《抛物线》模拟试题库市赛获奖

《抛物线》试题库第1组一．复习目标：掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二．知识要点：1．定义：．2．标准方程：．3．几何性质：4．焦点弦长：过抛物线焦点的弦，若，则，，，．5．抛物线的焦点为，是过焦点且倾斜角为的弦，若，则；；．三．课前预习：1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（）圆椭圆双曲线抛物线2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为（）81843．过点的抛物线的标准方程是．焦点在上的抛物线的标准方程是．4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标，当为最大时，则点的坐标．四．例题分析：例1．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．例2．已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，（1）求取值范围；（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值．例3．已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．五．课后作业：1．方程表示的曲线不可能是（）直线抛物线圆双曲线2．以抛物线的焦半径为直径的圆与轴位置关系是（）相交相切相离以上三种均有可能3．抛物线的顶点坐标是，焦点坐标是，准线方程是，离心率是，通径长．4．过定点，作直线与曲线有且仅有1个公共点，则这样的直线共有条．5．设抛物线的过焦点的弦的两个端点为Ａ、Ｂ，它们的坐标为，若，那么．6．抛物线的动弦长为,则弦的中点到轴的最小距离为．7．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，上动点到直线的最短距离为1，求抛物线的方程．8．是抛物线上的两点，且，（1）求两点的横坐标之积和纵坐标之积；（2）求证：直线过定点；（3）求弦中点的轨迹方程；（4）求面积的最小值；（5）在上的射影轨迹方程．第2组二、点击双基1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为（）A.解析：抛物线的准线方程为x=-,由抛物线的定义知4+=5,解得p=2.答案：C2.设a≠0，a∈R，则抛物线y=4ax2的焦点坐标为（）A.(a,0)B.(0,a)C.(0,)D.随a符号而定解析：化为标准方程.答案：C3.以抛物线y2=2px(p＞0)的焦半径｜PF｜为直径的圆与y轴的位置关系为（）A.相交B.相离C.相切D.不确定解析：利用抛物线的定义.答案：C4.以椭圆+=1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A、B两点，则|AB|的值为________________.解析：中心为（0，0），左准线为x=-,所求抛物线方程为y2=x.又椭圆右准线方程为x=，联立解得A（，）、B（，-）.∴|AB|=.答案：5.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_____________________.（要求填写合适条件的序号）解析：由抛物线方程y2=10x可知②⑤满足条件.答案：②⑤诱思·实例点拨【例1】求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点(-3,2);(2)焦点在直线x-2y-4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实际分析，一般需确定p和开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p＞0),∵过点(-3,2),∴4=-2p(-3)或9=2p·2.∴p=或p=.∴所求的抛物线方程为y2=-x或x2=y,前者的准线方程是x=,后者的准线方程是y=-.(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2).当焦点为(4,0)时，=4,∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;焦点为(0,-2)时，=2,∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y.∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,对应的准线方程分别是x=-4,y=2.讲评：本题考查抛物线的标准方程，易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】如图所示,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|NB|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分,求曲线方程需建立适当的直角坐标系,设出抛物线方程,由条件求出待定系数即可,求出曲线方程后要标注x、y的取值范围.解：以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段.其中A、B分别为曲线段C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px(p>0)(xa≤x≤xb,y>0),其中xa、xb为A、B的横坐标,p=|MN|,所以M(-,0)、N(,0).由|AM|=,|AN|=3,得(xa+)2+2pxa=17,①(xa-)2+2pxa=9.②①②联立,解得xa=,代入①式,并由p>0,解得或因为△AMN为锐角三角形,所以>xA.故舍去所以由点B在曲线段C上,得xb=|BN|-=4.综上,曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0).讲评：本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】已知定点F(1,0)，动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且·=0,||=||.(1)求动点N的轨迹方程；(2)直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若·=-4,且4≤||≤4，求直线l的斜率k的取值范围.解：(1)设N(x,y)，由条件易知P(0,),M(-x,0).代入||=||，化简得y2=4x(x>0),即为点N的轨迹方程.(2)设l与y2=4x(x>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.当l与x轴垂直时，|AB|=42<46不合题意.故可设l的方程为y=kx+b(k≠0).由·=-4，得x1x2+y1y2=-4.①由点A、B在抛物线y2=4x(x>0)上，得(y1y2)2=16x1x2.②由①②得y1y2=-8.又由ky2-4y+4b=0.所以||2=(1+)(y2-y1)2=(1+)［(y1+y2)2-4y1y2］=(1+)(+32).因为4≤||≤4,所以96≤(1+)(+32)≤480.解得≤|k|≤1.故直线l的斜率k的取值范围是k∈［-1,-］∪［,1］.第3组一、选择题1．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB的大小()A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能确定[答案]C[解析]过抛物线焦点且垂直于x轴的弦AB为通径，其长度为2p，又顶点到通径的距离为eq\f(p,2)，由三角函数知识可知，∠AOB大于90°.2．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1，2)，则它的方程是()A．y＝2x2或y2＝－4x B．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－eq\f(1,2)y D．y2＝－4x[答案]A[解析]∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．∴(－1)2＝2p·2，∴p＝eq\f(1,4).∴抛物线的方程为x2＝eq\f(1,2)y.[点评]将点(－1,2)的坐标代入检验，易知选A．3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2 B．4C．8 D．16[答案]B[解析]根据题意可知，P点到准线的距离为8＋p＝10，可得p＝2，所以焦点到准线的距离为2p＝4，选B．4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A．eq\f(1,2) B．1C．2 D．4[答案]C[解析]本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－eq\f(p,2)，由题意知，3＋eq\f(p,2)＝4，p＝2.5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A．eq\f(3,4) B．1C．eq\f(5,4) D．eq\f(7,4)[答案]C[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＋|BF|＝3得，x1＋x2＋eq\f(1,2)＝3，∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴线段AB的中点到y轴的距离为eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(5,4).6．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，则p＝()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．3[答案]C[解析]本题考查了双曲线、抛物线的几何性质与三角形面积．∵eq\f(c,a)＝2，∴b2＝3a2，双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，不妨设A(－eq\f(p,2)，eq\f(\r(3)p,2))，B(－eq\f(p,2)，－eq\f(\r(3)p,2))，则AB＝eq\r(3)p，又三角形的高为eq\f(p,2)，则S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\f(p,2)×eq\r(3)p＝eq\r(3)，即p2＝4，又p>0，∴p＝2.二、填空题7．若点(a，b)是抛物线x2＝2py(p>0)上的一点，则下列点中一定在抛物线上的是________.①(a，－b)；②(－a，b)，③(－a，－b)[答案]②[解析]抛物线x2＝2py关于y轴对称，∴点(a，b)关于y轴的对称点(－a，b)一定在抛物线上．8．若抛物线y2＝－2px(p>0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________.[答案](－9，－6)或(－9,6)[解析]由抛物线方程y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，准线方程为x＝eq\f(p,2)，设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，∴p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)代入抛物线方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．9．(2022·长春市调研)已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，设|FA|>|FB|，则eq\f(|FA|,|FB|)＝________.[答案]3＋2eq\r(2)[解析]抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，过F斜率为1的直线方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x，))消去y得x2－6x＋1＝0，求得x1＝3＋2eq\r(2)，x2＝3－2eq\r(2)，故由抛物线的定义可得eq\f(|FA|,|FB|)＝eq\f(x1＋1,x2＋1)＝3＋2eq\r(2).三、解答题10．一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？[解析]如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－，设B(2，y)，由262＝－2p×(－得p＝52，∴抛物线方程为x2＝－104y.当x＝2时，4＝－104y，y＝－eq\f(1,26)，∵－eq\f(1,26)>6，∴能安全通过．第4组一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝()A．2或－2 B．－1C．2 D．3[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x,y＝kx－2))，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，则eq\f(4k＋2,k2)＝4，即k＝2.2．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,8)C．eq\f(16,3) D．eq\f(8,3)[答案]A[解析]由条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m＋n),\r(m))＝2,\r(m＋n)＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4),n＝\f(3,4))).∴mn＝eq\f(3,16)，故选A．3．等腰Rt△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2[答案]B[解析]设点A在x轴的上方，则由抛物线的对称性及OA⊥OB知，直线OA的方程为y＝x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得A(2p,2p)．则B(2p，－2p)，所以AB＝4p.所以S△ABO＝eq\f(1,2)·4p·2p＝4p2.4.过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的值是()A．12 B．－12C．3 D．－3[答案]D[解析]设A(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，B(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，则eq\o(OA,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\f(y\o\al(2,1),4)，y1)·(eq\f(y\o\al(2,2),4)，y2)＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),16)＋y1y2，又∵AB过焦点，则有y1y2＝－p2＝－4，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(y1y22,16)＋y1y2＝eq\f(－42,16)－4＝－3，故选D．二、填空题5．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.[答案]a≥1[解析]本题考查了直角三角形的性质．抛物线的范围以及恒成立问题，不妨设A(eq\r(a)，a)，B(－eq\r(a)，a)，C(x0，xeq\o\al(2,0))，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))，∵∠ACB＝90°.∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))·(－eq\r(a)－x0，a－xeq\o\al(2,0))＝0.∴xeq\o\al(2,0)－a＋(a－xeq\o\al(2,0))2＝0，则xeq\o\al(2,0)－a≠0.∴(a－xeq\o\al(2,0))(a－xeq\o\al(2,0)－1)＝0，∴a－xeq\o\al(2,0)－1＝0.∴xeq\o\al(2,0)＝a－1，又xeq\o\al(2,0)≥0.∴a≥1.6．P为抛物线y＝x2上一动点，直线l：y＝x－1，则点P到直线l距离的最小值为________.[答案]eq\f(3\r(2),8)[解析]设P(x0，xeq\o\al(2,0))为抛物线上的点，则P到直线y＝x－1的距离d＝eq\f(|x0－x\o\al(2,0)－1|,\r(2))＝eq\f(|x\o\al(2,0)－x0＋1|,\r(2))＝eq\f(x0－\f(1,2)2＋\f(3,4),\r(2)).∴当x0＝eq\f(1,2)时，dmin＝eq\f(3\r(2),8).三、解答题7．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，求|BF|的长．[解析]设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|AF|＝3及抛物线定义可得，x1＋1＝3，∴x1＝2，∴A点坐标为(2,2eq\r(2))，则直线AB的斜率为k＝eq\f(2\r(2)－0,2－1)＝2eq\r(2).∴直线AB的方程为y＝2eq\r(2)(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2\r(2)x－1，))消去y得，2x2－5x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝eq\f(1,2).∴|BF|＝x2＋1＝eq\f(3,2).8．已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB长度的最小值．[解析]由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴点A的坐标为(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y整理得，k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.∵直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1、x2，∴x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，∴|AB|≥4，即线段AB长度的最小值为4.第5组一、选择题1．若A是定直线l外一定点，则过点A且与直线l相切的圆的圆心轨迹为()A．直线 B．椭圆C．线段 D．抛物线[答案]D[解析]因为圆过点A，所以圆心到A的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A是定直线l外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．2．如果抛物线y2＝2px的准线是直线x＝－2，那么它的焦点坐标为()A．(1,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(－1,0)[答案]B[解析]因为准线方程为x＝－2＝－eq\f(p,2)，所以焦点为(eq\f(p,2)，0)，即(2,0)．3．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(9,4)x B．x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,4)x或x2＝－eq\f(4,3)y D．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y[答案]D[解析]∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p＝eq\f(9,4)，p′＝eq\f(2,3)，∴抛物线方程为y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)y.4．抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A．0 B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．eq\f(17,16)[答案]A[解析]设M(x0，y0)，则x0＋1＝1，∴x0＝0，∴y0＝0.5．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12xC．x2＝12y D．x2＝－12y[答案]C[解析]由题意，知动圆圆心到点F(0,3)的距离等于到定直线y＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线．6．(2022·云南景洪市一中期末)从抛物线y2＝4x图象上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为()A．10 B．8C．6 D．4[答案]A[解析]设P(x0，y0)，∵|PM|＝5，∴x0＝4，∴y0＝±4，∴S△MPF＝eq\f(1,2)|PM|·|y0|＝10.二、填空题7．若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为________.[答案]2x＝－1[解析]本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程.由eq\f(p,2)＝1知p＝2，则准线方程为x＝－eq\f(p,2)＝－1.8．以双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________.[答案]y2＝－20x[解析]∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，又p＝10，∴y2＝－20x.9.如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B点到该抛物线准线的距离为________.[答案]eq\f(3,4)eq\r(2)[解析]由已知得B点的纵坐标为1，横坐标为eq\f(p,4)，即B(eq\f(p,4)，1)，将其代入y2＝2px得1＝2p×eq\f(p,4)，解得p＝eq\r(2)，则B点到准线的距离为eq\f(p,2)＋eq\f(p,4)＝eq\f(3,4)p＝eq\f(3,4)eq\r(2).三、解答题10.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F任作一条直线，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．[证明]设线段P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q∴|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q∵P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，∴|P0Q0|＝eq\f(1,2)(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝eq\f(1,2)|P1P2|.由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．第6组一、选择题1．(2022·西安质检)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为eq\r(2)，且右焦点与抛物线y2＝4eq\r(3)x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)[答案]B[解析]∵抛物线y2＝4eq\r(3)x的焦点(eq\r(3)，0)为双曲线的右焦点，∴c＝eq\r(3)，又eq\f(b,a)＝eq\r(2)，结合a2＋b2＝c2，得a＝1，∴e＝eq\r(3)，故选B．2．抛物线y2＝8x的焦点到直线x－eq\r(3)y＝0的距离是()A．2eq\r(3) B．2C．eq\r(3) D．1[答案]D[解析]本题考查了抛物线y2＝2px的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y2＝8x可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|2－\r(3)×0|,\r(12＋\r(3)2))＝1.3．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2 B．2C．－4 D．4[答案]D[解析]抛物线的焦点为F(eq\f(p,2)，0)，椭圆中c2＝6－2＝4，∴c＝2，其右焦点为(2,0)，∴eq\f(p,2)＝2，∴p＝4.4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4eq\r(2)x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4eq\r(2)，则△POF的面积为()A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4[答案]C[解析]设P(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，x0＝3eq\r(2)代入抛物线的方程，得|y0|＝2eq\r(6)，S△POF＝eq\f(1,2)|y0|·|OF|＝2eq\r(3)，选A，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．二、填空题5．点M(5,3)到抛物线x2＝ay(a>0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是________.[答案]x2＝12y[解析]抛物线x2＝ay的准线方程为y＝－eq\f(a,4)，由题意得3－(－eq\f(a,4))＝6，∴a＝12，∴x2＝12y.6．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是________.[答案]y2＝16x[解析]依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x.三、解答题7．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离是5.求抛物线方程和m的值．[解析]解法一：∵抛物线焦点在x轴上，且过点M(－3，m)，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点坐标F(－eq\f(p,2)，0)，由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p,m2＋3－\f(p,2)2＝5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4,m＝2\r(6)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4,m＝－2\r(6))).∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).解法二：设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点坐标F(－eq\f(p,2)，0)，准线方程x＝eq\f(p,2).由抛物线定义知，点M到焦点的距离等于5，即点M到准线的距离等于5，则3＋eq\f(p,2)＝5，∴p＝4，∴抛物线方程为y2＝－8x.又点M(－3，m)在抛物线上，∴m2＝24，∴m＝±2eq\r(6)，∴所求抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).8.一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值．[解析]以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则B点的坐标为(eq\f(a,2)，－eq\f(a,4))，如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2＝my，则(eq\f(a,2))2＝m·(－eq\f(a,4))，∴m＝－a，即抛物线方程为x2＝－ay.将，y)代入抛物线方程，得＝－ay，即y＝－eq\f,a).欲使卡车通过隧道，应有y－(－eq\f(a,4))>3，即eq\f(a,4)－eq\f,a)>3，由于a>0，得上述不等式的解为a>，∴a应取13.第7组一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是()A．x2＝－eq\f(9,2)y或y2＝eq\f(4,3)xB．y2＝－eq\f(9,2)x或x2＝eq\f(4,3)yC．y2＝－eq\f(9,2)xD．x2＝eq\f(4,3)y2．若抛物线y2＝2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是()A．成等差数列B．既成等差数列又成等比数列C．成等比数列D．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()\f(\r(17),2)B．3C.eq\r(5)\f(9,2)4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为()A．1B．2C．36．过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于()A．2a\f(1,2a)C．4a\f(4,a)题号123456答案二、填空题7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．9．过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则eq\f(|AF|,|FB|)＝________.三、解答题10．设抛物线y＝mx2(m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|等于()A．4eq\r(3)B．8C．8eq\r(3)D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．第8组作业设计1．B[由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]2．A[设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，yeq\o\al(2,3)＝2px3，因为2yeq\o\al(2,2)＝yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,3)，所以x1＋x3＝2x2，即|P1F|－eq\f(p,2)＋|P3F|－eq\f(p,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|P2F|－\f(p,2)))，所以|P1F|＋|P3F|＝2|P3．A[如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－eq\f(1,2)的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))的距离，则距离之和的最小值为eq\r(4＋\f(1,4))＝eq\f(\r(17),2).]4．B[y2＝ax的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，令x＝0得y＝－eq\f(a,2).∴eq\f(1,2)×eq\f(|a|,4)×eq\f(|a|,2)＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]5．C[∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]6．D[可采用特殊值法，设PQ过焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋eq\f(a,4)＝eq\f(a,4)＋eq\f(a,4)＝eq\f(a,2)，|QF|＝q＝eq\f(a,2)，∴eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝eq\f(2,a)＋eq\f(2,a)＝eq\f(4,a).]7．y2＝4x解析设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，得x＝0或x＝a，∴eq\f(a,2)＝2.∴a＝4.∴抛物线方程为y2＝4x.8．2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2.∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵x1≠x2，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝1.∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4eq\r(2).又F(1,0)到y＝x的距离为eq\f(\r(2),2)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×4eq\r(2)＝2.\f(1,3)解析抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，则直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2py，,y＝\f(\r(3),3)x＋\f(p,2)，))消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，解得y1＝eq\f(p,6)，y2＝eq\f(3p,2).由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知eq\f(|AF|,|FB|)＝eq\f(y1＋\f(p,2),y2＋\f(p,2))＝eq\f(\f(p,6)＋\f(p,2),\f(3p,2)＋\f(p,2))＝eq\f(1,3).10．解由y＝mx2(m≠0)可化为x2＝eq\f(1,m)y，其准线方程为y＝－eq\f(1,4m).由题意知－eq\f(1,4m)＝－2或－eq\f(1,4m)＝4，解得m＝eq\f(1,8)或m＝－eq\f(1,16).则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.11．解方法一设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有yeq\o\al(2,1)＝8x1，①yeq\o\al(2,2)＝8x2，②∵Q(4,1)是AB的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y1＋y2＝eq\f(8,k)，又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.12.B[如图所示，直线AF的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4eq\r(3))．设P(x0,4eq\r(3))，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]13．解由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，从而x1＝4－1＝3.代入y2＝4x，解得y1＝±2eq\r(3).∴点A的坐标为(3,2eq\r(3))或(3，－2eq\r(3))．(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)．与抛物线方程联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1,y2＝4x))，消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，因为直线与抛物线相交于A、B两点，则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2).由抛物线的定义可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋eq\f(4,k2)>4.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.第9组一、选择题1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是()\f(|a|,4)\f(|a|,2)C．|a|D．－eq\f(a,2)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1上，则抛物线方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x3．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>eq\f(p,2))，则点M的横坐标是()A．a＋eq\f(p,2)B．a－eq\f(p,2)C．a＋pD．a－p4．过点M(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线l有()A．0条B．1条C．2条D．3条5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－26．设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(eq\r(3)，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比eq\f(S△BCF,S△ACF)等于()\f(4,5)\f(2,3)\f(4,7)\f(1,2)题号123456答案二、填空题7．抛物线x2＋12y＝0的准线方程是__________．8．若动点P在y＝2x2＋1上，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________．9．已知抛物线x2＝y＋1上一定点A(－1,0)和两动点P，Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是______________．三、解答题10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程．11．求焦点在x轴上且截直线2x－y＋1＝0所得弦长为eq\r(15)的抛物线的标准方程．能力提升12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()\f(1,2)B．1C．2D．413．已知抛物线y2＝2px(p>0)上的一点M到定点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．第10组抛物线作业设计1．B[因为y2＝ax，所以p＝eq\f(|a|,2)，即该抛物线的焦点到其准线的距离为eq\f(|a|,2)，故选B.]2．D[由题意知抛物线的焦点为双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的顶点，即为(－2,0)或(2,0)，所以抛物线的方程为y2＝8x或y2＝－8x.]3．B[由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x＝－eq\f(p,2)的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a－eq\f(p,2).]4．C[容易发现点M(2,4)在抛物线y2＝8x上，这样l过M点且与x轴平行时，或者l在M点处与抛物线相切时，l与抛物线有一个公共点，故选C.]5．B[∵y2＝2px的焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.]6．A[如图所示，设过点M(eq\r(3)，0)的直线方程为y＝k(x－eq\r(3))，代入y2＝2x并整理，得k2x2－(2eq\r(3)k2＋2)x＋3k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(2\r(3)k2＋2,k2).因为|BF|＝2，所以|BB′|＝2.不妨设x2＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)是方程的一个根，可得k2＝eq\f(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\r(3)))2)，所以x1＝2.eq\f(S△BCF,S△ACF)＝eq\f(\f(1,2)|BC|·d,\f(1,2)|AC|·d)＝eq\f(|BC|,|AC|)＝eq\f(|BB′|,|AA′|)＝eq\f(2,2＋\f(1,2))＝eq\f(4,5).]7．y＝3解析抛物线x2＋12y＝0，即x2＝－12y，故其准线方程是y＝3.8．y＝4x29．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析由题意知，设P(x1，xeq\o\al(2,1)－1)，Q(x2，xeq\o\al(2,2)－1)，即(－1－x1,1－xeq\o\al(2,1))·(x2－x1，xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝0，也就是(－1－x1)·(x2－x1)＋(1－xeq\o\al(2,1))·(xeq\o\al(2,2)－xeq\o\al(2,1))＝0.∵x1≠x2，且x1≠－1，∴上式化简得x2＝eq\f(1,1－x1)－x1＝eq\f(1,1－x1)＋(1－x1)－1，由基本不等式可得x2≥1或x2≤－3.10．解设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝6p，,\r(m2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))2)＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝2\r(6)，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝4，,m＝－2\r(6).))故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±2eq\r(6).抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2.11．解设所求抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．①直线方程变形为y＝2x＋1，②设抛物线截直线所得弦为AB.②代入①，整理得4x2＋(4－a)x＋1＝0，则|AB|＝eq\r(1＋22\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－4,4)))2－4×\f(1,4))))＝eq\r(15).解得a＝12或a＝－4.∴所求抛物线方程为y2＝12x或y2＝－4x.12．C[本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系．方法一由抛物线的标准方程得准线方程为x＝－eq\f(p,2).∵准线与圆相切，圆的方程为(x－3)2＋y2＝16，∴3＋eq\f(p,2)＝4，∴p＝2.方法二作图可知，抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切于点(－1,0)，所以－eq\f(p,2)＝－1，p＝2.]13．解(1)当点A在抛物线内部时，如图，42<2p·eq\f(7,2)，即p>eq\f(16,7)时，|MF|＋|MA|＝|MA′|＋|MA|.当A，M，A′共线时，(|MF|＋|MA|)min＝5，故eq\f(p,2)＋eq\f(7,2)＝5，∴p＝3满足p>eq\f(16,7)，∴抛物线方程为y2＝6x.(2)当点A在抛物线外部或在抛物线上时42≥2p·eq\f(7,2)，即0<p≤eq\f(16,7)时，连结AF交抛物线于M，此时(|MA|＋|MF|)最小，即|AF|＝5.即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)－\f(p,2)))2＋42)＝5，∴p＝1或p＝13(舍)．∴抛物线方程为y2＝2x.综上抛物线方程为y2＝6x或y2＝2x.第11组基础自测1．若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()\f(17,16)\f(15,16)\f(7,8)D．0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－eq\f(1,16)，设M(x，y)，则y＋eq\f(1,16)＝1，∴y＝eq\f(15,16).【答案】B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x【解析】因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以eq\f(p,2)＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.【答案】B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4 B．－2C．4或－4 D．12或－2【解析】设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，由题意知eq\f(p,2)＋2＝4，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y，∴m2＝16，∴m＝±4.【答案】C4．双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3＋\f(p2,16))，0))，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，∴－eq\r(3＋\f(p2,16))＝－eq\f(p,2)，∴p2＝16，又p＞0，则p＝4.【答案】45．(2022·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是()\f(1,2)\f(\r(3),2)C．1\r(3)【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x－y＝0或eq\r(3)x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝eq\f(|\r(3)×1－0|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(\r(3),2)或d2＝eq\f(|\r(3)×1＋0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2).【答案】B6．(2022·北京高考)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________．【解析】∵抛物线y2＝2px的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，∴准线方程为x＝－eq\f(p,2).又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p＝2，准线方程为x＝－1.【答案】2x＝－1考点一抛物线的定义及标准方程例(1)设圆C与圆C′：x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为()A．抛物线 B．双曲线C．椭圆 D．圆（2）(2022·山东高考)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y解析：(1)设圆C的半径为r，又圆x2＋(y－3)2＝1的圆心C′(0,3)，半径为1.依题意|CC′|＝r＋1，圆心C到直线y＝0的距离为r，∴|CC′|等于圆心C到直线y＝－1的距离(r＋1)．故圆C的圆心轨迹是抛物线．(2)∵双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，∴b＝eq\r(3)a，∴双曲线的渐近线方程为eq\r(3)x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到双曲线的渐近线的距离为eq\f(|\r(3)×0±\f(p,2)|,2)＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.方法技巧若Px0，y0为抛物线y2＝2pxp＞0上一点，由定义易得|PF|＝x0＋eq\f(p,2)；若过焦点的弦AB的端点坐标为Ax1，y1，Bx2，y2，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x【解析】由抛物线方程知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴直线l为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，与y轴交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2))).∴S△OAF＝eq\f(1,2)|OA|·|OF|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))＝eq\f(a2,16)＝4.∴a＝±8，∴抛物线方程为y2＝±8x.【答案】B考点二抛物线的几何性质例已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48解析：设抛物线方程为y2＝2px，当x＝eq\f(p,2)时，y2＝p2，∴|y|＝p，∴p＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(12,2)＝6，又点P到AB的距离始终为6，∴S△ABP＝eq\f(1,2)×12×6＝36.跟踪练习（2022辽宁）已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()\f(3,4) B．1\f(5,4) \f(7,4)解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C考点三直线与抛物线位置关系例(2022·陕西高考)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．【思路点拨】(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．图①【尝试解答】(1)如图①，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝eq\r(x2＋42)又|O1A|＝eq\r(x－42＋y2)，∴eq\r(x－42＋y2)＝eq\r(x2＋42).化简得，y2＝8x(x≠0)．当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.图②(2)证明：如图②，由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝eq\f(8－2bk,k2)，①x1x2＝eq\f(b2,k2).②∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴eq\f(y1,x1＋1)＝－eq\f(y2,x2＋1)，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①②代入③并整理得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ>0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)．,规律方法3解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，直线方程为Ax＋By＋C＝0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2＋ny＋q＝0.m≠0Δ＞0直线与抛物线有两个公共点Δ＝0直线与抛物线只有一个公共点Δ＜0直线与抛物线没有公共点m＝0直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于eq\f(\r(5),5)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解】(1)将A(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－2x＋t，,y2＝4x，))得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－eq\f(1,2).另一方面，由直线OA与l的距离d＝eq\f(\r(5),5)可得eq\f(|t|,\r(5))＝eq\f(1,\r(5))，解得t＝±1.因为－1∉eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，1∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.第12组1．[2022·安徽卷]抛物线y＝eq\f(1,4)x2的准线方程是()A．y＝－1B．y＝－2C．x＝－1D．x＝－2答案：A[解析]因为抛物线y＝eq\f(1,4)x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.2．[2022·全国新课标卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝eq\f(5,4)x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8答案：A[解析]由抛物线方程y2＝x，知p＝eq\f(1,2)，又因为|AF|＝x0＋eq\f(p,2)＝x0＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)x0，所以得x0＝1.3．[2022·辽宁卷]已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－eq\f(4,3)B．－1C．－eq\f(3,4)D．－eq\f(1,2)答案：C[解析]因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－eq\f(p,2)，且点A(－2，3)在准线上，故eq\f(－p,2)＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).4．[2022·湖南卷]平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]依题意可知机器人运行的轨迹方程为y2＝4x.设直线l：y＝k(x＋1)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,y2＝4x，))消去y得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由Δ＝(2k2－4)2－4k4＜0，得k2＞1，解得k＜－1或k＞1.5．[2022·新课标全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝()\f(\r(30),3)B．6C．12D．7eq\r(3)答案：C[解析]抛物线的焦点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，直线AB的斜率k＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，所以直线AB的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)x－\f(\r(3),4)，,y2＝3x))得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0，故x1＋x2＝eq\f(21,2)，x1x2＝eq\f(9,16).所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,3))·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,2)))\s\up12(2)－4×\f(9,16))＝12.6．[2022·株洲模拟]已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x依次交于A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|等于()A．10B．12C．14D．16答案C[解析]由题可知直线y＝x－2过圆心(2，0)，抛物线的焦点为(2，0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y2＝8x，))得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AD|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)＝eq\r(2（x1＋x2）2－8x1x2)＝eq\r(2×122－8×4)＝16，故|AB|＋|CD|＝|AD|－2＝14.7．(2022·山东高考)抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)的焦点与双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()\f(\r(3),16) \f(\r(3),8)\f(2\r(3),3) \f(4\r(3),3)【解析】作出草图，数形结合，建立方程求解．∵双曲线C2：eq\f(x2,3)－y2＝1，∴右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x.抛物线C1：y＝eq\f(1,2p)x2(p＞0)，焦点为F′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2))).设M(x0，y0)，则y0＝eq\f(1,2p)xeq\o\al(2,0).∵kMF′＝kFF′，∴eq\f(\f(1,2p)x\o\al(2,0)－\f(p,2),x0)＝eq\f(\f(p,2),－2).①又∵y′＝eq\f(1,p)x，∴y′|x＝x0＝eq\f(1,p)x0＝eq\f(\r(3),3).②由①②得p＝eq\f(4\r(3),3).【答案】D8．(2022·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．【解析】因为y＝eq\f(1,2)x2，所以y′＝x，易知P(4,8)，Q(－2,2)，所以在P、Q两点处切线的斜率的值为4或－2.所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.【答案】－4备选9．[2022·四川卷]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.eq\f(17\r(2),8)\r(10)答案：B[解析]由题意可知，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0)).设A(yeq\o\al(2,1)，y1)，B(yeq\