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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.2.若命题p:从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一;命题q:在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则∠AMB>90°的概率为π8A.p∧qB.(¬p)∧qC.p∧(¬q)D.¬q3.函数图象的大致形状是()A. B.C. D.4.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.5.已知,如图是求的近似值的一个程序框图,则图中空白框中应填入A. B.C. D.6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.7.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.8.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于,两点,为坐标原点.若,则直线的斜率为()A. B. C. D.9.设集合,则()A. B. C. D.10.设函数,的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是()A.是偶函数 B.是奇函数C.是奇函数 D.是奇函数11.已知集合,,则集合子集的个数为()A. B. C. D.12.执行如图所示的程序框图,若输出的,则输入的整数的最大值为()A.7 B.15 C.31 D.63二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二面角α﹣l﹣β为60°,在其内部取点A,在半平面α,β内分别取点B,C.若点A到棱l的距离为1,则△ABC的周长的最小值为_____.14.经过椭圆中心的直线与椭圆相交于、两点(点在第一象限),过点作轴的垂线,垂足为点.设直线与椭圆的另一个交点为.则的值是________________.15.在正奇数非减数列中,每个正奇数出现次.已知存在整数、、,对所有的整数满足,其中表示不超过的最大整数.则等于______.16.已知非零向量的夹角为,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;(2)求证:(,且).18.(12分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,若不存在说明理由.19.(12分)如图,设点为椭圆的右焦点,圆过且斜率为的直线交圆于两点,交椭圆于点两点,已知当时,(1)求椭圆的方程.(2)当时,求的面积.20.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.21.(12分)设数阵,其中、、、.设,其中,且.定义变换为“对于数阵的每一行,若其中有或,则将这一行中每个数都乘以;若其中没有且没有,则这一行中所有数均保持不变”(、、、).表示“将经过变换得到,再将经过变换得到、,以此类推,最后将经过变换得到”,记数阵中四个数的和为.(1)若,写出经过变换后得到的数阵;(2)若,,求的值;(3)对任意确定的一个数阵,证明:的所有可能取值的和不超过.22.(10分)已知函数.当时,求不等式的解集;,,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.2.B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为P1=1C42=16,即命题p是错误,则¬p是正确的;在边长为4的正方形ABCD内任取一点M点睛:本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假(含或、且、非等连接词)的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起,旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用,以及分析问题解决问题的能力。3.B【解析】
判断函数的奇偶性,可排除A、C,再判断函数在区间上函数值与的大小,即可得出答案.【详解】解:因为,所以,所以函数是奇函数,可排除A、C;又当,,可排除D;故选:B.【点睛】本题考查函数表达式判断函数图像,属于中档题.4.B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.5.C【解析】
由于中正项与负项交替出现,根据可排除选项A、B;执行第一次循环:,①若图中空白框中填入,则,②若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第二次循环:由①②均可得,③若图中空白框中填入,则,④若图中空白框中填入,则,此时不成立,;执行第三次循环:由③可得,符合题意,由④可得,不符合题意,所以图中空白框中应填入,故选C.6.A【解析】
设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,在等式两边平方得,化简得.故选:A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.7.A【解析】
化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。8.D【解析】
根据抛物线的定义,结合,求出的坐标,然后求出的斜率即可.【详解】解:抛物线的焦点,准线方程为,设,则,故,此时,即.则直线的斜率.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义,直线斜率公式,属于中档题.9.C【解析】
解对数不等式求得集合,由此求得两个集合的交集.【详解】由,解得,故.依题意,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法,考查集合交集的概念和运算,属于基础题.10.C【解析】
根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【详解】解:是奇函数,是偶函数,,,,故函数是奇函数,故错误,为偶函数,故错误,是奇函数,故正确.为偶函数,故错误,故选:.【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.11.B【解析】
首先求出,再根据含有个元素的集合有个子集,计算可得.【详解】解:,,,子集的个数为.故选:.【点睛】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算,集合子集个数的计算公式,属于基础题.12.B【解析】试题分析:由程序框图可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后输出,此时,则的最大值为15,故选B.考点:程序框图.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ADC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当四点共线时长度最短,结合对称性和余弦定理求解.【详解】作A关于平面α和β的对称点M,N,交α和β与D,E,连接MN,AM,AN,DE,根据对称性三角形ABC的周长为AB+AC+BC=MB+BC+CN,当M,B,C,N共线时,周长最小为MN设平面ADE交l于,O,连接OD,OE,显然OD⊥l,OE⊥l,∠DOE=60°,∠MOA+∠AON=240°,OA=1,∠MON=120°,且OM=ON=OA=1,根据余弦定理,故MN2=1+1﹣2×1×1×cos120°=3,故MN.故答案为:.【点睛】此题考查求空间三角形边长的最值,关键在于根据几何性质找出对称关系,结合解三角形知识求解.14.【解析】
作出图形,设点,则、,设点,利用点差法得出,利用斜率公式得出,进而可得出,可得出,由此可求得的值.【详解】设点,则、,设点,则,两式相减得,即,即,由斜率公式得,,,故,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆中角的余弦值的求解,涉及了点差法与斜率公式的应用,考查计算能力,属于中等题.15.2【解析】
将已知数列分组为(1),,共个组.设在第组,,则有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.16.1【解析】
由已知条件得出,可得,解之可得答案.【详解】向量的夹角为,且,,可得:,
可得,
解得,
故答案为:1.【点睛】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模,关键在于将所求的向量的模平方,利用向量的数量积化简求解即可,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)1;(2)见解析【解析】
(1)分别求得与的导函数,由导函数与单调性关系即可求得的值;(2)由(1)可知当时,,当时,,因而,构造,由对数运算及不等式放缩可证明,从而不等式可证明.【详解】(1)∵函数在上单调递减,∴,即在上恒成立,∴,又∵函数在上单调递增,∴,即在上恒成立,,∴综上可知,.(2)证明:由(1)知,当时,函数在上为减函数,在上为增函数,而,∴当时,,当时,.∴∴即,∴.【点睛】本题考查了导数与函数单调性关系,放缩法在证明不等式中的应用,属于难题.18.(1)(2)【解析】试题分析:(1)因为椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.考点:本题主要考查椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,圆与椭圆的位置关系.点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理.存在性问题,往往从假设存在出发,运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备.(2)小题解答中,集合韦达定理,应用平面向量知识证明了圆的存在性.19.(1)(2)【解析】
(1)先求出圆心到直线的距离为,再根据得到,解之即得a的值,再根据c=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出,,再求得的面积.【详解】(1)因为直线过点,且斜率.所以直线的方程为,即,所以圆心到直线的距离为,又因为,圆的半径为,所以,即,解之得,或(舍去).所以,所以所示椭圆的方程为.(2)由(1)得,椭圆的右准线方程为,离心率,则点到右准线的距离为,所以,即,把代入椭圆方程得,,因为直线的斜率,所以,因为直线经过和,所以直线的方程为,联立方程组得,解得或,所以,所以的面积.【点睛】本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系,考查椭圆的方程的求法,考查三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.20.(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.21.(1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)由,能求出经过变换后得到的
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