聚焦发展直观想象素养的教学设计之思-以《直线和圆的位置关系》的教学设计为例

聚焦发展直观想象素养的教学设计之思-以《直线和圆的位置关系》的教学设计为例

摘要：聚焦发展学生核心素养的教育改革，最终要落实在课堂层面，离不开聚焦发展学生核心素养的教学设计.中学阶段，几何的教学应以发展学生直观想象素养为主线，贯穿于整个几何课程、教材和教学之中.以《直线和圆的位置关系》的四个重要教学环节的设计为例，提出在几何概念的教学中，要引导学生经历“利用图形描述数学问题→利用图形理解数学问题→利用图形探索和解决数学问题→构建数学问题直观模型”的过程，循序渐进地达成发展直观想象素养之目的.Keys：直观想象素养教学设计聚焦1问题的提出近年来的课程教育教学改革，从强调落实培养“双基”、落实聚焦“三维目标”到落实发展“核心素养”的教育教学，无疑是课程改革重要任务.发展学生核心素养，最终要落实在课堂层面，离不开聚焦发展学生核心素养的教学设计.《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确了数学学科核心素养为“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”.[1]尽管新版的《义务教育数学课程标准》并没公开，但《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个“核心Keys”，即“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识”就是具有“初中学段特色”的数学核心素养[2].直观想象素养的培养，也是当前新课程改革之后的数学课堂教育教学的重要任务之一.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”[2].《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.”[1]直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.几何是中学数学学科的重要内容之一，几何的教学，应以发展学生直观想象素养为主线，贯穿于整个几何课程、教材和教学之中.以人教版九年级《直线和圆的位置关系》这一课的教学设计为例，我们需要重点思考如下问题：“本课作为常见的一节几何课，是否可以发展学生的直观想象素养？应该如何发展学生的直观想象素养？更为一般地说，我们如何在几何课上发展学生的直观想象素养，充分挖掘几何的育人功能？”.我们在几何概念的教学中，要引导学生经历“利用图形描述数学问题→利用图形理解数学问题→利用图形探索和解决数学问题→构建数学问题直观模型”的过程.我们聚焦这四个重要教学环节的设计，发展学生的直观想象素养.循序渐进地达成发展直观想象素养之目的.2《直线和圆的位置关系》教学设计2.1教学内容分析本节课是在学生已经学习了点和圆的位置关系后，对直线和圆的位置关系进行探索.直线和圆的位置关系是后继研究切线判定定理的基础，也是研究直线和曲线位置关系的基础.直线和圆的位置关系可从两个方面去刻画：一是当直线向圆靠近过程中，通过直线与圆的公共点的个数对直线与圆的位置进行分类；二是将直线与圆的接近程度数量化，即通过圆心到直线的距离与半径的大小关系，对直线与圆的位置关系进行分类，二者之间相互对应，相互联系.直线和圆的位置关系与点和圆的位置关系非常类似，从研究对象上来看，它们研究的都是两个图形的位置关系；从研究方法上来看都是将两个图形进行分类，从数、形两方面进行分析比较；从研究内容来看，都研究位置关系的种类，以及“数”的特性（“两图形间的距离与半径的数量关系”）、“形”的特性（公共点的个数及区域分布）.因此可以类比点和圆的位置关系，研究直线和圆的位置关系.2.2教学环节设计引言设计：回顾前面两次课我们研究了什么？（点和圆的位置关系）；有几种？（三种：点在圆内、圆上和圆外）；遵循什么样的研究路径？（观察图形→分类定义→探究方法→构建模型）；其中最关键的地方是如何探究判断方法？（通过探索圆心到点的距离与圆的半径之间的数量关系进行判断）。这节课，我们将探索作为基本图形的直线和圆具有什么位置关系？你们觉得我们可以如何探索？（类比点和圆的位置关系的探索过程：观察图形→分类定义→探究方法→构建模型），让我们开始探索之旅.环节一：利用图形描述数学问题问题1：太阳升起的过程中，太阳和地平线的几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，请你画画看？会有几种情况，请将几种情况分开画.【设计意图】给学生足够时间，让学生通过对太阳升起的过程的想象，在“把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线”的指导下不断抽象出直线与圆几何图形，并描绘几种位置关系，这是要求学生经历“利用图形描述数学问题”的过程，这应是直观想象的最基本能力。环节二：利用图形理解数学问题问题2：我们请部分同学展示并介绍一下自己所画的图形；然后尝试引导大家观察图形特征，给相应特征图形做一个定义，以示与其它图形的区别？（请3位同学上台展示解说）追问1：观察3位同学展示所画图形，比较它们有没有相同的？然后明确是几种？观察图形的特征，三类图形的最大特征是什么？（直线与圆公共点个数差异）追问2：如何根据观察所得的这三类图形的特征对直线和圆的位置关系做个定义？（直线与圆有下列三种位置关系：直线与圆有两个公共点时，叫直线与圆相交，这两个公共点叫做交点；直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，这条直线叫做切线，这个公共点叫做切点；直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.【设计意图】由操作可知直线与圆有三种位置关系，由观察图形的最大特征区别作出定义的归纳，由两个追问不断升华“从感性认识上升到理性认识”的认知过程，这是要求学生经历“利用图形理解数学问题”的过程，是“数学化”的过程，为探索和解决数学问题铺路.环节三：利用图形探索和解决数学问题问题3：前面我们逐渐明确了直线和圆的位置关系有三种，分别是相交、相切和相离.回顾我们在点和圆的位置关系判断中，最关键的地方是如何探究判断方法？（通过探索圆心到点的距离与圆的半径之间的数量关系进行判断），类比这一探索过程，我们该如何判断直线和圆的位置关系？追问1：定义能不能作为我们判断的方法之一？判断的关键点在哪？（公共点个数）;谁归纳一下判断方法及其结论（直线l与⊙O相交2个公共点；直线l与⊙O相切1个公共点；直线l与⊙O相离没有公共点）追问2：根据定义，直观地从图形中观察公共点个数，判断直线和圆的位置关系，除了这方法之外，还有没有别的方法？（通过找圆心到直线的距离）追问3：为什么找圆心？（圆中只有圆心位置是固定的，最为特殊，更有说服力）；你是否会在图上标识圆心到直线的距离，每个图形都去画垂线段并标识清楚？（要求学生在图上做垂直，标上直角符号）；圆心到直线的距离d与圆的哪个基本要素进行比较？为什么是选半径？归纳一下判断方法及结论：如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r.【设计意图】引导学生类比“点与圆的位置关系”探索方法，通过探索圆心到直线的距离与半径之间的数量关系和直线与圆的位置关系之间的内在联系，归纳几何法.通过设计层层深入的3个追问，帮助学生实现从“形”到“数”的转化过程.反过来，也可从“数”识“形”，用数形结合的思想解决有关问题.这是要求学生经历“利用图形探索和解决数学问题”的过程，不断建构和完善对数学的深刻理解.环节四：构建数学问题直观模型问题4：经过前面的学习，让我们一起归纳直线和圆的位置关系，加深对直线和圆的位置关系直观模型的认识.追问1：相类似的三种情况，你使用什么方式放在一起对比学习呢？追问2：你认为表格的横排和纵列应该包括些什么？列列看？追问3：我绘制了一份这样的表格，大家参考一下，是否全面？如表1所示，表1直线与元的为止关系直线和圆的位置关系相交相切相离定义直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的相交线，这两个点叫做交点.直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离图形判断方法判断公共点个数的方法2个公共点1个公共点没有公共点判断“距离”的方法d<rd=rd>r【设计意图】一方面，引导学生经历列表格整理所学知识的过程，这是类比归纳整理知识的重要学习方法，采用设计表格的方法将直线和圆的位置关系直观模型呈现出来.另一方面，引导学生经历模型的总结、归纳、提炼和固化的数学活动过程，这是经历“构建数学问题直观模型”的重要过程.3发展直观想象素养的教学之思首先，著名的前苏联数学教育家斯托利亚尔认为，数学教学是数学活动的教学，数学活动的设计的重心之一应聚焦于数学活动的教学环节设计，教学环节的设计是高效课堂的重要抓手，如何将教学环节的设计串成关联的一体，使教学系统化和结构化，值得每位数学教师思考。落实发展学生直观想象素养的教学设计应包含具有系统化和结构化特征的环节设计.笔者认为，落实发展学生直观想象素养的课堂教学，应包括如下具有循环特征的四个重要设计环节，如图1所示，图1发展直观想象素养的步骤其次，章建跃博士认为，核心素养统领下，教好数学就是落实数学核心素养.[3]尽管核心素养在国内的提出并不久远，但是落实素养的教学却早已有之.已有的共识，作为课程目标落实“核心素养”之教学，具有阶段性和长期性，需落实到每节课的教学，在单元、模块整体教学及其设计的基础上，认真落实到具体的课时教学，让每节课都能为发展学生数学核心素养这一长远目标“添砖加瓦”.在核心素养统领下，数学教师对每节课的课时教学设计之时，应研读课标，理解数学学科各核心素养的内涵及其内容要求，挖掘教学内容的育人价值，设计发展数学核心素养的关键环节.课堂是提升