2017中考数学复习三角函数的综合运用

中考数学复习三角函数的综合运用知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：＜2=1.41421…，＜3=1.73205…）分析：此题可先通过解RtAABD求出塔高AB,再利用CE=BD=80米，解RtAAEC求出AE,最后求出CD=BE=AB-AEO解：在RtAABD中，BD=80米，NBAD=600・.AB=BD•tan600=80<32138.56（米）在RtAAEC中，EC=BD=80米，NACE=45。，.AE=CE=80米.•.CD=BE=AB—AE=80v3—80«58.56（米）答：塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米。【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为a=300,0=450,求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：＜2=1,41,v'3=1.73）分析：要求AB,只须求出OA即可。可通过解RtAPOA达到目的。解：在RtAPAO中，NPAO=a=300.•.OA=PO-cot/PAO=450cot300=450V3在RtAPBO中，NPBO=0=450AOB=OP=450（米）・.AB=OA—OB=450＜3—450329（米）答：这座大桥的长度约为329米。评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例3】一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C

在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论。解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点DAD,sBCcot300= ,cot600= CD， CD・•.AD=CD-cot300,BD=CD-cot600・•.AD—BD=CD(cot300—cot60。)=20・•・CD=——<3,.T0J3>10・♦・这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型一一航海问题，解这类题要【例4【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD,坝顶宽CD=3米，斜坡AD=16米，坝高8米，斜坡BC的坡度，=1：3,求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作DE，AB,CFLAB,垂足分别为E、F,在RtAADE和RtABCF中•「sinA•「sinA=DEAD16.\ZA=300又：AE=又：AE=aAD22-DE2=v162-82=8v;3,i=CF1BF3ABF=3CF=3X8=24...AB=AE+EF+BF=8<3+3+24=27+8<3（米）答：斜坡AB的坡角NA=30。，坝底宽AB为（27+8<3）米。评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值i=tana）,其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度。=600，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG±CE,DFXCE,构造直角三角形，解RtAAHD和RtACDF即可求解。解：过点A、D分别作CE的垂线AG、DF,垂足分别为G、F,过D作DHLAG于H,则有:DF=CD•sin600=3x亘=3-12 21AH=AD-cos600=0.5x=—243%：31于是A点离地面的高度为+-+1.2氏4（米）4答：车厢的最高点A离地面约为4米。【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。问题二图11.45长廊房间问题二图问题二图11.45长廊房间问题二图2略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB,延长DC交AB于E,由题意可知，AACE是等腰直角三角形，所以CE=0.5,DE=DC+CE=2,作DH±AB于H,则DH=DE•sin/HED=2sin450=»2・•・可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。设计方案图设计方案说理图设计方案图设计方案说理图跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度，是（）A、1：3 B、1：2.6 C、1：2.4 D、1：22、如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向，这艘渔船以28海里/小时的速度向正东航行半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东150方向，此时灯塔M与渔船的距离是（ ）A、7V2海里A、7V2海里B、14v2海里 C、7海里 D、14海里C A第1题图3、如图，从山顶3、如图，从山顶A望地面C、D两点，

米，点C在BD上，则山高AB=（测得它们的俯角分别为450和30。，已知CD=100）A、A、100米 B、50v3米C、50<2米 D、50(v3+1)米4、重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价。元，则购买这种草皮至少需要（ ）D、300a元A、450a元 B、225a元 C、150aD、300a元选择第4题图

选择第4题图二、填空题：1、如图，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基下底AB=米。2、小明想测量电线杆AB的高度（如图），发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4米，BC=10米，CD与地面成30。角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为 米（结果保留两位有效数字，J2=1.41,<3=1.73）三、解答题：1、在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C,并测得NCAD=45。，在距离A点30米的B处测得NCBD=30。，求河宽CD（结果可带根号）。DD AB第1题图AADD AB第1题图AA第2题图第3题图2、如图：在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为300的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B,5分钟后，在D处测得着火点B的府角是150,求热气球升空点A与着火点B的距离。（结果保留根号，参考数据：sm150=老产，315"勺2tan150=2—<3,cot150=2+,.;3）3、如图：某海域直径为30海里的圆形暗礁区中心有一哨所A,值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来。哨所及时向轮船发出危险信号，但轮船没有收到信号，又继续前进15海里到达C点，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号。①若轮船收到第一次危险信号后为避免触礁，应立即改变航向，航向改变的角度应最大为北偏东a，求sina的值；②当轮船收到第二次危险信号时，为避免触礁，轮船立即改变航向。这时轮船航向改变的角度应最大为南偏东多少度？4、如图，客轮沿折线A-B-C,从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮。两船同时起航，并同时到达折线A-B-C上的某一点E处。已知AB=BC=200海里，NABC=900,客轮速度是货轮速度的2倍。（1）两船相遇之处E点