线性代数 相似矩阵及二次型 第二课时

线性代数相似矩阵及二次型第2课时内积：

长度：标准正交基：两两正交的单位向量基。施密特(Schmidt)正交化方法:复习：正交矩阵A：ATA=Er

=r-1-2-…-r-1.[，]=

R

n，夹角：这里≠，≠。§2方阵的特征值与特征向量特征值问题是对方阵而言的,特征向量一定是非零向量.这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组A的特征值就是特征方程的解,A的特征向量就是齐次线性方程组的非零解向量.称为A的特征方程.从上节例1,例2可以看到,同样是二重特征值,属于该特征值的线性无关的特征向量的个数却是不一样的,但不管有几个都没有超过它的重数.三、特征值与特征向量的性质【性质1】n阶方阵A的特征值满足：（1）矩阵A的n个特征值之和等于A的n个对角线元素之和，即:（2）矩阵A的n个特征值的乘积等于A的行列式的值,即:a、由多项式的根与系数之间的关系,不难证明此性质.b、零是A的一个特征值|A|=0【性质2】矩阵

和

的特征值相同.【例3】是A

的特征值，证明是的特征值.设

n阶方阵A可逆,【证】因A可逆,所以|A|0故0，故有维非零列向量，使于是用同时左乘上式的两边得由知，是的特征值.

证毕求一下A*的特征值？因是A

的特征值，一是根据定义，满足

的

即是A的特征值.【例4】设是n阶方阵A的特征值,证明的特征值.【分析】

求矩阵的特征值，一般有两种途径二是根据特征方程，满足的是A的特征值.对抽象题目,用定义较多,对具体的数值矩阵(如前面例子)一般利用特征方程求特征值.(法一)用定义求

,由题设可知两边左乘A,并将上式代入,得故知的特征值为故结论成立(法二)用特征方程求由题设可知:此式两边同乘:1、若是方阵A的特征值，

则

的特征值.2、设是关于的多项式，A是n阶方阵

,规定：若是方阵A的特征值,

则是的特征值,

其中自己证明设A是三阶方阵，且【例5】【解】三阶方阵A的特征值为1，-2，-3/2，【定理2】

利用数学归纳法加以证明.

利用特征值，特征向量理论及线性无关的定义也可证明本定理用反证法试一试方阵A的不同特征值对应的特征向量必线性无关。简记为：【定理2】设是n阶方阵A的m个特征值,依次是与之对应的特征向量.

如果互不相等,则线性无关.证：四、问题与思考1、问的解向量是否都是A对应于的特征向量?如果都是A对应于的特征向量,那么的任意线性组合是否都是A的特征向量?2、求的特征值与特征向量.3、已知矩阵求f(A)=A10-3A9+2A8思考题答案2、的特征值特征向量a为全部特征向量1、是的,只要不是零向量即可.3.已知矩阵求f(A)=A10-3A9+2A8分析:一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若A能表示为A=P-1P则Am=P-1mP,

对角阵的多项式矩阵计算起来相当容易,但如何判断A能否表示为A=P-1P？若A=P-1P，那么如何求对角阵及可逆阵P？当为对角阵,相似矩阵的概念及性质方阵可对角化的条件及方法问题与思考§3

相似矩阵一、相似矩阵的概念及性质

定义7使:则称是的相似矩阵，

或说矩阵与相似，对A进行运算称为对A进行相似变换.可逆矩阵P称为把变成的相似变换矩阵.矩阵的相似关系也是一种等价关系,具有以下三性(1)反身性;(2)对称性;(3)传递性设

都是

阶方阵，

若存在可逆矩阵，

【性质】由A与B相似，则：其中m为正整数(2)设

是一个一元多项式，

(3)若A可逆，则B也可逆，【证】由A与B相似，所以存在可逆矩阵P，

使于是有

=()…所以

这是很有用的计算方法!证明:因A与

B相似，即有可逆矩阵P，使:于是:|-|证毕注:相似矩阵有相同的特征值,相同的行列式,相同的的秩.【定理3】若n阶方阵A与

B相似，

则A与B的特征多项式和特征值都相同.推论若n阶矩阵A与对角矩阵相似，则

是A的全部n个特征值.反之是否成立？例题分析分析:一般说,求矩阵的高次幂比较困难,但若A能相似于对角阵,即若存在可逆阵P,使得对角阵则:…对角阵的n次幂计算起来相当容易,但如何求可逆阵P？方阵可对角化的条件有那些?我们继续研究.

求矩阵的5次幂.

【例1】二、方阵相似对角化的条件及方法【定义】若方阵则称可以相似对角化.

【证】必要性设与A相似的对角阵为:则存在一个可逆矩阵P，

使两边左乘P:

将矩阵按列分块，记为：那么或故因为是可逆矩阵，所以线性无关.【定理4】充分性假设方阵A有个n线性无关的特征向量，

即:线性无关.令=则==由定理2知属于A的不同特征值的特征向量是线性无关的.可逆矩阵P是由相应的特征向量作为列向量构成的.n

阶方阵A有n个线性无关的特征向量.【推论1】若n

阶方阵

A的n个特征值互不相等,则如果A有k重特征值,其重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等，则A一定可以相似对角化；如果A有k重特征值,而与其对应的线性无关的特征向量的个数少于k,则A一定不能对角化.【推论2】方阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的所有特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等.

若

i是n阶阵A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，其对应的线性无关的特征向量的个数=线性方程组(A-iE)x=0的基础解系所含解向量的个数，即解空间的维数.而解空间的维数=n-R(A-iE),所以:

若

i是矩阵A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，则A与对角矩阵相似的充要条件为【推论3】例

判断教材P118例5～例7所给的矩阵哪个与对角阵相似？【例2】设3阶方阵A的特征值是1,-1,-1，

相对应的特征向量依次为:求与.解令由||0，知P可逆下面求=====【例3】解：三、思考题1、观察书上【例5】【例6】【例7】中方阵A的特征值与特征向量，判断方阵A可否相似对角化.

2、判断能否相似对角化.3、

与特征多项式相同，它们是否相似.4、设A为三阶矩阵,已知E－A,3E－A,E+A都不可逆,试问A是否相似于对角阵?说明理由思考题答案1、【例6】中A的特征方程有重根，但找不到3个线性无关的特征向量，因此，A不能对角化,【例5】【例7】中A能对角化.2、A不能相似对角化.3、A

和E不相似.相似矩阵的特征值一定相同,但它的逆命题不成立.4、A有三个不同的特征值,有三个线性无关的特征向量,A可相似于对角阵.四、小结

1、相似矩阵的概念；2、相似矩阵的性质及推论；3、方阵可对角化的问题:如果n阶方阵A有n个不同的特征值，则A

一定可以对角化.相似矩阵有相同的特征值,相同的特征多项式,相同的行列式,相同的的秩.方阵A与对角矩阵相似的充要条件为A的所有特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相等.

若

i是矩阵A的ki(i=1,2,…m,k1+k2+…+km=n)重特征值，则A与对角矩阵相似的充要条件为相似,求x、y.练习题1、求可逆矩阵P，使为对角阵，其中2、设矩阵与练习题答案1、2、x=4，y=5作业：P13512,13,15,21,22下节内容：§4、5请大家做好预习！向量的内积向量的长度向量的夹角标准正交基正交矩阵2、施密特正交化方法，正交矩阵的性质;1、五、本节课小结3、特征值与特征向量的概念；4、求特征值与特征向量的计算方法；5、特征值与特征向量的性质.六、练习题2.试用施密特正交化法把下列向量组正交单位化：(1)1

=(1,1,1)T，2

=(1,2,3)T，

3=(1,4,9)T；(2)1

=(1,2,2,-1)T，2

=(1,1,-5,3)T，3

=(3,2,8,-7)T.3.设A是一个n阶正交矩阵，证明：

(1)A的行列式为1；

(2)A