2004年普通高等学校招生全国统一考试理科(天津卷)

2004年一般高等学校招生全国一致考试(天津卷)数学（理工类）本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）参照公式：假如事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)假如事件A、B互相独立，那么P(AB)P(A)P(B)柱体（棱柱、圆柱）的体积公式V柱体Sh此中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．i是虚数单位，(1i)(2i)=（）A．1ii31iC．13i13iB．D．2．不等式x12的解集为（）xA．[1,0)B．[1,)C．(,1]D．(,1](0,)3．若平面向量b与向量a(1,2)的夹角是180，且|b|35，则b（）A．(3,6)B．(3,6)C．(6,3)D．(6,3)4．设P是双曲线x2y21上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1、F2分别是双曲线的左、a29右焦点，若|PF1|3，则|PF2|（）A．1或5B．6C．7D．95．若函数f(x)logax(0a1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a=（）A．2B．2C．1D．142426．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于（）D1C1AB11A．10B．15C．4D．2E5553DC7．若P(2,1)为圆(x1)2y225ABAByFOAB）的弦的中点，则直线的方程是（A．xy30B．2xy30C．xy10D．2xy508．已知数列{an}，那么“对任意的nN*，点Pn(n,an)都在直线y2x1上”是“{an}为等差数列”的（）A．必需而不充分条件B．充分而不用要条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件9．函数y2sin(2x)(x[0,])为增函数的区间是（）6A．[0,3]B．[,7]C．[,5]D．[5,]121236610．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，D1F1C1AA13。分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方AEB111体分成三部分，其体积分别记为V1VAEA1DFD1，DFCV2VEBEAFCFD，V3VBE1BCFC.AEB1111111若V1:V2:V31:4:1，则截面A1EFD1的面积为（）A．410B．83C．413D．1611．函数y3x21（1x0）的反函数是（）A．y1log3x(x1)B．y1log3x(x1)x(13x(13C．y1log3x1)D．y1log3x1)3312．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x[0,]时，52f(x))的值为（）sinx，则f(3A．11C．3D．32B．222第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．某工厂生产A、B、C三种不一样型号的产品，产品数目之比挨次为2:3:5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.14．假如过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线yx22x3没有交点，那么实数a的取值范围是.15．若(12x)2004a0a1xa2x2...a2004x2004(xR)，则(a0a1)(a0a2)(a0a3)...(a0a2004).（用数字作答）16．从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，构成没有重复数字的四位数，此中能被5整除的四位数共有个.（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知tan()1，（1）求tan的值；（2）求sin2cos2的值.421cos218．（本小题满分12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲竞赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数.1）求的分布列；2）求的数学希望；（3）求“所选3人中女生人数1”的概率.19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小.PFEDCAB20．（本小题满分12分）已知函数f(x)ax3bx23x在x1处获得极值.（1）谈论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；（2）过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程.21．（本小题满分12分）已知定义在R上的函数f(x)和数列{an}满足以下条件：a1a,anf(an1)(n2,3,4,...),a2a1，f(an)f(an1)k(anan1)(n2,3,4,...)，此中a为常数，k为非零常数.（1）令bnan1an(nN*)，证明数列{bn}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）当|k|1时，求liman.n22．（本小题满分14分）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）（c0）的准线l与x轴订交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆订交于P、Q两点.1）求椭圆的方程及离心率；2）若OPOQ0，求直线PQ的方程；（3）设APAQ（1），过点P且平行于准线l的直线与椭圆订交于另一点M，证明FMFQ.2004年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）参照解答一、选择题：本题观察基本知识和基本运算.每题5分，满分60分.1—5DAACA6—10BABCC11—12DD二、填空题：本题观察基本知识和基本运算，每题4分，满分16分。13．8014．(,13)4

15．200416．300三、解答题：17．本小题观察两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，观察基本运算能.满分12分.tantan1tan（1）解：tan()41.41tantantan4由tan()1，有1tan1.4121tan2解得tan.3（2）解法一：sin2cos22sincoscos21cos212cos212sincostan1115.2cos2326解法二：由（1），nat1，得sin1cos33∴sin21cos21cos21cos2.99cos29.10于是cos22cos214，5sin22sincos2cos23.35sin2cos2395代入得5101cos24.16518．本小题观察失散型随机变量分布列和数学希望等看法，观察运用概率知识解决实质问题的能力.满分12分.(C2kC43k,0,1,2。（1）解：可能取的值为0，1，2。)PkC63k所以，的分布列为012P131555（2）解：由（1），的数学希望为E0113211555（3）解：由（1），“所选3人中女生人数1”的概率为P(1)P(0)P(41)519．本小题观察直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，观察空间想象能力和推理论证能力.满分12分.方法一：（1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在PAC中，EO是中位线，∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA//平面EDBPFEDCOAB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PDDC∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，DEPC.①相同由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC。而DE平面PDC，∴BCDE.②由①和②推得DE平面PBC.而PB平面PBC，∴DEPB又EFPB且DEEFE，所以PB⊥平面EFD.（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C—PB—D的平面角.由（2）知，DEEF,PDDB.设正方形ABCD的边长为a，则PDDCa,BD2a,PBPD2BD23a，PCPD2DC22aDE1PC2a.22在RtPDB中，DFPDBDa2a6a。PB3a32DEa3在Rt2EFD中，sinEFD，∴EFD.DF6a233所以，二面角C—PB—D的大小为.3D为坐标原点，设DCa.方法二：以以下图建立空间直角坐标系，（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG.依题意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,a,a).22G的坐标为(a,a,0)且∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点22PA(a,0,a),EG(a,0,a).2PA2EG，这表示PA//EG.而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA//平面EDB.zPFEDCyGABx（2）证明；依题意得B(a,a,0)，PB(a,a,a)。又DE(0,a,a)，故PBDE0a2a20.2222PBDE.由已知

EF

PB

，且

EF

DE

E，所以

PB

平面

EFD.（3）解：设点

F的坐标为

(x0,y0,z0)，PF

PB，则(x0,y0,z0a)(a,a,a).从而x0a,y0a,z0(1)a.所以FE(x0,ay0,az0)(a,(1)a,(1)a).2222由条件EFPB知，FEPB0，即a2(1)a2(1)a20，解得1223∴点F的坐标为(a,a,2a)，且333FE(a,a,a)，FD(a,a,2a)366333∴PBFDa2a22a20333即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角.∵FEFDa2a2a2a2，且91896|FE|a2a2a26a，|FD|a2a24a26a，9363669993FEFDa21∴cosEFD6|FE||FD|66.a26a3∴EFD.3所以，二面角C—PB—D的大小为.320．本小题观察函数和函数极值的看法，观察运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分.（1）解：(323fxaxbx，依题意，f(1)f(1)0，即)23a2b30,3a2b30.解得a1,b0.∴f()x33,f()3x233(x1)(x1).xxx令f(x)0，得x1,x1.若x(,1)(1,)，则f(x)0，故f(x)在(,1)上是增函数，f(x)在(1,)上是增函数.若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数.所以，f(1)2是极大值；f(1)2是极小值.（2）解：曲线方程为yx33x，点A(0,16)不在曲线上.设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0x033x0.因f(x0)3(x021)，故切线的方程为yy03(x021)(xx0)注意到点A（0，16）在切线上，有16(x033x0)3(x021)(0x0)化简得x038，解得x02.所以，切点为M(2,2)，切线方程为9xy160.21．本小题主要观察函数、数列、等比数列和极限等看法，观察灵巧应用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分.（1）证明：由b1a2a10，可得b2a3a2f(a2)f(a1)k(a2a1)0.由数学归纳法可证bnan1an0(nN*).由题设条件，当n2时bnan1anf(an)f(an1)k(anan1)kbn1anan1anan1anan1所以，数列{bn}是一个公比为k的等比数列.（2）解：由（1）知，bnkn1b1kn1(a2a1)(nn*)当k1时，b1b2...bn1(a2a1)1kn1(n2)1k当k1时，b1b2...bn1(n1)(a2a1)(n2).而b1b2...bn1(a2a1)(a3a2)...(anan1)ana1(n2)所以，当k1时ana1(a2a1)1kn1(n2).1k上式对n1也建立。所以，数列{an}的通项公式为ana(f(a)a)1kn1(nN*)1k当k1时ana1(n1)(a2a1)(n2).上式对n1也建立，所以，数列{an}的通项公式为ana(n1)(f(a)a)(nN*)，（2）解：当|k|1时limanlim[a(f(a)a)11kn1]af(a)annk1k22．本小题主要观察椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等分析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分14分.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为x2y21(a2).a22a2c22,由已知得a2cc).2(c解得a6,c2所以椭圆的方程为x2y2661，离心率e.23（2）解：由（1）可得A（3，0）.设直线PQ的方程为yk(x3).由方程组x2y262

1,yk(x3)得(321)x2182x27260kkk依题意12(232)0，得66.k3k3设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1x218k227k263k21，①x1x22.②3k1由直线