结构动力分析-2

第十章结构动力学基础ty钢筋混凝土楼板自由振动试验曲线因为在振幅位置结构的变形速度为零（动能=0），故在振幅位置的变形势能就代表体系全部机械能。振幅随时间减小，变形随时间减小，应变能（全部机械能）随时间减小。这表明在振动过程中能量在损耗。

振动过程中引起能量损耗的因素称为阻尼。振幅位置的应变能（全部机械能）在减小§10-4阻尼对振动的影响忽略阻尼影响时所得结果

能不能

反映实际结构的振动规律。大体上忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，阻尼对频率影响很小。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。产生阻尼的原因：结构与支承之间的外摩擦；材料之间的内摩擦；周围介质的阻力。阻尼力的确定：总与质点速度反向;大小与质点速度有如下关系：①与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼力）。②与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。③与质点速度无关（如摩擦力）。粘滞阻尼力的分析比较简单，(因为Fc(t)=－cy).其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。单自由度体系的强迫振动考虑阻尼的振动模型kyFP(t)动平衡方程：1.有阻尼的自由振动(阻尼比dampingratio）设解为：特征方程为：(characteristicequation)⑴ξ<1（低阻尼）情况..kFP(t)ymcy引入初始条件确定积分常数后为：单自由度体系的强迫振动ae-ξωtty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.当ξ<0.2，则0.96<ωr/ω<1在工程结构问题中，0.01<ξ<0.1可近似取ty计算结构的自振频率可以不考虑阻尼的影响.单自由度体系的强迫振动②阻尼对振幅的影响。振幅随时间衰减,相邻两个振幅的比振幅按等比级数递减。称为振幅的对数递减率.(logarithmicdecrement)

设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:经过一个周期后，相邻两振幅yk和yk+1的比值的对数为:工程中常用此方法测定阻尼单自由度体系的强迫振动举例⑵ξ=1（临界阻尼）情况tyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性.ξ=1的阻尼常数称为临界阻尼常数cr(criticaldampingcoefficient),（振与不振的分界点）的解为：引入初始条件后为：⑶ξ>1（强阻尼）情况特征方程的特征值为：体系不出现振动现象，实际问题中很少遇到，不讨论。单自由度体系的强迫振动EI=∞m例10：图示结构的质量m均集中在横梁处。在FP=9.8kN作用下，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。再测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。9.8kN解：单自由度体系的强迫振动返回2.有阻尼受迫振动kyFP(t)..kFP(t)ymcy动平衡方程：⑴简谐荷载：

FP(t)=FPsinθt设特解为：代入微分方程，整理后得：荷载幅值引起的静力位移单自由度体系的强迫振动方程的解仍然由齐次解（具有频率ωr的自由振动）和特解（具有频率θ的纯强迫振动）组成。由于阻尼的作用，频率为ωr的自由振动将逐渐衰减而最后消失，只有频率为θ的纯强迫振动不衰减，这部分振动成为平稳振动。4.03.02.01.001.02.03.0βθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点讨论：①ξ对b的影响与q/w有关。随ξ增大b

曲线渐趋平缓。特别是在q/w

=1附近ξ对

b的影响最为显著。②q=w即共振时，xb21=共振时忽略阻尼时b=∞，考虑阻尼时b

=很大的有限值。在0.75<q/w

<1.25(共振区)内，阻尼大大地减小了强迫振动的位移，阻尼不容忽略。

在共振区之外阻尼对b的影响较小，可按无阻尼计算。单自由度体系的强迫振动当q<<w时,

a→0°。体系振动得很慢，荷载可作静

荷载处理。惯性力FI、阻尼力R较小，荷载FP主要由

弹性力S平衡

(FP与S反向)，S与y反向，所以FP与y

同步。当q>>w

时,a→180°。体系振动得很快，FI很大，FI、S相对较

小，FP主要由FI平衡，

FI与y同向，所以

y与FP反向。②ξ对相位差α的影响与θ/ω有关。SFP(t)当q=w，a→90°，共振S与FI平衡，有无阻尼均如此，S与FP平衡。由此可见：共振时（q=w），弹性力与惯性力刚好互相平衡,有无阻尼均如此。动荷载恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态，不会出现位移为无穷大的情况。而在无阻尼强迫振动时，因不存在阻尼力来平衡动荷载，才出现位移为无限大的现象。单自由度体系的强迫振动③弹性动内力幅值的计算。一般方法：由于结构的弹性内力与位移成正比，所以位移达到幅值，内力也达到幅值。将位移达到幅值时刻的荷载值和惯性力值加在结构上，按一般静力学方法求解。惯性力与位移同时达到幅值。荷载与位移无阻尼时同时达到幅值。有阻尼时位移总滞后荷载一个相位角a

。比例算法：无阻尼单自由度体系且荷载作用在振动质点上

(动荷载与惯性力共线)时，产生振幅a的外力值为:这意味着，动内力和动位移幅值是荷载幅值FP产生的静内力和静位移的b倍。注意：位移达幅值时，速度为零，故阻尼力为零，计算时不必考虑阻尼力。单自由度体系的强迫振动例11：图示机器与基础总重量W=60kN，基础下土壤的抗压刚度系数为cz=0.6N/cm3=0.6×103kN/m3，基础底面积

A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时①自振频率。②机器运转产生FPsinqt,FP=20kN，转速为400r/min。求振幅及地基最大压力。③如考虑阻尼，阻尼比ξ=0.15，求振幅及地基最大压力。解:

①让振动质量向下发生单位位移需施加的力为：

k=czA=0.6×103×20

=12×103kN/m单自由度体系的强迫振动W②求荷载频率求动力系数竖向振动振幅地基最大压力③求动力系数竖向振动振幅地基最大压力单自由度体系的强迫振动共振区，阻尼的影响不容忽视！⑵有阻尼时的杜哈梅积分（ξ<1）FP(t)tFP在t=0时瞬时冲量dS=FPdt=v0m引起的振动可视为由初始条件v0=FPdt/m，

y0=0引起的自由振动：dtτtt't'在t=τ时有瞬时冲量作用。将荷载FP

(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量，

dS=FP

(τ)

dτ引起的动力反应为：总反应：有阻尼的杜哈梅积分在计算地震作用的动力反应时有用。单自由度体系的强迫振动⑶突加荷载FP0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=FP0/mω2的2倍,然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。单自由度体系的强迫振动两个自由度体系是最简单的多自由度体系.但能清楚地反映多自由度体系动力特征的计算特点。建立多自由度体系运动方程的方法有：刚度法：建立力的平衡方程。柔度法：建立位移协调方程。实际工程中，很多问题可以简化为单自由度体系计算，也有很多结构的振动问题不能按单自由度体系计算。如多层房屋的侧向振动，不等高排架的振动，柔性较大的高耸结构在地震作用下的振动等，都应按多自由度体系计算。§10-5两个自由度体系的自由振动m2mmmm各有其适用范围。y1(t)y2(t)1.刚度法r2r1y1(t)y2(t)r2r1质点动平衡方程由质点动平衡方程建立自由振动微分方程。两个自由度体系的自由振动乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211=+解质点动平衡方程

两个自由度体系的自由振动设：展开是ω2的二次方程，解得ω2两个根为：这两个根都是正根为了得到Y1、Y2的非零解，应使系数行列式等于零。频率方程两个自由度体系有两个自振频率。特点:①两质点具有相同的频率和相同的相位角。②两质点的位移随时间变化，但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数。这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型。证明几点注意：

①自振频率个数=自由度数.②每个自振频率相应一个主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式.③自振频率和主振型是体系本身的固有特性。只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关。位移幅值方程两个自由度体系的自由振动求主振型：因为D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。与ω1相应第一振型与ω2相应第二振型振型阶数振动方向②故矩阵[k]为正定矩阵。矩阵[k]为正定矩阵的充分必要条件是：它的行列式的顺序主子式全部大于零。因此有所以

于是得到ω2的两个根均为正根。两个自由度体系的自由振动①将根号内的式子变形成所以ω2

的两个根均为

实根。返回k11例12：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2。求刚架水平振动时的自振频率和振型。m2m1k2k1k211解：求刚度系数：k22k121①当m1=m2=m,k1=k2=k，

两个自由度体系的自由振动计算频率求主振型第一主振型：Y21=1.618Y11=1第一主振型第二主振型：第二主振型Y22=－0.618Y11=1

Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算刚度系数时置于其上的单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。两个自由度体系的自由振动②当m1=nm2,k1=nk2，k11=(1+n)k2，k12=－k2，k22=k2求频率：求振型：如n=90时当上部质量和刚度很小时，顶部位移很大。（鞭梢效应）第一振型：第二振型：建筑物顶部的小阁楼、女儿墙、建筑物立面有较大的收进或为了加大建筑空间而在顶部减少剪力墙等,都可能使结构少数层刚度和质量突然变小，加剧地震作用下的鞭稍效应。两个自由度体系的自由振动例13：试求图示结构的自振频率；如初始条件为Y10=0.02m,Y20=－0.00473m，初速为零，体系作何种振动。①求刚度系数②代入频率计算公式11两个自由度体系的自由振动m2=m2体系按第二振型振动③求主振型④初始条件为Y10=0.02m,Y20=－0.00473m,初速为零，体系的振动情况。两个自由度体系的自由振动根据质点的动位移等于各质点惯性力共同作用下产生的静位移，建立自由振动微分方程。12.柔度法1结构的柔度系数δij

物理意义是：在第j

个位移方向加单位力时产生的第i个方向上的位移。两个自由度体系的自由振动y2(t)y1(t)δ11δ21δ22δ12质点位移方程代入微分方程质点惯性力幅值其中：λ=1/ω2两个自由度体系的自由振动解质点位移方程

设特点:①两质点具有相同的频率和相同的相位角.②两质点的位移随时间变化，但两者的比值始终保持不变y1(t)/y2(t)=Y1/Y2=常数。这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型

主振型的位移幅值是体系由此主振型惯性力幅值所引起的静力位移。Y11Y21Y12Y22位移幅值方程为一关于λ的二次方程。解出λ的两个根：频率方程频率频率数目=自由度数目位移幅值方程其中：λ=1/ω2Y1，Y2不能全为零。求主振型：因为D=0，不能求出Y1和Y2的值只能求出其比值（即主振型）。第一主振型第二主振型主振型的数目=自由度数目。因固有振动的特解是简谐振动，所以位移和惯性力同时达到幅值。主振型恰好为相应惯性力幅值产生的静力位移。应用功的互等定理：因为ω1≠ω2第一正交关系3.主振型的正交性(orthogonalityofnormalmodes)m1m2Y11Y21m1m2Y12Y22在振动过程中，某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。即它的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。故各个主振型能单独存在而不互相干扰。两个自由度体系的自由振动例14：求简支梁的自振频率和主振型。解：⑴求柔度系数⑵求得频率：⑶主振型：l/3l/3l/311mm两个自由度体系的自由振动例14：求简支梁的自振频率和主振型。l/3l/3l/3mml/3另解：如果结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算：1对称情况：l/91反对称情况：对称主振型：反对称主振型：比较两个频率，较小的为第一频率。验证主振型正交性：两个自由度体系的自由振动例15：计算体系的自振频率和振型。并验证主振型的正交性。llmEIEI

1

1ll①求柔度系数②代频率计算公式求频率两个自由度体系的自由振动③代振型公式求振型10.414第一振型第二振型12.414

Yij为正时表示质量mi的运动方向与计算柔度系数时置于其上的单位力方向相同，为负时，表示与单位力方向相反。④验证主振型正交性两个自由度体系的自由振动例16：求图示集中质量体系的自振频率(各杆EI为常数)。mlll1

1l/2l/2l⑵代入频率方程解：⑴求柔度系数1l/2lmllm/2lm/2lEI/2l对称振型反对称振型

1例16：求图示集中质量体系的自振频率(各杆EI为常数)。另解：利用对称性。

11.柔度法§10-6两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动⑴建立振动微分方程因为荷载频率在共振区之外时，阻尼影响很小；在共振区之内时，计不计阻尼，都能反映共振现象。故忽略阻尼。并设各简谐荷载的频率相同、相位相同。ΔiP荷载幅值产生的质点i静位移m1m2tFPqsiny1y211FP通解=齐次解()＋特解()自由振动强迫振动⑵动位移的解答及讨论由于阻尼平稳振动n个自由度体系，存在n

个可能的共振点。⑶纯强迫振动解答设为：代入：⑷对振幅解答的讨论两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动?=0⑸动内力幅值的计算

荷载、位移、惯性力同频率、同相位、同时达到最大。位移达到最大值时，内力也达到最大值。于是，可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求解。或：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：由位移幅值方程得到求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动位移惯性力荷载例17：简支梁EI=常数,θ=0.75ω1。求动位移和动弯矩幅值。解：①求柔度系数两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动②MP图，求Δ1P,Δ2PtFPqsinl/4l/4l/2mm11FP③计算位移幅值④计算惯性力幅值两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动11FP⑤计算动内力I1=0.6808FPFP

I2=0.6051FP1.4119FP

0.2689FP0.8740FPFQd

图0.3530FPl0.2180FPlMd

图⑥比较动力系数因此，多自由度体系没有统一的动力系数。两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动1.4119FP1.6808FP0.6051FP0.8740FP1.4119FP2.刚度法平稳阶段质点作简谐振动:FP2(t)FP1(t)FP2(t)FP1(t)两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动乘y1(t)k11k21乘y2(t)k12k2211+求得位移幅值Y1、Y2，再求惯性力幅值将惯性力幅值连同荷载幅值加在体系上，按静力法计算。=0例18：求楼面处的侧移、惯性力和柱底截面弯矩幅值。1k11k211k12k22解：①求刚度系数②求位移幅值hFPsinθtmEI=∞mEI=∞EIEIEIEIh两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动0.45FPh0.45FPh0.15FPh0.15FPh③求惯性力幅值0.10.075位移幅值FP1.6FP1.2FP0.9FP0.9FPA位移与荷载反向？两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动位移与荷载反向④求内力幅值M说明k11质量集中在楼层上，层间侧移刚度为k、k。求刚架水平振动时的自振频率和振型。mmk

k

k211解：求刚度系数：k22k121两个自由度体系的自由振动计算频率返回例19：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2，画出横梁振幅Y1、Y2与荷载频率之间的关系曲线。解：荷载幅值：FP1=FP，FP2=0①求刚度系数m2m1k2k1FP/k两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动②求位移幅值③当m1=m2=m,k1=k2=kFP/k是荷载幅值产生的静位移。推导③当m1=m2=m,k1=k2=k即频率方程由韦达定理返回3.0-2.0