2007年高考理科数学试题及参考(上海卷)

2007年全国一般高等学校招生一致考试（上海卷）数学(理科)全解全析一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只需求直接填写结果，每个空格填对得4分，不然一律得零分．1、函数fxlg4x的定义域为_____x3【答案】xx4且x3【分析】4x0xx4且x3x302、已知l1:2xmy10与l2:y3x1，若两直线平行，则m的值为_____【答案】23【分析】2m1m231133、函数fxx的反函数f1x_____x1【答案】x（x1）x1【分析】由yxxy(y1)f1xx1）1（xxy1x14、方程9x63x70的解是_____【答案】xlog37【分析】x263x70xx1（舍去），xlog37。(3)37或35、已知x,yR，且x4y1，则xy的最大值为_____【答案】116【分析】xy14y1x4y211x()，当且仅当x=4y=时取等号.4421626、函数fxsinx3sinx2的最小正周期是T_____【答案】π共9页第1页【分析】ysin(x)sin(x)(sinxcoscosxsin)cosx32331sinxcosx3cos2x1sin2x31cos2x2242231x)T。4sin(2327、有数字1、2、3、4、5，若从中任取三个数字，剩下两个数字为奇数的概率为_____【答案】0.3【分析】C22C313C5310228、已知双曲线xy1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为极点的抛物线方45程为_____【答案】212(x3)y【分析】双曲线x2y21的中心为O（0,0），该双曲线的左焦点为F（－3,0）则抛物线45的极点为（－3,0），焦点为（0,0），所以p=6，所以抛物线方程是)y212(x3)9、若a,b为非零实数，则以下四个命题都成立：10222abb2③若ab，则ab①a②abaa④若a2ab，则ab。则关于随意非零复数a,b，上述命题仍旧成立的序号是_____。【答案】②④【分析】关于①：解方程a10得ai，所以非零复数ai使得a1a0，①a不行立；②明显成立；关于③：在复数集C中，|1|=|i|，则abab，所以③不行立；④明显成立。则关于随意非零复数a,b，上述命题仍旧成立的全部序号是②④10、平面内两直线有三种地点关系：订交，平行与重合。已知两个订交平面,与两直线l1,l2，又知l1,l2在内的射影为s1,s2，在内的射影为t1,t2。试写出s1,s2与t1,t2满足的条件，使之必定能成为l1,l2是异面直线的充分条件共9页第2页【答案】s1//s2，而且t1与t2订交（t1//t2，而且s1与s2订交）【分析】作图易得“能成为l1,l2是异面直线的充分条件”的是“s1//s2，而且t1与t2订交”或“t1//t2，而且s1与s2订交”。11、已知圆的方程22，P为圆上随意一点（不包含原点）。直线OP的倾斜xy11角为弧度，OPd，则df的图象大概为_____【答案】【分析】OP2cos()2sin,(0,)2二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，此中有且只有一个结论是正确的，一定把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或许选出的代号超出一个（无论能否都写在圆括号内），一律得零分．12、已知2ai,bi是实系数一元二次方程x2pxq0的两根，则p,q的值为A、p4,q5B、p4,q5C、p4,q5D、p4,q5【答案】A【分析】由于2ai，bi（i是虚数单位）是实系数一元二次方程x2pxq0的两个根，所以a=－1，b=2，所以实系数一元二次方程x2pxq0的两个根是2i所以p[(2i)(2i)]4,q(2i)(2i)5.。13、已知a,b为非零实数，且ab，则以下命题成立的是A、a2b2B、ab2a2bC、11D、baab2a2bab【答案】C【分析】若aba2b2，A不行立；若ab02bab2,B不行立；若a=1，b=2，aabba1ba则2,2a,所以D不行立,应选C。abb14、在直角坐标系xOy中，i,j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC共9页第3页中，AB2ij，AC3ikj，则k的可能值有A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】B【分析】解法一：BCBAAC2ij3ikji(k1)j（1）若A为直角，则ABAC(2ij)(3ikj)6k0k6；（2）若B为直角，则ABBC(2ij)[i(k1)j]1k0k1；（3）若C为直角，则ACBC(3ikj)[i(k1)j]2k30k。k所以k的可能值个数是2，选B解法二：数形联合．如图，将A放在座标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上，由图知，只可能A、B为直角，C不行能为直角．所以k的可能值个数是2，选B15、已知fx是定义域为正整数集的函数，关于定义域内随意的k，若fk2成立，则fk1k2成立，以下命题成立的是k1A、若f39成立，则关于随意k1，均有fk2成立；kB、若f416成立，则关于随意的k4，均有fkk2成立；C、若f749成立，则关于随意的k7，均有fkk2成立；D、若f425成立，则关于随意的k4，均有fkk2成立。【答案】D【分析】对A，当k=1或2时，不必定有fkk2成立；对B，应有fkk2成立；对C，只好得出：关于随意的k7，均有fkk2成立，不可以得出：随意的k7，均有fk2成立；对D，f42516,关于随意的k4，均有fkk2k成立。应选D。三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答以下各题一定写出必需的步骤．16、体积为1的直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC1，求直线AB1与平面BCC1B1所成角。【分析】法一：由题意，可得体积VCC1S△ABCCC1111，ACBCCC122AA1CC12．连结BC1．A1C1B1C1，A1C1CC1，共9页第4页C1B1A1C1平面BB1C1C，A1A1BC1是直线A1B与平面BB1C1C所成的角．BC12BC25，tanA1BC1A1C11，CBCC1BC15A则A1BC1＝arctan5．即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arctan5．55法二：由题意，可得z体积VCC1SABC11CC11，CCC1ACBC1B122CC12，A1如图，成立空间直角坐标系．得点B(0，1，0)，C1(0，0，2)，A1(1，0，2)．则A1B(，，2)，CB11y平面BB1C1C的法向量为n(1，0，0)．Ax设直线A1B与平面BB1C1C所成的角为，AB与n的夹角为，1则cosA1Bn6，sin|cos|6,arcsin6，A1Bn666即直线A1B与平面BB1C1C所成角的大小为arcsin6．617、在三角形ABC中，a2,C,cosB25，求三角形ABC的面积S。254【分析】由题意，得cosB3为锐角，sinB4，B，55sinAsin(πBC)sin3π72，B104c10S1acsinB121048．由正弦定理得，72275718、最近几年来，太阳能技术运用的步伐日趋加速，已知2002年全世界太阳能年生产量为670兆瓦，年增加率为34%。在今后的四年里，增加率以每年2%的速度增加（比方2003年的年生产量增加率为36%）（1）求2006年的太阳能年生产量（精准到0.1兆瓦）（2）已知2006年太阳能年安装量为1420兆瓦，在今后的4年里年生产量保持42%的增加共9页第5页率，若2010年的年安装量许多于年生产量的95%，求4年内年安装量的增加率的最小值（精确到0.1%）【分析】（1）由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增加率挨次为36%，38%，40%，42%．则2006年全世界太阳电池的年生产量为6701.361.381.401.422499.8(兆瓦)．1420(1)4（2）设太阳电池的年安装量的均匀增加率为x，则x≥95%．解得x≥0.615．42499.8(142%)所以，这四年中太阳电池的年安装量的均匀增加率最少应达到61.5%．19、已知函数fxx2a0,aR)(xx（1）判断fx的奇偶性（2）若fx在2,是增函数，务实数a的范围【分析】（1）当a0时，f(x)x2，对随意x(，0)(0，)，f(x)(22f(x)，f(x)为偶函数．x)x当a0时，f(x)x2a(a0，x0)，x取x1，得f(1)f(1)20，f(1)f(1)2a0，f(1)f(，1)f(1)f，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（2）解法一：设2≤x1x2，f(x1)f(x2)2a2a(x1x2)x1x2(x1x2)a，x1x1x2x2x1x2要使函数f(x)在x[2，)上为增函数，一定f(x1)f(x2)0恒成立．x1x20，124，即ax1x2(x1x2)恒成立．xx又x1x24，x1x2(x1x2)16．a的取值范围是(，16]．解法二：当a0时，f(x)x2，明显在[2，)为增函数．当a0时，反比率函数a在[2，)为增函数，f(x)x2a在[2，)为增函数．xx当a0时，同解法一．20、如有穷数列a1,a2...an（n是正整数），满足a1an,a2an1....ana1即aiani1（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。（1）已知数列bn是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b12,b411，共9页第6页试写出bn的每一项（2）已知cn是项数为2k1k1的对称数列，且ck,ck1...c2k1构成首项为50，公差为4的等差数列，数列cn的前2k1项和为S2k1，则当k为什么值时，S2k1取到最大值？最大值为多少？（3）关于给定的正整数m1，试写出全部项数不超出2m的对称数列，使得2m11,2,2...2成为数列中的连续项；当m1500时，试求此中一个数列的前2008项和S2008【分析】（1）设bn的公差为d，则b4b13d23d11，解得d3，数列bn为2，5，8，11，8，5，2．（2）S2k1c1c2ck1ckck1c2k12(ckck1c2k1)ck，S2k2250，14(k13)413当k13时，S2k1获得最大值．S2k1的最大值为626．3）全部可能的“对称数列”是：1，2，22，，2m2，2m1，2m2，，22，2，1；1，2，22，，2m2，2m1，2m1，2m2，，22，2，1；2m1，2m2，，22，2，1，，222，，2m2，2m1；2m1，2m2，，22，2，1，1，2，22，，2m2，2m1．关于①，当m≥2008时，S2008122222007220081．当1500m≤2007时，S2008122m22m12m222m2009m1m12m2009mm122m20091．22222关于②，当m≥2008时，S2008220081．当1500时，S2008m12m20081．m≤200722关于③，当m≥2008时，S20082m2m2008．当1500时，S2008m2009m3．m≤200722共9页第7页关于④，当m≥2008时，S20082m2m2008．当1500m≤2007时，S20082m22008m2．222221、已知半椭圆xy1x0与半椭圆yx21x0构成的曲线称为“果圆”，222cabb2220,bc0。如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2此中abc,a和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；（2）若A1AB1B，求b的取值范围；a（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。能否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，获得的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出全部的值；若不存在，说明原由。【分析】（1）F0(c，0)，F10，b2c2，F20，b2c2，yB2F0F2b2c2c2b1，F1F22b2c21，.F2于是c4，a2bc4.23227，所求“果圆”方程为OMA1F0x4x2y21(x≥0)，y24x21(x≤0).A273F1（2）由题意，得ac2b，即a2b22ba．B1(2b)2b2c2a2，a2b2(2ba)2b4，得．a52又b2c2a2b2,b21．a2

2，4．a252222（3）设“果圆”C的方程为xy1(x≥0)，yx1(x≤0)．a2b2b2c2记平行弦的斜率为k．22当k0时，直线yt(b≤t≤b)与半椭圆xy1(x≥0)的交点是a2b2Pt2，与半椭圆y2x