、绕圆球流动情况图3-16表示小雷诺数绕圆球流动。在球坐标系中，由于流动的对称性，故横向速度为零，其余两个速度分量为和，压力为因而基本方程组为（3-1）边界条件（3-2）

根据边界条件和流动对称性，可用分离变量法求解：设方程的解具有以下形式（3-3）将式（3-3）代入方程（3-1）各式，整理后得（3-4）边界条件（3-5）方程（3-4）是线性常微分方程组，可先由第一式和第三式求出和与的关系，再将和代入第二式而得解上式得，再求得和，即（3-6）根据边界条件，式（3-6）中的各积分常数为

于是：按式（3-3），速度和压力分别为（3-7）根据应力关系式，球面上的法向应力和切向应力分别为将速度关系式（3-7）代入，得（3-8）法向应力和切向应力对球产生的阻力为（3-9）阻力系数为（3-10）式（3-10）称为Stokes公式从图3-17看出，在子午平面内Stokes解得流线前后对称。但从图3-18看出，正应力不对称，前大后小，形成压差阻力；切向应力前后按正弦规律变化，也产生了阻力。讨论：（1）Stokes全部忽略惯性项的近似不适用于整个流场，因为惯性项与粘性项之比的量级在不同径向位置处有显著差别。小Re数时，惯性项与粘性项之比，只在物面附近很小，在远离物面附近处却不是这样。故Stokes近似只适用于小Re数空间绕流的物面附近的流场，是一级近似；对于平面流动，Stokes近似根本得不到解。（2）和对速度分布没有影响，他们的影响只在阻力系数中得Re中体现。（3）忽略当地惯性项后，流动与实践的关系体现在定解条件中，只与瞬时边界条件有关，与流动历史无关，相当于“准定常”流动。圆球绕流的Oseen修正为了修正Stokes全部忽略小Re数流动惯性项的误差，Oseen保留了方程中得主要惯性项。在条件下，Oseen假定流场中任意点的速度为来流速度和扰动速度之和，在距被绕物面稍远处，绕流速度与来流速度相比是个小量。另外，Goldstein