广义逆矩阵教学内容

第七章广义(guǎngyì)逆矩阵广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解(qiújiě)有密切联系。给定一个线性方程组Ax=b，当矩阵A可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1b当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程(fāngchéng)组的解应如何表示呢？当线性方程(fāngchéng)组是矛盾方程(fāngchéng)，或者说是不相容方程(fāngchéng)时，线性方程(fāngchéng)组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。第一页，共42页。广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括(bāokuò)相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。主要内容(nèiróng)：1·广义逆矩阵及其分类2·A+的计算3·几类弱逆4·广义逆矩阵与线性方程组的解第二页，共42页。广义(guǎngyì)逆矩阵方程设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一(wéiyī)的逆矩阵A-1，它具有如下性质：或者说，A-1是下述矩阵(jǔzhèn)方程组的解第三页，共42页。---广义逆矩阵(jǔzhèn)方程设若矩阵

满足如下四个（Penrose)

方程(fāngchéng)则称X为A的Moor–Penrose逆，记为A+例：容易(róngyì)由定义直接验算：若则第四页，共42页。存在(cúnzài)性证明可以验证X满足广义逆矩阵(jǔzhèn)方程设，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组定理(dìnglǐ)有唯一解设若则A是阶零矩阵，可以验证阶零矩阵满足四个方程。第五页，共42页。对于矩阵(jǔzhèn)方程如果矩阵G仅满足(mǎnzú)其中的一个或几个时，可以定义不同的广义逆矩阵。因此(yīncǐ)，共可定义类不同的广义逆。由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外，其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。几类弱逆第六页，共42页。A{i}={|G满足第i个Penrose方程}对于矩阵，记A{i,j}={|G满足第i,j个Penrose方程}A{i,j,k}={|G满足第i,j,k个Penrose方程}广义(guǎngyì)逆集合第七页，共42页。各类广义(guǎngyì)逆的关系几种常用(chánɡyònɡ)的广义逆矩阵A{1},它的形式(xíngshì)记为A{1,2},它的形式记为A{1,3},它的形式记为A{1,4},它的形式记为--最小二乘广义逆--自反广义逆最小范数广义逆第八页，共42页。A{1}是指仅满足(mǎnzú)第一个Penrose方程的广义逆，即若AA-1A=A,则记广义(guǎngyì)逆A-说明：1)利用初等行变换(biànhuàn)，可以求得A-2）A的减号逆A-不唯一。例：设容易验证均满足故B，C都是A的减号逆.3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，此时A-=A-1第九页，共42页。定理A{1}的表示(biǎoshì)通式此定理表明：只要求出中的一个元素，就可得到中所有的元素。第十页，共42页。广义(guǎngyì)逆矩阵A+的计算：方法一利用满秩分解如果矩阵(jǔzhèn)A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多(xǔduō)类似的性质，但也有一些不同。如果A是非奇异矩阵，则并且由上面的公式计算出，从而第十一页，共42页。如果(rúguǒ)矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A=ImA，则A+的表达式为如果矩阵(jǔzhèn)A是列满秩的，A有满秩分解A=AIn，则A+的表达式为特别地，设为n维列向量，且则设为n维行向量，且则第十二页，共42页。例１：求广义(guǎngyì)逆第十三页，共42页。例２：设求由A为列向量(xiàngliàng)，即为列满秩，则从而(cóngér)若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行(jìnxíng)满秩分解，再求例３：已知求矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩第十四页，共42页。首先(shǒuxiān)利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：设A的满秩分解为，则于是(yúshì)第十五页，共42页。广义逆矩阵A+的计算(jìsuàn)：方法二－－奇异值法设矩阵的奇异值分解为A=UDVH其中U,V分别是m阶、n阶酉矩阵，则容易(róngyì)验证：其中(qízhōng)利用此方法，需首先对A进行奇异值分解。第十六页，共42页。例４：设求先求A的奇异(qíyì)值分解。因为为对应(duìyìng)的特征向量为：令其中(qízhōng)设则的特征值第十七页，共42页。把扩充为的一组标准正交基得：再令则从而(cóngér)第十八页，共42页。广义(guǎngyì)逆A+的性质设其中且第十九页，共42页。第二十页，共42页。11、设9、若有满秩分解(fēnjiě)式A=BC，则都是酉矩阵，则第二十一页，共42页。12、当A是Hermite矩阵(jǔzhèn)时，第二十二页，共42页。举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列(xiàliè)性质：（4）A与A+的非零特征值并不互为倒数(dǎoshù)。（1）（2）（3）第二十三页，共42页。例证(lìzhèng)1由可得又B为满秩矩阵(jǔzhèn)，则第二十四页，共42页。例证(lìzhèng)2可验证由可得第二十五页，共42页。考虑(kǎolǜ)非齐次线性方程组其中给定，而为待定向量(xiàngliàng)。若方程组是相容方程组；否则(fǒuzé)，称为矛盾方程组或不相容方程组。则线性方程组有解，则称该关于线性方程组的求解问题，常见的有以下几种情形：1）在相容时，若系数矩阵，且非奇异，即则有唯一解但当A是奇异方阵或长方矩阵时，它的解不唯一，我们可以利用减号逆给出方程组的通解。

线性方程组求解第二十六页，共42页。2）如果方程组相容，且其解有无穷多个(duōɡè)，可求出具有极小范数的解，即其中为欧氏范数，可以证明满足此条件的解是唯一的，称为(chēnɡwéi)极小范数解。3）若方程组不相容，则不存在通常意义下的解，但在许多实际问题(wèntí)中，需要求出这样的解：其中为欧氏范数，称这个问题为求矛盾方程组的最小二乘问题，相应的x为矛盾方程组的最小二乘解。4）一般说来，矛盾方程组的最小二乘解是不唯一的，但在最小二乘解的集合中，具有最小范数的解是唯一的，称之为极小范数最小二乘解，或最佳逼近解.第二十七页，共42页。（一）相容(xiānɡrónɡ)方程组的通解为线性方程组的解的充分必要条件是我们已知相容，其中(qízhōng)定理(dìnglǐ)对于任意，都存在，使定理说明，对于任意的是线性方程组的一个特解。给定一个线性方程组广义逆矩阵与线性方程组的求解有着密切关系。利用减号逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆以及加号逆可以给出上述诸问题的解。第二十八页，共42页。定理齐次线性方程组的通解是证明:对于任意向量，成立其中是任意向量。即是齐次线性方程组的解。第二十九页，共42页。设X0是齐次线性方程组的任一解，则因此，是齐次线性方程组的通解。推论相容线性方程组的通解为其中是任意向量。第三十页，共42页。例1、求解(qiújiě)将方程组改写为矩阵(jǔzhèn)形式其中(qízhōng)由于所以该方程组是相容的。首先求得A的一个减号逆。由A是行满秩矩阵，则从而第三十一页，共42页。原方程组的通解(tōngjiě)为其中为任意向量。第三十二页，共42页。定义相容线性方程组的所有解中2范数最小的解称为方程组的最小范数解，记为（二）相容(xiānɡrónɡ)方程组的最小范数解定理相容线性方程组的最小范数解是唯一的，并且可表示为其中是A的最小范数广义逆。第三十三页，共42页。例2、求方程组的最小范数解由于A为行满秩矩阵，因此为满秩方阵，则有所以(suǒyǐ)即从而(cóngér)此解即是中欧氏范数最小的一个(yīɡè)第三十四页，共42页。一个线性方程组是矛盾方程组或不相容方程组，它没有通常意义下的解，但可以寻求该方程组在某种含义下的近似解。（三）不相容方程组的最小二乘解

第三十五页，共42页。定义不相容方程组的最小二乘解定义为满足(mǎnzú)下列条件的近似解说明：和其它任何近似解相比较，所导致的误差平方和最小。矛盾方程组的最小二乘解导致的误差平方和是唯一(wéiyī)的，但最小二乘解不一定唯一(wéiyī)。第三十六页，共42页。定理：设是一个最小二乘解，则矛盾方程组的最小二乘解的通解(tōngjiě)为其中y为任意(rènyì)向量定理设，则是不相容方程组的最小二乘解的充分必要条件是第三十七页，共42页。例3、求矛盾(máodùn)方程组的最小二乘解系数(xìshù)矩阵A和向量b为由A为列满秩矩阵(jǔzhèn)，则可求得A的一个最小二乘逆为：于是，求得一个最小二乘解为第三十八页，共42页。定理不相容方程组的最佳逼近解是唯一的，并且定义

不相容方程组的最佳逼近解定义为满足下列条件的最小二乘解，记为（四）不相容方程组的最佳(zuìjiā)逼近解可以看出不相容方程组的最佳逼近解是方程组的所有最小二乘解中范数最小的近似解。

其中是方程组的最小二乘解的集合。第三十九页，共42页。说明：由于加号(jiāhào)逆既是减号逆又是最小范数逆、最小二乘逆，故对于方程组，不论其是否有解，均可用加号逆来设y为任意(rènyì