微积分-课件第九章9-2215级

1一、利用极坐标系计算二重积分二、小结第二节二重积分的计算法(2)2一、利用极坐标计算二重积分极坐标下的面积元素30ABFEDD:

rr(1)区域特征如图(极点在区域外)怎样利用极坐标计算二重积分40ABFEDD:.极点不在区域D的内部

r50ABFEDD:.

步骤：1从D的图形找出r,上、下限；2

化被积函数为极坐标形式；3面积元素dxdy化为rdrd.极点不在区域D的内部

r6二重积分化为二次积分的公式(1)区域特征如图(极点在区域外)7(2)区域特征如图(极点在区域边界上)8极坐标系下区域的面积(3)区域特征如图(极点在区域内部)

注一般,在极坐标系下计算:9思考:

下列各图中域D

分别与x,y轴相切于原点,试答:问的变化范围是什么?(1)(2)二重积分的计算法1010直角坐标系与极坐标系中圆的方程直角坐标极坐标直角坐标极坐标1111直角坐标极坐标直角坐标极坐标1212直角坐标极坐标131.当区域是圆或圆的一部分,或者区域D的边界方程用极坐标表示较简单.何时采用极坐标系来计算?2.当被积函数为等形式.14解例写出积分的极坐标二次积分其中积分区域形式,15计算所围成的平面闭区域.例及直线解16解例计算其中D:注:利用本例可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式17解二重积分的计算法18又二重积分的计算法对称性质19概率积分夹逼定理即所求反常积分二重积分的计算法20双纽线求曲线所围成的图形的面积.(如图）例解在极坐标系下面积21因被积函数D2极坐标

计算例分析故的在积分域内变号.D12222

计算解

积分区域D关于x轴对称,被积函数关于y为偶函数.原式=记D1为D的y≥0的部分.则练习D123例

求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解

由对称性可知只需求第一卦限部分体积V1,xzoy2a被积函数(曲顶)为:积分区域(底)为:24xzoy2a25例将累次积分：化为极坐标下的累次积分，并计算.解26二重积分计算步骤及注意事项•

画出积分域•选择坐标系•确定积分序•写出积分限•计算要简便：积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性27

二重积分的计算规律再确定交换积分次1.

交换积分次序:先依给定的积分次序写出积分域D的不等式,并画D的草图;序后的积分限;2.

如被积函数为圆环域时,或积分域为圆域、扇形域、则用极坐标计算;二重积分的计算法28

3.

注意利用对称性质,数中的绝对值符号.以便简化计算;4.

被积函数中含有绝对值符号时,应将积分域分割成几个子域,使被积函数在每个子域中保持同一符号,以消除被积函二重积分的计算法29二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）二、小结30oxy解将直角坐标系下累次积分:化为极坐标系下的累次积分.原式=练习31设f(x,y)为连续函数,则练习等于oxy极坐标化为直角坐标二次积分形式32解练习33

三、二重积分的换元法3435例解3637例解3839小结基本要求:变换后定限简便，求积容易．40思考题41思考题解答424343练习证法一交换积分次序化为累次积分设f(t)为连续函数,证明定积分的换元4444定积分的性质4545法二令则设f(t)为连续函数,证明二重积分的换元法4646故对称性47作业：P388习题9.21（13，15）、10、12、