激光原理第四章-华中科技大学课件资料

激光原理第四章-华中科技大学课件4.1.2光场与物质相互作用的精典理论1、光与物质相互作用的经典理论经典理论中的四个基本假设：a、原子核和核外运动电子所构成的原子简化为一个经典简谐振子；b、原子中的电子与原子核构成一个电偶极子；c、忽略电磁场中磁场分量的影响；d、被极化的介质会对入射光场产生反作用，影响其频率、振幅和相位等，只考虑线性极化效应；4.1.2光场与物质相互作用的精典理论2、原子的自发电偶极辐射A、简谐振子模型 简谐振子模型就是用经典力学中的简谐振动来描述原子内部电子运动的模型。 该模型认为原子中的电子被与位移成正比的弹性恢复力束缚在某一平衡位置(x=0)附近振动，若偏移位置为x，则其会受到一个f=-kx的恢复力。4.1.2光场与物质相互作用的精典理论假设没有其它力作用在电子上，则电子运动方程为：k为简谐振子的弹性系数，m为电子质量，这个齐次二阶常系数微分方程为一维线性谐振子方程。其解为简单的无阻尼振荡：其中为谐振频率4.1.2光场与物质相互作用的精典理论B、原子经典简谐振子模型运动电荷能够激发电磁场，另一方面电磁场对电荷有反作用力，要完全求解电荷与电磁场系统的电动力学问题，需要对两者同时考虑。当电子在电磁场中运动时，会辐射电磁场，其一部分能量被电磁场带走，因而电子的运动必然受到阻尼，这种由辐射电磁场造成的能量损失被称为辐射阻尼。当考虑自发辐射辐射阻尼时，电子的运动方程表示为：FS为电子辐射出的电磁场对其自身的反作用力。4.1.2光场与物质相互作用的精典理论电动力学中给出的结论，自发辐射的总功率为： 其中v’为电子运动加速度；电子在单位时间内损失的能量等于辐射对电子的反作用力（即自发辐射阻尼力）在单位时间内作的负功：在t1-t2时间间隔内的辐射损失为：当取t2-t1为一个振荡周期时，上式右边为零，则可以得到：4.1.2光场与物质相互作用的精典理论当存在辐射阻尼时，电子的运动方程改写为：由于阻尼力远小于恢复力，因此仍然可以用简谐振动解来描述该运动：其中γ为经典辐射阻尼系数：可以求出方程的解为：4.1.2光场与物质相互作用的精典理论此时电偶极矩为：谐振子的电磁辐射对应于自发辐射；可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为：则自发辐射的电场强度可以表示为：4.2谱线加宽与线型函数4.2谱线加宽与线型函数光谱线的频率分布前面讨论原子自发辐射时，认为原子的能级是无限窄的，此时的自发辐射光是单色光，即全部的光强都集中在频率ν=(E2-E1)/h上；实际上原子的自发辐射并 不是单色光，而是分布在 中心频率ν附近的一个很 小频率范围内-这就是谱线 加宽。4.2谱线加宽与线型函数原子自发辐射的总功率为：引入谱线的线型函数g(ν,ν0)：其量纲为sec，其中的ν0是线型函数的中心频率；根据线型函数的定义：得出结论：线型函数是归一化的；当ν=ν0时线型函数有最大值g(ν0,ν0)，如果在 处其值下降到最大值的一半，则把此时的称为谱线宽度。4.2.1均匀加宽1、自然加宽现象：自发辐射谱线具有一定的宽度ΔνH。成因：由于每个原子所固有的自发辐射跃迁引起原子在能级上的有限寿命而造成的。量子解释：由测不准原理——不可能同时测准微观粒子的时间和能量：；由此可知，当原子能级寿命→∞时，能级的宽度→0，原子的有限寿命会引起能级的展宽，从而使得发出的光子的频率不再是单一频率，而是有一定的频率间隔Δν。4.2.1均匀加宽由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式：其辐射光功率：为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到∞的范围，才会有光辐射产生，则：4.2.1均匀加宽则功率随频率的变化：根据线型函数的定义：4.2.1均匀加宽洛仑兹线型由洛仑兹在研究电子谐振时最先得到的受迫振动的运动微分方程的解，其形式如下：如果将其视为概率密度函数，则它在统计学中被称为柯西分布。HendrikAntoonLorentz

AugustinLouisCauchy

4.2.1均匀加宽前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上能级粒子数变化满足公式：其中τ=1/A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐射功率为：由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：比较两式得到τ=1/γ。4.2.1均匀加宽自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；当ν=ν0时，线型函数有最大值当ν=ν’时，此时可以解出：4.2.1均匀加宽自然加宽线型函数的线宽：这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命决定，则用自然加宽的线宽表示的线型函数为：4.2.1均匀加宽2、碰撞加宽加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞；气体：气体分子或原子作无规则热运动，当两原子或分子相遇而处于足够接近的位置，其间的相互作用会使其改变原来的运动状态。晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子晶格热驰豫无辐射跃迁或者晶格热运动，使运动状态发生改变。4.2.1均匀加宽碰撞指的是激发态的原子之间、激发态与基态原子之间相互作用而改变原来的运动状态；激发态原子与基态原子碰撞时，激发态原子跃迁到基态，而基态原子会跃迁到激发态，这种过程称为横向驰豫，会导致高能级粒子寿命缩短；激发态原子与其它原子之间碰撞时，会使激发态自发辐射波列的相位发生突变，从而使波列时间缩短，等效于原子寿命缩短；4.2.1均匀加宽由于碰撞的随机性，原子激发态上的有限寿命只能用统计的方法来研究，它等价于发生碰撞的平均时间间隔；由于任何原子都是以相同的机率发生碰撞，因此由碰撞引发的高能级原子寿命减少与自然加宽中的机制是相同的，可以将碰撞加宽与自然加宽相类比；4.2.1均匀加宽碰撞加宽的线型函数为：其中的τL为碰撞加宽线型函数的线宽，等于单位时间内碰撞次数的倒数，因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。如果存在a、b两种气体，则：其中Nb为单位体积内b类原子数；σab为a、b原子的碰撞截面；ma与mb为两种原子的质量；4.2.1均匀加宽当只有一种原子时，其碰撞寿命为：气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成，则其碰撞寿命为：线宽的计算，通常采用经验公式：其中P为气体压强；α为实验测得的系数；4.2.1均匀加宽3、均匀加宽均匀加宽具有以下的特点：引起加宽的因素对每个原子都相同；每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡献，每个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的；均匀加宽的线型函数：4.2.1均匀加宽对于一般气体：对于低压气体：在固体中，原子-晶格热驰豫过程产生的无辐射跃迁会导致高能级原子寿命缩短，若激发态自发辐射寿命为τS，无辐射跃迁寿命为τnr，则激发态的寿命τ：这一有限寿命会导致谱线均匀加宽，也可以用洛伦兹线型函数描述。4.2.2非均匀加宽1、多普勒效应一个发光原子的发射谱线中心频率为ν0，当原子相对于接收器静止时，接收器测到的光波频率为ν0；当原子相对于接收器以Vz速度运动时，接收到的光波频率为：当Vz<<c，对上式级数展开并取一级近似有：式中规定当光源朝着接收器运动，即沿着光传播方向运动时，Vz>0；反之Vz<0；4.2.2非均匀加宽在激光器中，讨论的问题是原子与光场的相互作用，因此考虑中心频率为ν0的运动原子和频率为ν的单色光场相互作用。当原子相对静止时，感受到的光频率为ν，当ν=ν0时原子与光场有最大的共振相互作用，即原子的中心频率为ν0。4.2.2非均匀加宽当原子沿z方向以Vz运动时，相当于假想光源沿着远离原子运动，于是原子感受到的光波频率为：只有当ν’=ν0而不是ν=ν0，才有最大的共振相互作用：说明当时，原子与光场才有最大相互作用。原子的中心频率本来是ν0，由于其存在z方向的运动，其中心频率变为，因此可以将ν记作ν0’，它表示的是具有z方向运动速度为Vz的原子的“表观中心频率”。4.2.2非均匀加宽2、原子数按中心频率的分布考虑含有大量原子的气体工作物质，由于无规则的热运动，各个原子具有不同大小和不同方向的热运动速度。根据分子运动论，其热运动速度服从麦克斯韦统计分布规律，即在温度T的热平衡状态下，单位体积内Z方向速度Vz~Vz+dVz内的原子数：K为波尔兹曼常数，T为绝对温度，n为单位体积内原子数，m为原子质量，n(Vz)为原子数分布。4.2.2非均匀加宽考虑E2和E1能级上的原子数n2和n1：n2、n1按中心频率的分布4.2.2非均匀加宽令则：这是原子数按照中心频率的分布规律。4.2.2非均匀加宽3、多普勒加宽自发辐射的光功率为：如果不考虑均匀加宽，每个原子自发辐射的频率ν精确等于原子的中心频率ν0’。频率处在ν-ν+dν范围内的自发辐射光功率为：从线型函数的定义可知多普勒加宽的线型函数就是原子数按中心频率的分布函数：该线型函数具有高斯函数的形式。4.2.2非均匀加宽当ν=ν0时有最大值：其半宽度为：也称为多普勒线宽。则线型函数：M为分子量4.2.2非均匀加宽4、非均匀加宽多普勒加宽属于非均匀加宽不同的原子向不同的谱线发射，即不同的原子只对谱线内与它的中心频率响应的部分有贡献；可以分辨出谱线上的某一频率范围是哪一部分原子发出的。需要注意的是在固体工作物质中，不存在多普勒加宽，但存在一系列引起非均匀加宽的其它物理因素（如位错、空位等晶格缺陷）。固体工作物质的非均匀加宽的线型函数一般很难从理论上求出，只能由试验测定它的谱线宽度。4.2.3综合加宽综合加宽指的是由均匀加宽和非均匀加宽共同作用引起的原子发射谱线加宽现象。1、气体自发辐射总功率：处于之间的高能级原子数：由于均匀加宽，这部分原子将发出ν的自发辐射，对P(ν)dν的贡献为：则整个频域中不同表观中心频率ν0’的高能级原子对整个频域内的功率的贡献为：处于ν0’附近的原子数均匀加宽线型4.2.3综合加宽在谱线范围内有，可以将hν用hν0来代替：按定义：综合加宽线型函数：A、当时，上式只在附近才有非零值：表明只有表观中心频率ν0’=ν的部分原子才对谱线中的频率为ν的部分有贡献。B、当时，，即n2个原子近似有同一个表观中心频率ν0，每个原子都以均匀加宽谱线发射。4.2.3综合加宽2、固体固体的综合加宽成因较复杂，没有完整的理论描述，多是采用实测结果。在低温时，主要表现为晶格缺陷，属于非均匀加宽；在高温时，主要表现为晶格热振动，属于均匀加宽；红宝石晶体中非均匀加宽为主，Nd：YAG中均匀加宽为主。4.3激光器速率方程1、爱因斯坦三种辐射系数的修正从自发辐射的定义可以得出，单位体积物质内原子发出的自发功率为：其中从第一章得到的爱因斯坦三系数的关系：4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率由1式：谱线展宽对自发辐射无影响；由2、3式：4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率2、原子和连续谱光辐射场的相互作用ρν为连续光谱辐射场，其宽度Δν’远大于原子发射谱线的半宽度Δν，则受激辐射引起的高能级粒子数变化速率：同理：对应于黑体辐射场与原子相互作用，结果与第一章的结论相对应在Δν范围内都可以认为ρν=ρν04.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率3、原子与准单色光辐射场相互作用原子发射谱线的线型函数为，线宽为Δν；光辐射场能量密度为ρν，线宽为Δν’；由于单色辐射场，，在Δν’范围内可以认为为定值，且；只有在Δν和Δν’共同覆盖的频率范围才有响应，因此：ρ为准单色光辐射能量密度4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率由此得到改变后的速率方程：由于谱线加宽，和原子相互作用的单色光的频率不一定要精确等于原子发光的中心频率，也能够产生受激辐射的作用。当单色光的频率等于原子发光谱线的中心频率时，有最大的受激辐射跃迁几率，随着频率逐渐远离中心频率，跃迁几率逐渐减小。4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率激光器中光场的能量密度ρ同第l模内的光子数密度Nl的关系为：黑体单位体积中频率ν附近单位频率间隔中的模式数工作物质内的光速4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率其中的被称为发射截面；被称为吸收截面；他们具有面积的量纲；在ν=ν0处他们有最大值，均匀加宽工作物质中为洛仑兹线型时最大值：非均匀加宽为高斯线型时最大值：4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率若光腔体积为V，则光腔内第l个模内的光子数nl为：则A21g(ν,ν0)表示分配到频率ν处单位频率间隔内的自发辐射几率，nνV为光腔中频率ν附近单位频率间隔中的模式数，则A21g(ν,ν0)/nνV表示分配在光腔内一个模式上的自发辐射跃迁几率，用al表示。W21/nl表示由一个模式内的每个光子引起的受激辐射跃迁几率，上式表示了一个模式内一个光子引起的受激辐射跃迁几率等于分配到同一模式上的自发辐射跃迁几率。4.3.1自发辐射、受激辐射和受激吸收几率上面的概念可以用来近似求出工作物质的受激跃迁几率，例如固体激光器工作物质中的谱线线型很难从理论上推导，可以先用实验得出A21；怎么测量？如果其谱线宽度为，假设跃迁几率平均分配在所有模式上，即g(ν,ν0)=1/Δν，则可以得到：于是：4.3.2单模振荡速率方程1、三能级系统速率方程W13为抽运几率A31为自发辐射几率S32、S31为热驰豫(无辐射跃迁)几率S31<<S32、A31<<S32S32远大于S31和A31，基态E1上的粒子被抽运到E3态后，会迅速通过S32到达E2能级；E2能级粒子寿命较长，被称为亚稳态，当没有形成受激辐射时，会主要以较小的A21回到基态，因此可以在E2和E1间形成粒子数反转；一旦形成受激辐射，则W12和W21将占绝对优势。W13A31S31S32A21S21W12W21E1E3E24.3.2单模振荡速率方程例如，典型三能级系统的红宝石中有：可以写出各能级粒子数