l2空间紧集的判定

Z空间中列紧集的判定2赖宝锋等度收敛：我们说12空间中的子集A等度收敛是指对任意8>0，存在一个只与8有关的N>0，使得对任意A中的元素l=(l,l,l,……)，都有+212)+212)<8jj=N+1定理：设A为12空间的紧集，则A列紧当且仅当A有界且等度收敛。证明：必要性假设A列紧，则A完全有界，于是A有界，并且对任意8>0，存在A的有穷28-网：l(1),l⑵，…，l(n)。对任意1<i<n，存在一个N>0，使得f存在1<存在1<i<n，使得||l-l(i)||<一8、 |l(i)|2)2jj=Ni+1取N=max{N}1<i<nV1<V1<i<n、 |l(i)|2)2jj=N+1对任意对任意lGA即(£|lj-l:)|2)：<18。于是，j=1+w +V1|l|2)2=(£|l-l(i)+l(i)|2)2<(£j=N+1由l的任意性，

充分性j=N+1<(£|l-l(i)|2)；+(£|l(i)|2)；<-+-=8j22j=N+1A有界且等度收敛。jjj=1A等度收敛。这样+ \^ +|l-l(i)|2)2+(£|l(i)|2)2j=N+1根据12的完备性，要证明A列紧，只需要证明A完全有界即可，即证明对任意8>0，A都有有穷的8-网。对任意8>0，存在只与8有关的N>0对任意8>0，存在只与8有关的N>0，使得对任意l=(l,l,l,......) GA，都有1 2 3|lj|ljj=N+1+ 82|2)<-3我们取M={(l,l,...,l)I31 ,l ,......,s.t.(l,l,l......)GA}uRN。由a的有界性，1 2NN+1N+2 1 2 3我们得到了M的有界性，即M为RN的有界子集。因此，m列紧，故M完全有界，即有有限的L8-网：{(l(i),l(i),.....,l(i)),i=1,2,3,...,n}。这样，{(l(i),12i),.....,lN),lN+1,lN+2,......),i=1,2,3,...,n}就是A有限的8-网。其中，l"l",lN)3,.……使得(l(i),l(i),.....,l(i),l(i\,l(i),......)GA事实上，任取l=(l,l,l,......,l,l,l ,......)Ga，则必然存在一个1<i<n，使1 2 3 NN+1N+2得II(l,l,....,l)-(l(i),l(i),...,l(i))II<-，即1 2N 1 2 N 3NfIl-I82Ki)I<一jj 9j=1于是，fIl—fIl—l(i)I2=2^11—l(i)12+2^11—l(i)I2jj jj jjj=1j=1 j=N+1x^ +(fIl-l(i)I2)2=II(l—l(i),l—l(i),......)II<II(l,l，…...)II+II(l(i),l(i),......)II<8+8jj N+1N+1N+2N+2 N+1N+2 N+1N+2 3 3j=N+1283是，fIl-l(i)|2<482。这样，jj9j=N+1也就是V"^f11—li)1j=1|2=fN|lj—j=1l(jV"^)I斗fj=N11Il,-，l(k<24b斗9582=982<82(f\l-l(ij1)I22)<8j=1因此，｛（l（i）,l（i）,.....,l（i）,l（i）.,l（i）,......）,i=1,2,3,...,n｝就是A有限的8-网。再由12的完备性，A列紧。结论得证！推论：设L为L2（。）中的有界线性算子，其有特征值｛人｝，而相应的特征函数付｝是L2（。）的一组标准正交基，M为L2（。）的有界子集，那么L（M）列紧只需要Sixr收敛，即可。nn-1证明：WQ)与12同构，我们定义其同构映射为G，如下:())T(1,1,……)nn 1 2n-1为了证明£(肱)列紧，我们只需要证明q(L(M))列紧，即可。于是，我们只需要证明a(L(M))有界且等度收敛，即可！肱有界，故存在一个常数R>0，使得，对任意uwM，都有13II<R°Z?(Q)任取"=£心S(Q)，则nnn-1IILuII<11AIlliuII<11AIIRTOC\o"1-5"\h\zL2(Q) L2(Q)于是，)有界，也就是a(L(M))有界。Lw=SkZ(|)J于是，nnnIILuII=(EIX|2|Z|2)2r2(n) "打n二1由于II侃IIMR，因此IzIVR，这样JIILu