统计学第九章-时间序列分析

1第九章时间序列分析第一节时间序列分析概述第二节时间序列的水平分析与速度分析第三节长期趋势的测定第四节季节变动和循环波动测定第五节时间序列预测模型2第一节时间序列分析概述时间序列的概念时间序列的种类时间序列的编制原则3年份国内生产总值（亿元）年份国内生产总值（亿元）19791980198119821983198419851986198719884038.24517.84862.45294.75934.57171.08964.410202.211962.514928.3198919901991199219931994199519961997199816909.218547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.679395.7要素一：时间t要素二：指标数值a45一、时间序列的概念时间序列（timeseries）—动态数列,把同一现象在不同时间上的观察数据按时间先后顺序排列起来所形成的数列。

两个基本要素：时间t；时间

t的数据（水平）yt.基期水平与报告期水平；期初水平（y0或y1）,期末水平（yn）与中间水平。时间序列是动态分析的依据。6研究作用1、可以描述社会经济现象的发展状况和结果；2、可以研究社会经济现象的发展速度、发展趋势和平均水平，探索社会经济现象发展变化的规律，并据以对未来进行统计预测；3、可以利用不同的但互相联系的时间序列进行对比分析或相关分析。7（一）按序列中所排列指标的表现形式不同分为：绝对数序列相对数序列平均数（均值）序列（平均指标序列）（相对指标序列）时点序列时期序列二、时间序列的种类（总量指标序列）81.绝对数时间序列又称为总量指标时间序列；是指一系列同类的总量指标数据按时间先后顺序排列而形成的序列，反映现象在各个时间上达到的绝对水平。可分为时期序列和时点序列。时期序列，如国内生产总值序列时点序列，如年末总人口序列9时期序列和时点序列的特点：①时期序列的各个数据为时期指标(流量)，表示现象在各段时期内的总量。时点序列的各个数据为时点指标(存量)，反映现象在各个时点上所处的状态和所达到的水平.②时期序列中各期数据具有可加性，通过加总即可得到更长一段时间内的总量。时点序列中不同时点上的数据不能相加，即它们相加的结果没有意义。③时期序列中数值大小与所属时期长短有直接的关系，时点序列中各时点数值大小与时点间隔长短没有直接的联系。④时期序列中各期数据是对每段时间内发生的数量连续登记的结果，时点序列中数据通常不可能也不必要连续登记，102、相对指标时间序列

把一系列同类的相对指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间序列，称为相对指标时间序列。它反映现象各种数量对比关系的发展变化状况。各指标数值是不能相加的。3、平均指标时间序列

把一系列同类的平均指标按时间先后顺序排列起来所形成的时间序列，称为平均指标时间序列。它反映客观现象一般水平的发展变动趋势。11（二）时间序列按指标变量的性质和序列形态不同可分为：随机性时间序列非随机性时间序列趋势性时间序列平稳性时间序列季节性时间序列12三、时间序列变量和形态的识别自相关是指时间序列前后期数值之间的相关关系。其相关关系程度的测定就是自相关系数自相关系数相关关系程度的测定就是自相关系数自相关系数的计算

设x1,x2,…，xt,…，xn

是一个时间序列各期观察值，共有n项。将前后相邻两期的观察13值一一成对，就有n-1

对数据，即：

(x1,x2),(x2,x3),…,(xt,xt+1),…,(xn-1,xn)用r1表示它们的相关系数，计算公式如下：其中：14

r1—时间延迟1的自相关系数，测定前后相邻观察值相关关系程度。同理，可将时间数列中每间隔一期的数据一一成对，组成n-2对数据，即(x1,x3),(x2,x4),…,(xt,xt+2),…,(xn-2,xn)用r2表示它们的相关系数，计算公式如下：15其中：

r2—时间延迟2的自相关系数，测定序列中t期观察值和t+2期观察值相关关系的程度。

当n很大时，rk—时间延迟k的自相关系数计算公式为：16若一个时间序列所有的自相关系数r1,r2,…,rk

都近似的等于零，表明该时间序列属于随机性时间序列。若一个时间序列的第一个自相关系数r1比较大，r2,r3

渐次减小，从r4

开始趋近于零，表明该时间序列属于平稳时间序列。若一个时间序列的第一个自相关系数r1

最大，r2,r3

等多个自相关系数逐渐递减但不自相关系数与序列性质的关系：17为零，表明该时间序列属于趋势性时间数列。若一个时间序列的自相关系数r1，r2,…,rk

出现周期性的变化，每间隔若干个便有一个高峰，表明该时间序列属于季节性时间序列。18四、时间序列的编制原则保证时间序列中各项数据的可比性，是编制时间序列的基本原则。(一)时间一致(二)总体范围一致(三)经济内容、计算口径和计算方法一致19指标1952-19571958-19621963-19651966-19761977-1986社会总产值（亿元）工业总产值（亿元）工业总产值比重（%）8283.43404.541.111448.26903.360.366983878.157.947210.729553.962.6103902.583849.380.76年5年3年11年10年1、时期指标时间长短前后不一致三个指标哪些有问题？202、总体范围不统一21甲厂乙厂乙厂来料加工,总加工费5000元,产品总价值20000元工业总产值的计算原规定:甲厂计20000元乙厂计20000元现规定:甲厂计20000元乙厂计5000元3、计算方法不统一甲厂带料委托乙厂加工产品,材料总价值10000元.2210吨标准煤10吨煤4、经济内容不统一23第二节时间序列的水平分析与速度分析时间序列分析的水平指标时间序列分析的速度指标水平分析与速度分析的结合与应用24一、时间序列分析的水平指标描述现象在某一段时间上发展变化的水平高低及其增长变化的数量多少。包括：发展水平平均发展水平增长量平均增长量25（一）发展水平与平均发展水平

指时间序列中每一项指标数值反映的是客观现象在各个时间上所达到的规模和发展的程度。它是计算其他时间序列分析指标的基础。发展水平

26设时间序列中各期发展水平为：最初水平中间水平最末水平（N项数据）（n+1项数据）或：27平均发展水平平均发展水平是不同时间上发展水平的平均数。统计上习惯把这种不同时间上数据的平均数称为序时平均数。它将现象在不同时间上的数量差异抽象掉，从动态上说明现象在一定发展阶段的一般水平。不同性质的时间序列，其计算方法也有所不同。281.绝对数时间序列的序时平均数⑴由时期序列计算，采用简单算术平均法29年份能源生产总量（万吨标准煤）199419951996199719981187291290341326161324101240001994-1998年中国能源生产总量例30①由连续时点序列计算对于逐日记录的时点序列可视其为连续

※间隔相等时，采用简单算术平均法2.时点序列的序时平均数31日期6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日收盘价16.2元16.7元17.5元18.2元17.8元解某股票连续5个交易日价格资料如下：

例：32①由连续时点序列计算

※间隔不相等时，采用加权算术平均法对于逐日记录的时点序列,每变动一次才登记一次33例：某企业5月份每日实有人数资料如下：日期1~9日10~15日16~22日23~31日实有人数780784786783解34②由间断时点序列计算每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值

※间隔相等

时，采用简单序时平均法（首尾折半法）一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初35时间3月末4月末5月末6月末库存量(百件)66726468解：第二季度的月平均库存额为：某商业企业1999年第二季度某商品库存资料如下，求第二季度的月平均库存额例：36

※间隔不相等

时，采用加权序时平均法90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初37时间1月1日5月31日8月31日12月31日社会劳动者人数362390416420单位：万人某地区1999年社会劳动者人数资料如下例：解：则该地区该年的月平均人数为：38不连续时点序列计算序时平均数—图示39⒉计算相对数时间序列的序时平均数基本公式⑴a、b均为时期序列时40月份一二三计划利润（万元）200300400利润计划完成程度（﹪）125120150某化工厂某年一季度利润计划完成情况如下，计算一季度的计划平均完成度。因为所以，该厂一季度的计划平均完成程度为：例：41⑵a、b均为时点序列时⑶a为时期序列、b为时点序列时42月份三四五六七

工业增加值（万元）11.012.614.616.318.0月末全员人数（人）20002000220022002300

例：已知某企业的下列资料：要求计算：①该企业第二季度各月的劳动生产率；②该企业第二季度的月平均劳动生产率；③该企业第二季度的劳动生产率。

43四月份：五月份：六月份：解：①第二季度各月的劳动生产率：44③该企业第二季度的劳动生产率：②该企业第二季度的月平均劳动生产率：45平均发展水平计算总结序时平均方法总量指标时期序列简单算术平均时点序列连续时点间隔相等简单算术平均间隔不等加权算术平均间断时点间隔相等两次简单平均间隔不等先简单后加权相对指标、平均指标视情况选用：先平均再相除、先加总再相除、加权算术平均、加权调和平均等461、增长量

又称增长水平，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量。增长水平=报告期水平-基期水平其计算公式为：（二）增长量和平均增长量

47设时间序列中各期发展水平为：逐期增长量累计增长量⒈⒉两者的关系?482、平均增长量逐期增长量的序时平均数年距增长量本期发展水平与去年同期水平之差，目的是消除季节变动的影响49解：居民消费水平的年平均增长量为：年份199519961997199819992000200120022003居民消费水平223626412834297231383397360938184089逐期增长量

405193138166259212209271累计增长量

4055987369021161137315821853例：根据下表数据，计算我国居民消费水平的年平均增长量。501、发展速度指报告期水平与基期水平的比值，说明现象的变动程度设时间数列中各期发展水平为：二、时间序列分析的速度指标

（一）发展速度和增长速度

51环比发展速度定基发展速度（年速度）（总速度）定基发展速度等于相应时期的环比发展速度之积；相邻两定基发展速度之商等于相应的环比发展速度。两者的关系?52为了消除季节变动因素的影响，可计算同比发展速度（年距发展速度）532、增长速度指增长量与基期水平的比值，说明报告期水平较基期水平增长的程度54环比增长速度定基增长速度同比增长速度说明发展速度与增长速度性质不同。前者是动态相对数，后者是强度相对数；定基增长速度与环比增长速度之间没有直接的换算关系。55二者关系：定基增长速度（总增长速度）不等于相应各环比增长速度之和（积）。几种速度指标之间的相互关系如下所示：环比增长速度环比发展速度定基增长速度定基发展速度乘/除56速度的表现形式和文字表述速度指标的表现形式：一般为%、倍数，也有用‰、番数等等。翻m番，则有：报告期水平=基期水平×2m

速度的文字表述：发展速度—相当于、发展为、增长到、减少到、下降为…报告期水平增长为基期水平的…%；以基期水平为100%，报告期水平增长为…%.增长速度—提高（了）、减少（了）、下降（了）…

报告期水平比基期水平增长（了）的…%；

以基期水平为100%，报告期水平增长（了）…%。57增长1%的绝对值指现象每增长1﹪所代表的实际数量定基增长速度增长1%的绝对值环比增长速度增长1%的绝对值58各环比发展速度的平均数，说明现象每期变动的平均程度平均发展速度平均增长速度说明现象逐期增长的平均程度（二）平均速度

59平均发展速度的计算1、几何平均法（水平法）即有从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到最末水平an，有基本要求60计算公式总速度环比速度以各期环比发展速度作为变量求几何平均数，即把n

个环比发展速度连乘后的n

次方根。61有关指标的推算:

几何平均法（水平法）⒈推算最末水平an

：⒉预测达到一定水平所需要的时间n

：62⒊计算翻番速度：翻番数解：

例：已知某化肥厂2000年的产量为20万吨，如果2010年产量翻1.5番，将会达到多少？63平均增长速度为：解：例:1980年我国生产水泥7986万吨，1994年达到40500万吨，计算1980年至1994年我国水泥产量翻了几番？每年平均增长速度为多少？

64平均发展速度的计算2、方程法（累计法）从最初水平a0出发，每期按一定的平均发展速度发展，经过n个时期后，达到各期实际水平之和等于各期推算水平之和基本要求65计算公式的推导由基本要求有，各期推算水平分别为各期定基发展速度之和（该一元n次方程的正根即为平均发展速度）

66①逐渐逼近法②查“累计法查对表”法

例:某公司2000年实现利润15万元，计划今后三年共实现利润60万元，求该公司利润应按多大速度增长才能达到目的。解：求解方法（关于的一元n次方程）67累计法查对表递增速度间隔期1～5年平均每年增长﹪各年发展水平总和为基期的﹪1年2年3年4年5年………………14.9114.90246.92398.61572.90773.1715.0115.00247.25399.34574.24991.0415.1115.10247.58400.06575.571075.57………………68两种方法的比较:几何平均法研究的侧重点是最末水平；方程法研究的侧重点是各年发展水平的累计总和。平均发展速度的计算

几何平均法：

方程法：两种方法的侧重点？69时间序列的速度分析指标时间序列的水平分析指标发展水平增长量平均发展水平平均增长量增长速度发展速度平均增长速度平均发展速度动态平均指标动态比较指标70平均发展速度的应用利用平均发展速度的原理，还可在年度增长率zy与月增长率zm

（季增长率zs

）之间进行换算。它们的关系可表示为：例如，某地区居民消费总额2003年9月为200亿元，2005年5月为260亿元。则居民民消费总额的月平均增长率和年平均增长率分别为：71三、速度分析与水平分析的结合与应用1.正确选择基期：

--首先要根据研究目的，正确选择基期。

--基期的选择一般要避开异常时期。2.注意数据的同质性：

--不容许有0和负数，否则就不适宜计算速度，而只能直接用绝对数进行水平分析。

--如果现象在某各阶段内的发展非常不平衡，大起大落，就会降低甚至丧失平均速度以及平均发展水平和平均增长量的代表性和意义。723.将平均发展速度要和各环比发展速度结合分析；4.将总平均发展速度要和分段平均发展速度及环比速度结合分析；5.总平均发展速度要联系基期水平进行分析。6.速度指标和水平指标要结合运用

--既要考虑速度的快慢，也要考虑实际水平的高低

--把相对速度与绝对水平结合，可计算增长1%的绝对量。73增长1%的绝对量是用来补充说明增长速度的.一般只对环比增长速度计算，其计算公式为：例

销售额(万元)增长率(%)增长1%的绝对量(万元)

甲企业乙企业甲企业乙企业甲企业乙企业20041400120

——

—

—

200516801802050141.274第三节长期趋势的测定

影响时间序列变动的因素可分解为：（1）长期趋势（T）（2）季节变动（S）（3）循环变动（C）

（4）不规则变动（I）可解释的变动—不可解释的变动一、时间序列的构成75长期趋势(Trend)长期趋势是指现象在相当长一段时间内沿某一方向持续发展变化的一种态势或规律性。它是时间序列中最基本的构成因素；由影响时间序列的基本因素作用形成；

长期趋势有不同多种不同的类型按变化方向不同来分，有上升趋势、下降趋势和水平趋势三类。按变化的形态来分，长期趋势可分为线性趋势和非线性趋势两类。76季节变动(SeasonalFluctuation)季节变动——泛指现象在一年内所呈现的较有规律的周期性起伏波动。周期长度可以是一年，也可以小于一年；例如，农产品的生产、销售和储存通常都有淡季和旺季之分，以一年为一个周期；例如，超市的营业额和顾客人数的变动常常以七天为一个周期，每个周末是高峰期。引起季节变动的原因既可能是自然条件（如一年四季的更替），也可能是法规制度和风俗习惯等（如节假日）。77循环变动(CyclicalFluctuation)循环变动指在较长时间内（通常为若干年）呈现出涨落相间、峰谷交替的周期性波动。例如，出生人数以20～25年为一个周期，太阳黑子数目大约11年为一个周期。78循环变动(续)循环变动与长期趋势的异同都是需要长期观察才能显现的规律性；但长期趋势是沿着单一方向的持续变动，而循环变动是具有循环特征的波动，通常围绕长期趋势上下起伏。循环变动与季节变动的异同都是属于周期性波动，但对循环波动的识别和分析更为困难循环变动周期至少在一年以上，周期长短很不固定；波动形态和波幅等规律性也都不是很规则；引起循环变动的原因通常也不那么直观明显。79不规则变动(IrregularVariation)不规则变动（又称为剩余变动）——是没有规律可寻的变动，它是从时间序列分离了长期趋势、季节变动和循环变动之后剩余的因素。可细分为随机扰动和异常变动两种类型。随机扰动是短暂的、不可预期的和不可重复出现的众多细小因素综合作用的结果。表现为以随机方式使现象呈现出方向不定、时大时小的起落变动，但从较长观察时间内的总和或平均来看，一定程度上可以相互抵消。异常变动则是指一些具有偶然性突发性的重大事件如战争、社会动乱和自然灾害等引起的变动，其单个因素的影响较大，不可能相互抵消，在时间序列分析中往往需要对这种变动进行特殊处理。后面所讲的不规则变动一般仅指随机扰动。80循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）长期趋势T（Trend）81时间序列因素分解的模型按照四种构成因素相互作用的方式不同，可以将上述关系设定为不同的合成模型，实际中最常用的有乘法模型和加法模型。若以Y表示序列的数值，T表示趋势值，S表示季节变动值，C表示循环变动值，I表示不规则变动值，下标t表示时间（t=1,2,…n）.82加法模型：假定四种因素的影响是相互独立的。每种因素的数值均与Y的计量单位和表现形式相同.如绝对数序列中各种因素的数值都为绝对量。季节变动和循环变动的数值有正有负，在它们各自的一个周期范围内，正负数值相互抵消，因而总和或平均数为零；不规则变动的数值也是有正有负，但只有从长时间来看其总和或平均数才趋于零。对各因素的分离采用减法。如，（Yt

–St）表示从序列中剔除季节变动的影响。83乘法模型假定四种因素的影响作用大小是有联系的，只有趋势值T与Y的计量单位和表现形式相同（一般为绝对量）；其余各种因素的数值均表现为以趋势值为基准的一种相对变化率，通常以百分数表示。各个时间上的季节变动和循环变动数值在100％上下波动，在它们各自的一个周期范围内，其平均值为100％；不规则变动值也是在100％上下波动，但只有从长时间来看其平均值才趋于100％。对各因素的分离则采用除法。例如，（Yt/St）表示从时间序列中剔除季节变动的影响84

把握现象随时间演变的趋势和规律；对事物的未来发展趋势作出预测；便于更好地分解研究其他因素。(一)测定长期趋势的意义：二、长期趋势的测算意义及表现形式(二)长期趋势的表现形式：①直线趋势②非直线趋势85三、长期趋势的测算方法（一）趋势修匀法1、时距扩大法时距扩大法是对长期的时间序列资料进行统计修匀的一种简便方法。当原序列中各期指标上下波动，使现象变化规律表象不明显时，可以通过扩大序列时间间隔，对原序列资料加以整理，以反映现象发展的趋势.86某企业历年的产品销售量数据如表9-5所示年份199319941995199619971998199920002001200220032004销售量（万件）5450526782708988849891106用时距扩大法，依次将每三年的销售量进行合并，得到新的销售量序列，可更清楚地看出销售量不断增长的长期趋势。时距扩大法的优点：计算非常简单直观；局限性。新序列的项数大大减少，丢失了原时间序列所包含的大量信息，不能详细反映现象的变化过程，不利于进一步的深入分析。年份1993-19951996-19981999-20012002-2004销售总量（万件）156219261295872.移动平均法

移动平均法（MovingAverage）是采用逐项递进的办法，将原时间序列中的若干项数据进行平均，通过平均来消除或减弱时间序列中的不规则变动和其他变动，从而呈现出现象发展变化的长期趋势。若平均的数据项数为K，就称为K期(项)移动平均。分为简单移动平均法和加权移动平均法两种。简单移动平均法将各项数据等同看待，计算每个移动平均值时采用简单算术平均。加权移动平均法给各期观测值赋予不同的权数，采用加权算术平均来计算每个移动平均值。88移动平均法（续）年份a销售量3年移动平均154

2503524675826707898889841098119112106

52.056.3367.0073.0080.3382.3387.0090.0091.0098.335年移动平均

61.0064.2072.0079.2082.6085.8090.0093.40

89移动平均法a.奇数项移动平均:原数列移动平均新数列90移动平均移动平均新序列原序列移动平均法b.偶数项移动平均:91原序列三项移动平均五项移动平均四项移动平均92移动平均法的特点：1.移动平均法对原时间序列具有修匀或平滑的作用，平均的时距项数k越大，移动平均的修匀作用越强。2.移动平均值代表的是所平均数据的中间位置上的趋势值——即中心化移动平均法平均项数k为奇数时，只需一次移动平均即得各期趋势值当k为偶数时，则需对移动平均的结果进行中心化处理，即再作一次两项移动平均。3.当序列包含周期性变动时，平均的项数k应与周期长度一致在消除不规则变动的同时，也消除周期性波动，使移动平均值序列只反映长期趋势。季度数据通常采用4期移动平均，月度数据通常采用12期移动平均。934.移动平均值序列的项数比原序列少，首尾缺少对应的趋势值平均项数k为奇数时，新序列首尾各减少（k-1）/2项；k为偶数时，首尾各减少k/2项。5.当现象呈非线性趋势时，加权移动平均比简单移动平均效果为好。确定权数通常遵循“近大远小”的原则；采用中心化移动平均法，其权数一般呈“中间大、两端小”的对称结构。例如5期移动平均中5个观测值的权数可分别为1,2,3,2,1；或者也可以是1,3,5,3,1，等等。6.移动平均法不能直接进行外推预测。只有在现象发展变化呈水平趋势的情况下，移动平均值才能用于预测预测时通常将移动平均值放在平均时距的最末一期上。94（三）趋势方程拟合法

是通过数学方法对时间数列配合一条理想的趋势方程

，使其与原数列曲线达到最优拟合直线趋势方程曲线趋势方程……95趋势线拟合法的基本程序判断趋势类型计算待定参数利用方程预测定性分析96判断趋势类型绘制散点图分析数据特征趋势线拟合法的基本程序当数据的一阶差分趋近于一常数时，可以配合直线方程当数据的二阶差分趋近于一常数时，可以配合二次曲线方程当数据的环比发展速度趋近于一常数时，可配合指数曲线方程97tyi一阶差分yi-yi-11234na+ba+2ba+3ba+4ba+nb—bbbb直线趋势方程趋势线的选择98tyi一阶差分二阶差分1234na+b+ca+2b+4ca+3b+9ca+4b+16ca+nb+n2c—b+3cb+5cb+7cb+(2n-1)c——2c2c2c抛物线趋势方程趋势线的选择99tyiyi/yi-11234nabab2ab3ab4abn—bbbb指数曲线趋势方程趋势线的选择100用最小平方法求解参数

a、b

，有1、直线趋势的测定直线趋势方程：经济意义：

数列水平的平均增长量101年份tGDP(y)tyt21986198719881989199019911992199319941995199619971998123456789101112137610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.07610.616982.628344.039328.851045.566886.289145.7115623.2146547.9179937.0216902.4257456.4300677.0149162536496481100121144169合计91182505.81516487.3819

例：已知我国GDP资料（单位：亿元）如下，拟合直线趋势方程，并预测1999年的水平。102解预测10301234567求解a、b的简捷方法0123-1-2-3取时间数列中间项为原点104当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…105年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182505.8238946.7182106解：预测107当现象的K级增长量大体接近一常数时，可拟合K次曲线趋势方程。二级增长量（二次差）—对逐期增长量序列再求逐期增长量三级增长量（三次差）—对二级增长量序列再求逐期增长量…以次类推，可计算时间序列的K级增长量。K次曲线趋势方程：108二次曲线和三次曲线实际中最常用的是二次曲线和三次曲线:109指数曲线当现象的逐期发展速度或增长速度大体相同时，即现象大致按几何级数递增或递减时，其长期趋势可拟合为指数曲线方程:a相当于时间序列长期趋势的初始值，b相当于平均发展速度。若b>1，呈递增趋势，b<1，时间序列呈递减趋势.估计参数a和b，可通过对数变换来线性化。或：110其它非线性趋势曲线用来拟合现象非线性趋势的曲线还有修正指数曲线、龚泊兹曲线和逻辑斯蒂曲线等等。修正指数曲线的方程形式为：(0<b<1)数学特征：变量值的一次差的环比比率相等。直观的曲线特征:现象初期增长迅速、随后增长率逐渐下降直至最终以常数K为增长的极限。可用三点法或三和法来估计模型中的三个参数.111龚泊兹曲线（Compertzcurve）

龚泊兹曲线的方程形式为：(K>0)数学特征：变量值的对数一次差的环比比率相等。直观的趋势特征：初期增长缓慢、随后逐渐加快，达到一定程度后增长率又逐渐下降,直至接近一条水平线Y=K。取对数,可转化为修正指数曲线.112逻辑斯蒂曲线（Logisticcurve）

逻辑斯蒂曲线的方程形式为：数学特征：变量值倒数的一次差的环比比率相等。所适合的场合与龚泊兹曲线的适合场合比较类似。(K>0,a>0,1≠b>0)113第四节季节变动和循环波动测定季节变动的测定方法循环变动的测定方法不规则变动的测定方法114一、季节变动的测定方法测定季节变动的意义掌握现象的季节变动规律，为决策和预测提供重要依据;从原序列中剔除季节变动的影响，更好地分析其他因素。季节变动的测定乘法模型中，季节变动的测定和分离都通过季节指数实现.按是否消除长期趋势影响来分，测定方法可分为两大类：一是不考虑长期趋势的影响，直接根据原序列去测定常用方法是同期平均法；二是先剔除长期趋势，然后根据趋势剔除后的序列来测定常用方法是移动平均趋势剔除法。至少要有三个以上季节周期的数据。如果季节变动的规律性不是很稳定，则所需要的数据还应更多一些为好。115饮料的生产量及销售量在一年内的变化用电量在一年之内的增减蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期……

季节变动的原因：一是自然四季的更替，即气候的变化；二是人们的民族风俗习惯。季节变动事例：116(一)同期平均法基本原理是：假定时间序列呈水平趋势，通过对多年同期的数据进行简单算术平均，以消除不规则变动，再将各季节水平（同期平均数）与水平趋势值对比，即可得到季节指数。一般步骤：1.计算同期平均数

（i=1,2,…,L）即将不同年份同一季节的多个数据进行简单算术平均。其目的是消除不规则变动的影响。一般要先将各年同一季节的数据对齐排列.2.计算全部数据的总平均数用以代表消除了季节变动和不规则变动之后的全年平均水平，亦即整个时间序列的水平趋势值。3.计算季节指数（也称为季节比率)Si.117同期平均法的假设：没有循环变动和长期趋势的影响。即：则季节比率S的求解程序为：首先：然后：同期平均法118季节指数Si>100％，表示现象在第i期处于旺季，即第i期水平高于全年平均水平；Si<100％，表示第i期是个淡季，即该季节的水平低于全年平均水平。在一个完整的季节周期中，季节指数的总和等于季节周期的时间项数，或季节指数的均值等于1。或否则就要进行调整（即归一化处理）。调整方法是用各项季节指数除以全部季节指数的均值（或将所求的各项季节指数都乘以一个调整系数即可）。119季节指数图例：某企业生产的一种学生学习用复读机的销售量数据如下表所示，试用同期平均法计算各月的季节指数。

JanFebMarAprMayJunJulyAugSepOctNovDec20015153452425183780120562829200246484023232132741015025272003416347222123308613951332920045355502131203590112603137同月平均47.7554.7545.522.52520.533.582.511854.2529.2530.5季节指数(%)101.6116.596.847.953.243.671.3175.5251.1115.462.264.9100平均

47同期平均法简单，易理解，但只适用于呈水平趋势的序列。当现象呈现出明显上升（下降）趋势时，总会高估（低估）年末季节指数，相应地低估（高估）年初季节指数。120（二）移动平均趋势剔除法趋势剔除法的基本原理：首先测定出各期趋势值，然后从原序列中消除趋势成份，最后再通过平均的方法消除不规则变动，从而测定出季节变动程度。最常用的趋势剔除法是移动平均趋势剔除法.采用移动平均法测定长期趋势，剔除趋势后再计算季节指数。实质上，此方法也适用于包含循环变动的场合。121移动平均趋势剔除法的步骤1.计算移动平均值(M)。对原序列计算平均项数等于季节周期L的中心化移动平均值。旨在可消除原序列中的季节变动S和不规则变动I。若序列不包含循环变动即Y=T·S·I，则M=T。假定时间序列也包含循环变动即Y=T·S·C·I，则M＝T·C，可称之为趋势-循环值。2.剔除原序列中的趋势成份（或趋势-循环成份）。Y/M，得到只含季节变动和不规则变动的比率序列，即：或1223.消除不规则变动I。将各年同期（同月或同季）的比率（S·I）进行简单算术平均，可消除不规则变动I，从而可得到季节指数S。4.调整季节指数。对所求季节指数进行归一化处理。【例9-14】年份季度销售额Y第一年1292903108414第二年13521123130424第三年14021083126428第四年14821393179433第五年15621523192435四项移均—

60.2561.7567.2572.7575.2576.5075.5074.5075.5077.5085.2598.5099.75101.75105.00108.25108.75—中心化四季移动平均值（M）——61.0064.5070.0074.0075.8876.0075.0075.0076.5081.3891.8899.13100.75103.38106.63108.50——趋势-循环剔除值（Y/M）——1.77050.21710.50001.51351.71330.31580.53331.44001.64710.34410.52241.40231.77670.31920.52521.4009——124例（续）季节指数的计算表

1234总和一——1.77050.2171

二0.50001.51351.71330.3158

三0.53331.44001.64710.3441

四0.52241.40231.77670.3192

五0.52521.4009——

合计2.08105.75676.90761.1962

平均0.52021.43921.72690.29903.9854季节指数(%)0.52221.44451.73320.30014.0000125二、循环变动的测定方法循环变动通常很难识别和分解周期往往不固定，其规律性不很明显，它需要相当长时间的观察数据必须借助于定性分析（一）直接法用同比发展速度或年距发展速度的波动来粗略地描述循环变动的特征简便直观，但没有消除不规则波动的影响，往往也不能真正消除长期趋势和季节变动的影响，很难准确描述循环波动的峰、谷和振荡幅度等特征126直接法测定循环变动（例）同比（年距）发展速度(％）

1234二120.69124.44120.37171.43三114.2996.4396.92116.67四120.00128.70142.06117.86五116.67109.35107.26106.06127（二）剩余法（分解法）基本思想：以因素构成模型为基础，分别从时间序列中分离出长期趋势和季节变动因素，再消除不规则变动，则剩余的成份就是时间序列的循环变动。步骤：假定因素构成模型为Y=T·S·C·I。第一，消除季节变动，得到无季节影响的序列；第二，由无季节影响序列计算出各期趋势值T，再剔除趋势，求得循环和不规则变动序列C·I。最后，对C·I进行移动平均，消除I，求得C。128三、不规则变动的测定剩余法思路清晰。但计算复杂，其准确性受其他各因素分离效果的影响。对C·I的移动平均以多长时距为宜，理论上也无法一概而论，实际应用中难免出现一定的随意性.三、不规则变动的测定不规则变动没有规律可寻，不可能像其他因素那样可以直接进行测定，因此只能从时间序列中逐一将长期趋势、季节变动和循环变动分离出去，之后剩余的因素统统归结为不规则变动，又称为剩余变动或残余变动。不规则变动，无法预测其未来确切的波动方向和具体数值，只能在事后进行测定和分析。对不规则变动的事后分析，有利于分析现象变化的具体原因，以便在以后的决策和行动中采取有效的防范措施和应对措施。129例：根据教材中表9-15（P245)的数据，用剩余法测定某销售公司的饮料销售额的循环波动和不规则变动。130第五节时间序列预测模型时间序列预测通常是建立在时间序列因素分解之基础上的。分别对各种构成因素进行预测后，再合成所研究现象的预测值。时间序列预测模型最一般的形式为：131其中最主要的是长期趋势的预测，其常用的方法有：趋势外推预测移动平均和指数平滑预测自回归预测

由季节变动的规律比较稳定，实际预测中一般假定未来的季节指数不变；循环变动很难准确测定和预测，可暂时不考虑。132一、趋势外推预测趋势外推预测——利用趋势方程去预测现象在未来时间上的长期趋势值。按原来的时间顺序将预测期的时间变量值t代入趋势方程中，即可计算出预测期的趋势值。趋势外推法简单方便。但必须注意，该方法实质上就是假定影响现象长期趋势的基本因素在预测期仍然起着同样的作用实际应用中，须认真分析影响趋势的基本因素是否会显著变化，而且外推时间不宜太远。133二、移动平均和指数平滑预测（一）移动平均预测——就是用移动平均值作为下一期的预测值。有简单移动平均预测和加权移动平均预测两种。与测定趋势的移动平均法有所不同：每个K期移动平均值不是代表观测值中间一期的趋势值，而是第K+1期的趋势预测值。移动平均值的位置也不再是居中放置，而是置于第K期（所平均数据末尾一期）或直接置于第K+1期（预测期）.加权移动平均法用于预测时，按“近大远小”的原则确定权数，即离预测期较远的数据给以较小的权数，而离预测期较近的数据给以较大的权数。134移动平均预测(的公式）简单移动平均预测第t+1期预测值的公式为：加权移动平均预测第t+1期预测值的公式为：wi为观测值yi的权数，且wt>wt-1>…>wt-k+1。常常取自然数K,K-1,…,2,1。135移动平均预测（续）移动平均预测的局限性只具有预测未来一期趋势值的预测功能，只适用于呈水平趋势的时间序列。如果现象的发展变化具有明显的上升（或下降）趋势，则移动平均预测的结果就会产生偏高（或偏低）的滞后偏差，即预测值的变化滞后于实际趋势值的变化。移动平均的项数K越大，滞后偏差就越大。136（二）指数平滑预测1.指数平滑法（Exponentialsmoothing）的基本原理用Et

表示第t期的指数平滑值，其计算公式为：α为平滑系数(0<α<1)。指数平滑具有递推性质.展开后：E0为初始值，通常设E0=y0。t→∞时，最后一项系数趋近于0，其余各项的系数构成一个无穷递减等比数列，该数列总和为1.可见，指数平滑值Et实质上是以前各期观测值的加权算术平均数，各期观测值的系数就是其权数，权数呈指数形式递减。137指数平滑法的主要优点按“近大远小”原则给各期观测值赋予了不同的权数，既充分利用了以前各期观测值的信息，又突出了近期数据的影响，能够及时跟踪反映现象的最新变化。它采用递推公式，更便于连续计算，因为实际计算时不必保留以前全部信息，只需上期的平滑值和最新的观测值两项数据即可。其权数确定也较为简便，只需确定最新一期数据的权数，其他各项观测值的权数可自动生成。138平滑系数α的选择α的选择是指数平滑法的关键，一般可从以下几个方面来考虑：

(1)如果认为时间序列中随机波动成份较大，为了尽可能消除随机波动的影响，可选择较小的α；反之，若认为随机波动成份较小，为了及时跟踪现象的变化，突出最新数据的信息，可选择较大的α。(2)如果现象趋势的变化很平缓，可选择较小的α；如果现象趋势的变化比较剧烈，例如呈阶梯式特征，应选择较大的α。(3)通过大小不同的α值进行试算，使得预测误差最小的α值就是最合适的平滑系数。1392.一次指数平滑预测模型当时间序列呈水平趋势或没有明显波动规律时，可以用一次指数平滑进行短期预测：一次指数平滑预测的基本思想：如果第t期的预测没有误差，则第t期预测值仍然是第t+1期的预测值；如果有预测误差，则不外乎：一部分是随机波动所引起的误差，预测时应尽可能予以剔除；另一部分是由于t期的现象与以前比较确实有了实质性变化而造成的误差，对此须及时跟踪反应，这就要求根据预测误差调整预测值。α值实质上体现了预测者对预测误差中实质性变化所占比重的估计。或：140【例9-17】要求用移动平均法和指数平滑法进行预测.解：采用5日移动平均，加权移动平均预测中各期数据的权数由近到远分别为5,4,3,2,1。指数平滑法预测取α=0.4。日期价格移动平均加权移动平均指数平滑值17.20

27.09

7.20037.05

7.15647.20

7.11457.32

7.14867.207.1727.1957.21777.257.1727.2057.21087.387.2047.2317.22697.517.2707.2897.288107.427.3327.3697.377117.357.3527.3997.394127.257.3827.3987.376137.177.3827.3547.326147.217.3407.2837.263157.287.2807.2407.242167.307.2527.2407.25717

7.2427.2567.2741413.二次指数平滑的预测模型二次指数平滑E(2)是对第一次指数平滑值序列E(1)再计算指数平滑值，即：当现象有明显上升或下降趋势时，指数平滑值E(1)

与趋势值之间存在明显的滞后偏差，E(2)与E(1)之间也存在着同样的滞后偏差。根据三者之间滞后偏差的数量关系，可得出线性趋势模型中参数估计值at

和bt，并由此得到相应的线性趋势预测模型。1423.二次指数平滑的预测模型（续）利用二次指数平滑建立的线性趋势预测模型及其参数估计值的计算公式为：（K=1,2,…）

二次指数平滑预测模型是以最近一期的一、二次指数平滑值来估计线性趋势预测模型的参数，因此，其参数估计值是根据数据的最新变化而不断修正的。此预测方法适宜对现象进行短中期预测。143例9-18根据表9-5的数据，利用指数平滑法进行预测.解：取α=0.45，两次平滑的初始值都取为y1。参数估计值为：年份销售量一次指数平滑值E(1)二次指数平滑值E(2)atbt预测值935454.0054.00