华中科技大学人工智能 第五章不确定性推理

不确定性现实世界中的事物以及事物之间的关系是极其复杂的，由于客观上存在的随机性、模糊性以及某些事物或现象暴露的不充分性，导致人们对它们的认识往往是不精确、不完全的，具有一定程度的不确定性。这种认识上的不确定性反映到知识以及由观察所得到的证据上来，就分别形成了不确定性的知识及不确定性的证据。另外，正如费根鲍姆所说的那样，大量未解决的重要问题往往需要运用专家的经验。我们知道，经验性知识一般都带有某种程度的不确定性。第五章不确定性推理1/14/20231不确定性推理的提出已知事实和知识是构成推理的两个基本要素。在确定性推理中，已知事实以及推理时所依据的知识都是确定的推出的结论或证明了的假设也都是精确的，其真值或者为真，或者为假在事物和知识存在不确定性情况下，若用经典逻辑做精确处理，将把这种不确定性化归为确定性的，在本来不存在明确类属界限人为地划定界限，这无疑会舍弃事物的某些重要属性，从而失去了真实性。由此开始了对不确定性的表示及处理的研究，有了不确定性推理的理论和方法,这将使计算机对人类思维的模拟更接近于人类的思维。第五章不确定性推理1/14/20232不确定性推理不确定性推理是建立在非经典逻辑基础上的一种推理，它是对不确定性知识的运用与处理。严格地说，所谓不确定性推理就是从不确定性的初始证据出发，通过运用不确定性的知识，最终推出具有一定程度的不确定性但却是合理或者近乎合理的结论的思维过程。第五章不确定性推理1/14/20233不确定性的类型不确定性一般包括：证据的不确定性：例如，当你观察某种动物的颜色时，你可能说是白色的，也可能是灰色的。知识不确定性：也称为知识的静态强度。例如，如果“启动器发出刺耳声”则“启动器坏”，这条规则有多大的可靠性呢？结论的不确定性：在不确定证据下，用不确定的规则推出的结论，具有不确定性。例如，“启动器好象发出刺耳声”那么我们在多大程度上认为“启动器坏”呢？第五章不确定性推理1/14/20234知识不确定性的表示知识的表示与推理是密切相关的两个方面，不同的推理方法要求有相应的知识表示模式与之对应。知识的静态强度可以用该知识在应用中成功的概率，或者该知识的可信程度等来表示如果用知识在应用中成功的概率来表示，则其取值范围为[0，1]，该值越接近于1，说明该知识越“真”；其值越接近于0，说明该知识越“假”。如果用可信度来表示知识的静态强度，取值范围没有一个统一的区间。著名的MYCIN系统采用[-1，1]区间，也有的系统用[0，1]区间第五章不确定性推理1/14/20235证据不确定性的表示证据有两种：一种是求解问题时所提供的初始证据另一种是在推理中得出的中间结果证据的不确定性表示应该与知识的不确定性表示保持一致，以便推理过程能对不确定性进行统一处理。第五章不确定性推理1/14/20236不确定性推理的类型有多种不同的分类方法，如果按照是否采用数值来描述不确定性，可分为：数值方法：用数值对不确定性进行定量表示和处理的方法。非数值方法：除数值方法以外的其他各种对不确定性进行表示和处理的方法，如非单调推理等。数值方法又可按所依据的理论分为两类：基于概率论的有关理论：称为基于概率的模型，如确定性理论、主观Bayes方法、证据理论、等。基于模糊逻辑理论：称为模糊推理第五章不确定性推理1/14/20237基于概率的推理方法随机事件A的概率P(A)表示A发生的可能性因而可用它来表示事件A的确定性程度。由条件概率的定义及Bayes定理可得出：在一·个事件发生的条件下另一个事件发生的概率这可用于基于产生式规则的不确定性推理，其中有两种简单的不确定性推理方法：经典概率方法逆概率方法第五章不确定性推理5.1概率方法1/14/20238经典概率方法若有推理规则：IFETHENH

其中，E为前提条件，H为结论。如果我们在实践中经大量统计能得出E发生的概率P(E)以及在E发生条件下H发生的条件概率P(H／E)就可利用概率来表示确定性程度：把P(E)作为证据E的确定性程度，把P(H／E)作为在证据E出现时结论H的确定性程度。第五章不确定性推理5.1概率方法1/14/20239逆概率方法经典概率方法要求给出在证据E出现情况下结论H的条件概率P(H／E)，这在实际应用中是相当困难的。例如，若以E代表咳嗽，以H代表支气管炎，要找在咳嗽的人中有多少是患支气管炎的，就需要做大量的统计工作但是如果在患支气管炎的人中统计有多少人是咳嗽的，就相对容易一些，因为患支气管炎的人毕竟比咳嗽的人少得多。因此希望用逆概率P(E／H)来求原概率P(H／E)，Bayes定理给出了解决这个问题的方法。第五章不确定性推理5.1概率方法1/14/202310Bayes公式

其中，A1，A2，…，An是两两相斥的事件，其概率P(Ai)>0，B是一相关事件，P(B/Ai)(i=1,…,n)是其条件概率。

第五章不确定性推理5.1概率方法1/14/202311逆概率推理把Ai看成是一组假设结论Hi(i=1,…,n),而把B看成是输入事实E，那么，根据Bayes公式有如下推理：

逆概率方法的优点是它有较强的理论背景和良好的数学特性，当证据及结论都彼此独立时计算的复杂度比较低缺点是它要求给出结论的先验概率和证据的条件概率而且要求各事件互相独立等。第五章不确定性推理5.1概率方法1/14/202312主观Bayes推理

我们知道，直接使用Bayes公式求结论Hi在证据E存在情况下的概率P(Hi／E)时，需知道：Hi的先验概率P(Hi)，证据E出现的条件概率P(E／Hi)，这在实际应用中是相当的困难的。为此，杜达等人在Bayes公式的基础上经适当改进提出了主观Bayes方法，建立了相应的不确定性推理模型。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202313几率函数

X的几率等于X出现的概率与X不出现的概率之比。随着P(X)的增大，O(X)也在增大，且有:

P(X)=0时，O(X)=0P(X)=1时，O(X)=+∞这样，就把取值为[0,1]P(X)放大到了取值为[0,+∞]的O(x)。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202314主观Bayes推理中的知识表示

知识用产生式规则表示：

IFETHEN(LS,LN)H(LS,LN)是知识强度LS,LN的取值范围都为[0，+∞)根据Bayes公式可知:O(H/E)=LS×O(H) O(H/~E)=LN×O(H)第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202315LS的性质

当LS＞1时，O(H／E)＞O(H)，说明E支持H；LS越大，O(H／E)比O(H)大得越多，即LS越大，E对H的支持越充分。当LS→+∞时，O(H／E)→+∞，P(H／E)→1，表示由于E的存在，将导致H为真。当LS＝1时，O(H／E)=O(H)，说明E对H没有影响。当LS＜1时，O(H／E)＜0(H)，说明E不支持H。当LS＝0时，O(H／E)=0，说明E的存在使H为假。可以看出．LS反映的是E的出现对H为真的影响程度因此，称LS为知识的充分性度量。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202316LN的性质

当LN＞1时，O(H／~E)＞O(H)，说明~E支持H；LN越大，O(H/~E)比O(H)大得越多，即~E对H的支持越充分当LN→+∞时，O(H／~E)→+∞，P(H／~E)→1，表示由于~E的存在（E的不存在），将导致H为真。

当LN＝1时，O(H／~E)=O(H)，说明~E对H没有影响。当LN＜1时，O(H／~E)＜0(H)，说明~E不支持H。当LN＝0时，O(H／~E)=0，说明~E的存在（E的不存在），使H为假。可以看出．LN反映的是E不存在时，对H为真的影响程度因此，称LN为知识的必要性度量。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202317LS与LN的关系

由于E和~E不会同时支持或同时排斥H，因此只有下述三种情况：LS＞1，且LN＜1LS＜1，且LN＞1

LS＝LN＝1在实际系统中，LS和LN的值均是由领域专家根据经验给出的，而不是计算出来的。当证据E愈是支持H为真时，则LS的值应该愈大；当证据E对H愈是重要时，则相应的LN的值应该愈小。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202318证据不确定性的表示

证据的不确定性也是用概率表示的。对于初始证据E，根据观察S给出P(E／S)，相当于动态强度。P(E/S)的给出相当困难，实际中多采用近似方法。如在PROSPECTOR中引进可信度的概念，在[-5，5]之间的11个整数中根据实际情况选一个数作为初始证据的可信度根据可信度C(E／S)，可近似计算得到概率P(E／S)第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202319用可信度C(E／S)近似计算概率P(E／S)可信度C(E／S)与概率P(E／S)的对应关系如下：C(E/S)＝-5，表示在观察S下证据E肯定不存在，即P(E/S)＝0C(E/S)＝0，表不S与E无关，即P(E/S)=P(E)C(E/5)＝5，表示在观察S下证据E肯定存在，即P(E/S)＝1C(E/S)为其它数时与P(E/S)的对应关系，可通过对上述三点进行分段线性插值得到第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法P(E/S)P(E)-5C(E/S)0511/14/202320组合证据不确定性的计算

当组合证据是多个单一证据的合取时：E＝E1∧E2∧…∧En如已知P(E1/S)、P(E2/S)、…、P(En/S)，则：P(E/S)=min{P(E1/S)，…，P(En/S)}当组合证据是多个单一证据的析取时：E＝E1∨E2∨…∨EnP(E/S)=max{P(E1/S)，…，P(En/S)}对于“非”运算，用下式计算：P(~E/S)＝1-P(E/S)第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202321不确定性的传递计算（一）

主观Bayes方法推理的任务就是根据证据E的概率P(E)及LS、LN，把H的先验概率P(H)或先验几率O(H)更新为后验概率或后验几率。证据肯定存在的情况：O(H/E)=LS×O(H)证据肯定不存在的情况：O(H/~E)=LN×O(H)证据既非为真又非为假的情况：需要使用杜达等人给出的公式:P(H/S)＝P(H/E)×P(E/S)+P(H/~E)×P(~E/S)分三种情况讨论：第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202322不确定性的传递计算（二）P(E/S)=1时，P(~E/S)=0，因此有：

P(H/S)=P(H/E)这时就是证据肯定存在的情况P(E/S)=0时，P(~E/S)=1，因此有：

P(H/S)=P(H/~E)

这时就是证据肯定不存在的情况P(E/S)=P(E)时，因此有：

P(H/S)=P(H)这时S与E无关P(E/S)=其他值时，根据前面几个值插值得到：第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法1/14/202323不确定性的传递计算（三）P(E/S)=其他值时，根据前面几个值插值得到：该插值公式称为EH公式。第五章不确定性推理5.2主观Bayes方法P(H/E)P(H)P(E)P(E/S)01P(H/~E)P(H/S)如果不确定性是用可信度C(E/S)给出，即可得到P(H/S)，这种公式称为CP公式1/14/202324确定性理论确定性理论由美国斯坦福大学E.H.Shortliffe等人在1975年提出的一种不确定性推理模型1976年首次在血液病诊断专家系统MYCIN中得到了成功应用。在确定性理论中，不确定性是用可信度来表示的，因此人们也称其为可信度方法。许多成功的专家系统都是基于这一方法建立起来的。基于可信度表示的不确定性推理的基本方法称为C-F模型第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202325可信度人们在长期的实践活动中，对客观世界的认识积累了大量的经验，当面临一个情况时，往往可用这些经验对问题的真、假或为真的程度作出判断。例如，小李今日上班迟到了，理由是“路上自行车出了毛病”，有两种情况：一是小李的自行车确实出了毛病，从而耽误了上班时间；一是小李的自行车没有出问题，只是想以此来搪塞。对于听话的人来说，可以绝对相信，也可以完全不信，或者只有某种程度的相信，其依据是以往对小李的的认识。这种根据经验对一个事物或现象为真的相信程度称为可信度。可信度带有较大的主观件和经验性，其准确性难以把握。第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202326C-F模型

C-F模型是基于可信度表示的不确定性推理的基本方法，其它可信度方法都是在此基础上发展起来。知识是用产生式规则表示的，其一般形式为：IFETHENHCF(H,E)

CF(H,E)是该条知识的可信度，称为可信度因子或规则强度-1≤CF(H,E)≤1它指出当前提条件E为真时，它对结论H为真的支持程度，CF(H,E)的值越大，就越支持结论H为真。第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202327规则强度CF(H,E)的计算

CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)MB称为信任增长度MD称为不信任增长度第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202328MB(H,E)和MD(H,E)的意义

MB(H,E)＞0时，有P(H/E)＞P(H)这说明由于E所对应的证据出现增加了对H的信任程度。MD(H，E)＞0时，有P(H/E)＜P(H)这说明由于E所对应的证据出现增加了对H的不信任程度。显然，一个证据不可能既增加对H的信任程度，又同时增加对H的不信任程度，因此MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的。即MB(H,E)＞0时，MD(H,E)=0MD(H,E)＞0时，MB(H,E)=0第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202329证据不确定性的表示证据的不确定性也是用可信度因子表示。证据E的可信度表示为CF(E)同样有：-1≤CF(E)≤1

特殊值：CF(E)=1， 前提肯定真CF(E)=-1， 前提肯定假CF(E)=0， 对前提一无所知CF(E)＞0，表示E以CF(E)程度为真CF(E)＜0，表示E以CF(E)程度为假第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202330组合证据不确定性的计算组合证据是多个单一证据的合取时：CF(E1∧…∧En

)=min{CF(E1),…,CF(En

)}组合证据是多个单一证据的析取时：CF(E1∨…∨En

)=max{CF(E1

),…,CF(En

)}组合证据是证据取非时：

CF(～E

)=～CF(E

)第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202331不确定性的传递算法

C-F模型中的不确定性推理是从不确定的初始证据出发，通过运用相关的不确定性知识，最终推出结论并求出结论的可信度值：CF(H

)=CF(H，E

)×max{0,CF(E)}若CF(E)＜0，即相应证据以某种程度为假，则CF(H)=0这说明在该模型中没有考虑证据为假时对结论H所产生的影响。当证据为真(即CF(E)=1)时，CF(H

)=CF(H，E

)这说明知识中的规则强度CF(H,E)实际上就是在前提条件对应的证据为真时结论H的可信度。第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202332结论不确定性的合成算法若由多条不同知识推出了相同的结论，但可信度不同，则可用合成算法求出综合可信度。多条知识的综合可通过两两的合成实现当两条规则推出同一结论H时，CF(H)的计算：CF(H)=CF1(H)+CF2(H)–

CF1(H)

CF2(H)

当CF1(H)≥0，CF2(H)≥0CF(H)=CF1(H)+CF2(H)+

CF1(H)

CF2(H)

当CF1(H)＜0，CF2(H)＜0CF(H)=(CF1(H)+CF2(H))÷(1-min{│CF1(H)│,│CF2(H)│})

当CF1(H)、CF2(H)反号第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202333可信度方法举例(一)R:IF(E1orE2)andE3THENH(0.8)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6、CF(E3)=0.7

解：

设E=(E1orE2)andE3 CF(E1orE2)=max(CF(E1),CF2(E2))=0.6CF(E)=min(CF(E1orE2)，CF(E3))=0.6CF(H)=CF(E)·CF(H,E)=0.6×0.8=0.48第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202334可信度方法举例(二)R1:IFE1THENH(0.8)R2:IFE2THENH(0.7)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6

解：

CF1(H)=CF(E1)·CF(H，E1)=0.4×0.8=0.32CF2(H)=CF(E2)·CF(H，E2)=0.6×0.7=0.42CF(H)=0.32+0.42-0.32×0.42=0.6第五章不确定性推理5.3确定性理论1/14/202335加权模糊推理加权模糊推理是基于加权模糊逻辑的一种推理方法。在许多实际问题中，一条推理规则的前提中的各子前提的“重要性”或所包含的信息量等都可能是各不相同的。例如，模糊规则“如果天空中有浓积雨云，有风有打雷闪电，则多半天要下雨”中，显然，“天空中有浓积雨云”是最重要的，而“有风”则不太重要表达这类现实知识，采用加权模糊逻辑公式是十分合适的第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202336加权模糊推理规则的形式

w1*P1，w2*P2，…，wn*Pn→Q，CF，τ其中Q与Pj（j=1，…，n），为模糊逻辑谓词，取真值于[0，1]之间，wj满足：wj≥0，（j=1，2，…n），∑wj＝1，wj为子前提Pj的权系数。CF：0＜CF≤1为规则的置信度，τ：0＜τ≤1为该规则的可应用阈限。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202337加权模糊推理过程

计算前提的真值t：t=∑wj*T(Pj)，T（Pj）为Pj的真值

若t大于等于τ时，应用该规则推出结论Q，其真值为

T（Q）=t∧CF。∧为某种“交型运算”，例如取极小和乘法等

总有：结论的真值≤前提的真值。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202338加权模糊推理的多规则处理（一）当同时有多条规则可应用，且都推出同一个结论时，要有一个结论的合并过程按每条规则分别独立进行推理可推出Q有n个真值有几种确定Q的最终真值的办法可供选择：求极大值法:

T（Q）=∨Ti（Q）

i=1，2，…，n严格加权求和法:

T（Q）=∑CFi*Ti（Q）/∑CFi

加权求和法:

T（Q）=∑CFi*ti/∑CFi有限和法:

T（Q）=min(∑Ti（Q），1)第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202339加权模糊推理的多规则处理（二）5.递推计算法:

设T1=t1*CF1对任意的k＞1,Tk=Tk–1+（1－Tk–1）*CFk*tk

最后:

T（Q）=Tn这个公式保证了每增加一个推出Q的规则时，Q的真值T（Q）总是真正增加了一点，且先推出Q的规则所起的作用总是比后来的大。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202340加权模糊推理的另一种形式（一）在具体推理中，可能给出一个假设性结论，需推断出这个假设是否为真，即要推理的问题是“谓词Qx是否τx真”，即是否T（Qx）≥τx推理过程如下:

把已知事实及其真值都放进一个称为“黑板”的中间数据库中将Qx与知识库中的各条推理规则的结论进行模糊匹配，找出匹配度大于m的规则，例如有w1﹡P1，w2﹡P2，…，wn﹡Pn→Q，CF，τM（Qx，Q）＞m其中M（Qx，Q）为Qx与Q的匹配度。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202341加权模糊推理的另一种形式（二）3.检查Pi（i=1，…，n）是否已在“黑板”中，若在则取出其真值T（Pi），若不在则令T（Pi）=0.5(表示真假不知)，计算推理规则前提的真值t:t=∑wj*T(Pj)4.若t≥τ时，则算出：T（Q）=CF∧t，否则，转去步骤6进一步求该规则的各子前提的真值

第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202342加权模糊推理的另一种形式（三）5.若

T（Qx）=M（Qx，Q）﹡T（Q）=M（Qx，Q）﹡（t∧CF）≥τx

则给该问题以模糊的肯定回答，即“Qx为τx真”。否则转去步骤6进一步求该规则的各子前提的真值

6.把规则中那些尚不知道其真值的子前提Pi当作子问题，返回步骤2开始去求解Pi的真值。求得各子前提Pi的真值T（Pi），并把它们放进“黑板”之后，再回到步骤3去继续计算整个规则的真值t7.如果在上述的迭代过程中总不能推出T（Qx）≥τx，则给出回答“一般Qx不能τx真。”

第五章不确定性推理5.4加权模糊推理1/14/202343模糊计算推理模糊计算推理是基于模糊计算逻辑的一种推理方法除了“与”

、“或”和“非”运算之外增加了“有限和”（㈩）和乘法（&）

设P和Q为模糊计算逻辑中的合式公式，则P㈩Q和P&Q也都是合式公式

T（P㈩Q）=min{T（P）+T（Q），1}T（P&Q）=T（P）﹡T（Q）从而，加权模糊逻辑公式：w1*P1，…，wn*Pn

等价于：

（w1&P1）㈩（w2&P2）㈩…㈩（wn&Pn）

第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202344必要条件的表示若有一些子前提是必要条件就可用“与”运算来表示例如，（（w1&P1）㈩（w2&P2））∧P3→Q，CF，τ

P3就是推出Q的必要条件，即若T（P3）＜τ，则该规则就不能被应用。但P1和P2则不一定是必要的，

只要w1﹡T（P1）

+w2﹡T（P2）≥τ该规则可被应用第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202345n条规则的合成计算“或”运算可用来把n条规则合成一条，例如，规则组：P1→Q，CF1，τ1P2→Q，CF2，τ2

……Pn→Q，CFn，τn可合并成一条规则P1∨P2

∨…∨Pn

→Q，CF

，τ其中，CF=min{CF1,…,CFn}，τ=max{τ1,…,τn}合并以后，关于置信度和阈限的要求更严格了，合并前后并非完全等价的。

第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202346模糊计算推理过程（一）模糊计算推理实质是根据一组模糊计算逻辑的蕴含式和一些已知事实计算一些模糊计算逻辑公式的真值的过程设有一组蕴含式（即知识库中的规则）：F1（P1，P2，…，Pn）→P1，CF1，τ1F2（P1，P2，…，Pn）→P2，CF2，τ2

……Fn（P1，P2，…，Pn）→Pn，CFn，τn一组已知事实（即黑板上的初始知识）：

Q1，Q2，…，Qm

P1…Pn为模糊谓词。Q1…Qm为P1…Pn中某些谓词的实例第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202347模糊计算推理过程（二）若问“Q是否τ真？”，模糊计算推理过程如下：1．把已知事实Q1，Q2，…，Qm及其真值一起记入“黑板”。2．将“黑板”中的数据与规则的结论进行模糊匹配。3．计算匹配的各规则的前提的真值：ti=T（Fi（P1，P2，…，Pn））4．对ti≥τi的规则计算结论的真值：T(Pi)=ti∧CFi若黑板中无Pi，或其真值小于现今的T（Pi），则将Pi连同T（Pi）一起记入“黑板”。5．Q是否能与“黑板”中的命题模糊匹配，若能且其真值大于等于τ，则有“Q为τ真”。否则，转步骤2。第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202348模糊计算推理过程（三）每进行一次迭代，“黑板”里的知识将随着更新一次，而且越来越丰富。模糊计算推理很类似人类对问题的认识不断深化的过程，而且把推理过程完全变成了函数的计算。因而很适合在计算机上实现。当Q是一个复合命题的时候，可先逐个计算其子式的真值，然后计算Q的真值，若T（Q）≥τ，则给出“Q为τ真”的结论，否则如同上述转去步骤2开始进行下一轮迭代计算。第五章不确定性推理5.5模糊计算推理1/14/202349基于模糊变换的推理(一)

基于模糊变换的模糊推理方法把模糊推理过程看成了一种模糊变换。做不同的模糊变换，则就形成了不同的模糊推理方法。设U={u1…um}，V={v1…vn}是两个有限论域U到V上的一个模糊关系R定义为U×V上的一个模糊子集隶属函数为：R={μ11/(u1,v1)+μ12/(u1,v2)+…+μ1n/(u1,vn)+μ21/(u2,v1)+μ22/(u2,v2)+…+μ2n/(u2,vn)+…+μm1/(um,v1)+μm2/(um,v2)+…+μmn/(um,vn)}第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202350基于模糊变换的推理(二)

隶属函数的矩阵形式：其中μij表示元组（ui，vj）隶属于该模糊关系的隶属度，满足0≤μij≤1。第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202351基于模糊变换的推理(三)

模糊变换：设A={a1/u1，a2/u2，…，am/um}是论域U上的一个模糊子集。可简单表示为：A=（a1，a2，…，am）则向量：B=AoRU×V(B={b1，b2，…，bn})是A经模糊变换RU×V所得的结果，它是V上的模糊子集∨与∧分别表示某种“并型运算”和“交型运算”第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202352基于模糊变换的推理(四)

例如下列两种∨与∧的定义是经常使用的：（1）取∨为加法运算，∧为乘法运算，则该变换公式成为：（2）取∨为求极大运算，∧为求极小运算，则该变换公式成为：第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202353基于模糊变换的推理(五)

模糊变换可以有各种具体的解释，不同的解释形成了不同的推理模型，也就是不同的推理方法。我们讨论二种基于模糊变换的模糊推理方法。综合评判推理变换模糊推理第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202354综合评判推理（一）

综合评判就是对某个问题，在有n种不同意见的时候，用某种方法将它们综合成一种统一的意见的过程。采用模糊变换的方法来进行综合评判就是基于模糊变换的综合评判推理。用医生会诊的例子来说明基于模糊变换的综合评判推理。设U={医生1，医生2，…医生m}V={疾病1，疾病2，…疾病n}医生们要对一种疑难病进行会诊，医生们对该病的诊断都用定义在论域V上的隶属函数表示第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202355综合评判推理（二）

设医生i对该病的诊断是：{μi1/疾病1，μi2/疾病2，…，μin/疾病n}其中，0≤μij≤1，表示医生i认为该病为疾病j的可能性是μij，简记之为一个向量（μi1，μi2，…，μin）。于是m个医生的诊断构成一个矩阵RU×V：

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202356综合评判推理（三）

m个医生在医术上的权威性不同，因此对他们的诊断的可信程度也不同。假如用一个U上的隶属函数：A={a1/医生1，a2/医生2，…am/医生m}表示医生诊断的可信度（或医术的权系数）。就可用下式来计算会诊的综合结果：B=AoRU×V

B={b1，b2，…bn}，这个统一诊断说明“这种疑难病是疾病j的可能性是bj”。

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202357变换模糊推理

如果把模糊变换矩阵RU×V取为从U到V的某个模糊蕴含关系的隶属度矩阵。即解释成ui→vj的可信度或真度为μij，i=1，…，m，j=1，…，n。则模糊变换就形成一个变换模糊推理。论域U上的模糊事件（现象、属性或知识等）用U上的模糊子集来表示：A={a1/u1，a2/u2，…am/um}由模糊事件A通过RU×V蕴含（或推出）的事件：B={b1/v1，b2/v2，…bn/vn}由变换式计算：B=AoRU×V

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202358变换模糊推理举例（一）例如U={病症1，病症2，…

病症m}V={疾病1，疾病2，…

疾病n}为两个论域。设由病症i推断为疾病j的可能性为μij（i=1，…，n），于是有一个疾病诊断矩阵RU×V：

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202359变换模糊推理举例（二）一个病人经检查有各种病症。病症的严重程度用U上的模糊子集A={a1，a2，…am}表示。按B=AoRU×V可推出该病人得疾病的可能性。疾病的可能性用一个V上的模糊子集表示：B={b1/疾病1，b2/疾病2，…bn/疾病n}或简写为B={b1，b2，…bn}

说明病人有疾病j的可能性为bj。

这种推理方法的关键在于如何确定推理矩阵RA×B。

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理1/14/202360定性代数推理（一）广义而言在实数域上进行代数运算和解方程的过程都可认为是一个推理，特别是解一个代数方程所做的工作更是一种明显的推理过程。因为它涉及数量关系的推理，故称“定量代数推理”或简称“代数推理”或“代数计算”。但在许多场合，人们往往并不十分关心精确的数量间的精确关系，而只要定性地知道数量的范围或大致趋势，以及简单的大小关系等等。这时若仍用传统的代数方法来回答一些定性的问题就显得很累赘。为此，近年来一些学者提出了所谓“定性代理推理”

第五章不确定性推理5.7定性代数推理1/14/202361定性代数推理（二）假设R为实数域，S′={－，0，+，？}为实数的符号集加”？”后得到的集合，关系[]是R到S′的一个映射：

称{R，+，×}为实代数，{S′，㈩，⊙}为符号代数。称Q={R∪S′，+，×，㈩，⊙，[]}为定性代数系统

第五章不确定性推理5.7定性代数推理1/14/202362定性代数推理（三）利用定性代数系统进行推理的大致步骤为：1．对含有实数的等式在实代数{R，+，×}中进行化简。2．将化简后的式子投影到符号代数{S′，㈩，⊙}中。3．在{S′，㈩，⊙}中对式子进行运算，求解。Q是一个可以把定量推理（计算）与定性推理（计算）结合起来进行的工具：在[]之内可进行实数域上的运算与推理；在[]之外（即经[]运算映象成符号代数之后）可进行定性计算与推理。第五章不确定性推理5.7定性代数推理1/14/202363默认推理默认推理的推理规则可表示为：＜必要条件＞，M＜默认条件1＞∧＜默认条件2＞∧…∧＜默认条件n＞—＞＜结论＞如果＜必要条件＞被满足，又无否证＜默认条件i＞（i=1，…，n），则可推出＜结论＞成立。这种推理在日常生活中是常用的。人们在长期的生活中积累了很多“经验”。因此，常可以按“经验”办事，而无需每次逐个验证一些默认成立的条件。

第五章不确定性推理5.8默认推理1/14/202364默认推理举例例如，一个人发现自己的收音机不响了，往往马上就做出要更换电池的决定这里他其实应用了一条默认推理规则：

“收音机不响了，M电池用尽了→换电池”他在做出结论“换电池”之前并没有查电池是否有电，而默认了电池用完的假设，从而直接做出了“换电池”的结论。如果当换了新电池收音机仍然不响，这时他必须撤消“换电池”的结论，而另找收音机不响的原因。第五章不确定性推理5.8默认推理1/14/202365假设验证式推理假设验证式推理首先提出假设，然后推出一个结论，把结论与实际情况相比较，如果相符合，则是最后结论；否则，修改假设，再次进行推理。这种推理方法是一个循环往复的过程，一直要进行到与实际情况足够符合为止

假设验证式推理是一种在科学研究中，探索新知识时经常采用的推理方式它在知识不完全或者客观事物本身不完全，或者人们尚未认识到时进行推理可有很好的应用效果第五章不确定性推理5.9假设验证式推理1/14/202366假设验证式推理过程图已有知识推理机构修正假设提出假设修正后的假设结论与实际情况比较符合最后结论第五章不确定性推理5.9假设验证式推理1/14/202367基于Fuzzy集的一般模糊推理

模糊集合的产生:集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法。传统集合论要求其分类必须遵从形式逻辑的排中律，论域中的任一元素要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一，且仅居其一。这样就只能描述外延分明的“分明概念”，只能表现“非此即彼”，而对于外延不分明的“模糊概念”则不能反映。为克服这一障碍，L.A.Zadeh教授提出了“模糊集合”的概念。其基本思想是把经典集合中的绝对隶属关系模糊化。从特征函数方面来讲，就是元素u对集合A的隶属程度不再局限于0或1，而是可以取从0到1的任何一个数值，这个数值反映了元素u隶属于集合A的程度。第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202368Fuzzy集举例

例如表示“胖”、“老”的模糊程度。假设体重的范围在40公斤到100公斤，则可用0到1之间的数来表示某人身体“胖”的程度。图1给出了体重x公斤的人“胖”的程度曲线。如图所示，形容词“胖”在横坐标上被体重定量的地表示出来，而纵坐标则表示身体“胖”的模糊程度。图2表示人的年老程度，年龄的范围被限制在0到100岁之间。利用这种方法，就将不确定的模糊的信息定量地表示出来了，而程度曲线则定义了一个给定区域上的模糊子集。

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202369“胖”、“老”的模糊程度图第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202370模糊集合的定义论域U上的一个模糊子集A是指对任何u∈U都有一个数μA(u)∈[0，1]与之对应，并且称为u属于模糊子集A的隶属程度。映射μA:U→[0，1]称为A的隶属函数，在不致误解情况下，对模糊子集A和它的隶属函数μA(u)将不加区分，同时模糊子集也常简称为模糊集。第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202371模糊集合的表示当U是连续的时候,模糊集A可以表示成：当U为离散的时候,模糊集A可以表示成：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202372模糊集合的运算⑴相等A=B←→μA(x)=μB(x),x∈U ⑵包含AB←→μA(x)≤μB(x),x∈U ⑶并集A∪B←→μA∪B(x)=μA(x)∨μB(x)⑷交集A∩B←→μA∩B(x)=μA(x)∧μB(x)⑸补集~A←→μ~A(x)=1-μB(x)⑹代数和 ⑺代数积 ⑻有界和 ⑼有界积第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202373模糊集合的性质⑴交换率：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A⑵结合率：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)⑶分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)⑷吸收率：A∪(A∩B)=A，A∪(B∩C)=⑸幂等率：A∪A＝A，A∩B＝A⑹同一率：A∪U＝U，A∩U＝AA∪φ＝A，A∩φ＝φ⑺复原律（二重否定律）~(~A)=A⑻对偶律第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202374模糊集合的说明对于分明子集成立的排中律和矛盾律，对模糊子集却不成立(A∪(~A))≠U，A∩(~A)≠φ论域U和空子集的隶属函数分别定义为:μU(x)=1，μφ(x)=0

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202375模糊集合运算举例例如，在从1到10的整数范围内，“大数”和“中数”的模糊集分别为：“大数”=0.2/5+0.4/6+0.7/7+0.9/8+1/9+1/10“中数”=0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7则“大数”和“中数”的并集为：“大数”∪“中数”=0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7+0.9/8+1/9+1/10第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202376模糊关系事物之间的关系通常是通过分明子集来表示，如“x和y相等”或“x比y大”。但我们还会常常遇到另外一种不完全特定的关系，如“u和v大致相等”，“u比v大得多”。利用模糊集的概念来表达这种不完全特定关系的就是模糊关系。定义:集合U和V之间的模糊关系R是指定义在直积U×V上的模糊子集，其隶属函数如下:μA:U×V→[0,1]当U和V相同时，R称为U上的模糊关系。第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202377模糊关系的表示由于模糊关系R也是模糊集，可用其隶属函数表示如下：当U和V均为有限集时，U×V上的模糊关系R还可由矩阵来表示：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202378模糊关系举例设R是U={u1,u2,u3}上的模糊关系，R=0.3|(u1,u1)+0.8|(u1,u2)+0.4|(u2,u2)+0.1|(u2,u3)+0.7|(u3,u1)+0.2|(u3,u3)其用模糊矩阵表示为第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202379模糊关系的运算U和V之间的模糊关系是定义在U×V上的模糊子集，因此模糊集之间的运算能够直接应用到模糊关系的运算上模糊关系上除了能执行模糊集上的各种运算外，还定义了专对模糊关系的运算设R、S分别为U×V和V×W上的模糊关系。R和S的合成是指下面定义的在U×W上的模糊关系，记作RoS，“o”为合成运算符其中，∨和∧代表并型运算和交型运算。当U，V，W都是有限集时，合成运算变成了模糊矩阵的“乘法”。

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202380合成运算举例（一）设R和S分别是有限集U×V和V×W上的模糊关系，其中U={u1,u2}，V={v1,v2,v3,v4}，W={w1,w2}，且第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202381合成运算举例（二）若令(∧)为取小运算，(∨)为取大运算，则合成运算为：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202382模糊命题在经典逻辑中，命题被定义为可判定真假的陈述语句，其真值为1或0。模糊命题是经典命题的扩充，所以真值的取值范围扩大了，可取[0，1]区间上的任意值或取任意一个模糊子集模糊命题用来描述模糊概念例如，“室内太热”、“高一点”、都是模糊概念第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202383模糊逻辑模糊逻辑是经典逻辑的扩充，它是逻辑计算的真值取[0，1]区间上的任意值或取任意一个模糊子集的逻辑研究在模糊规则情况下，任何进行推理模糊规则：若“室内太冷”则“把温度调高一点”；若“室内太热”则“把温度调低一点”；

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202384模糊逻辑的类型如果模糊命题及逻辑计算的真值可取[0，1]区间上的任意值，则称这种逻辑为狭义模糊逻辑如果模糊命题及逻辑计算的真值可取[0，1]区间中的任意一个子区间，则称这种逻辑为区间值模糊逻辑如果模糊命题及逻辑计算的真值取“语言真值”，则称这种逻辑为语言值模糊逻辑如果模糊命题及逻辑计算的真值取任意模糊子集，则称这种逻辑为广义模糊逻辑第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202385语言真值

语言真值的集合TV是一个可数集：TV={真，假，不真，不假，很真，很假，极真，极假，相当真，相当假，不太真，不太假，或多或少有点真，或多或少有点假，……}TV中的每个元素都相应地用一个[0，1]上的模糊子集来表示，而且，若“真”这个元素的模糊子集确定后，其它元素的模糊子集一般可由它生成第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202386语言真值间的关系

例如，若μ真(x)表示语言真值“真”的模糊子集，则其它元素可由下面方式生成：………第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202387基于fuzzy集的一般模糊推理

建立在fuzzy集合论之上的推理方法。用fuzzy集合对模糊推理进行统一的描述。它将推理规则的前件和后件的真值以及输入事实的真值都用fuzzy集合表示。最早由Zadeh等人提出。要解决的基本问题是：已知一个模糊蕴涵关系“若A则B”，如何据此从另一个给定的输入事实A*（或B*）推出B*（或A*）呢？第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202388一般模糊推理的最简单模式

规则:IFx is ATHENy is B事实： x is A* 结论：yis B*和规则:IFx is ATHEN y is B事实： yisB*结论：xis A*这里A与A*是论域U上的模糊集，B与B*是论域V上的模糊集，x，y是语言变量。第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202389模糊推理中的合成计算推理方法

模糊规则“IFxisATHENyisB”确定了U与V之间的一个特定模糊关系记这种关系为R(A→B)

这样就可以采用基于模糊关系的合成计算进行推理由于根据模糊规则构造模糊关系的方法不同，又由于所选择的模糊合成运算的方法不同，所以形成了多种不同的合成推理方法

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202390Zadeh的合成推理方法（CRI）

Zadeh提出了两种确定模糊关系R(A→B)的方法一种是用极大极小规则获得的，记为Rm,一种是用算术规则获得的，记为Rc

合成运算“o”用极大极小规则，推理结果如下:

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202391Mamdani的合成推理方法（一）

Mamdani用最小运算规则来确定模糊关系R(A→B)，记为Rc他对合成运算“o”定义了三种算法：可取“∨，∧”；“∨，⊙”和“∨，×”

“⊙”运算定义为：a⊙b=0∨(a+b-1)“×”运算定义为：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202392Mamdani的合成推理方法（二）

若合成运算选择“∨，∧”

推理结果如下：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202393Mizumoto的合成推理方法（一）

Mizumoto等人依据多值逻辑中不同的蕴含关系，提出了一组确定模糊关系R(A→B)的方法：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202394Mizumoto的合成推理方法（二）

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202395Mizumoto的合成推理方法（三）

对于合成运算“o”，他们没有定义新的算法

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202396多重模糊推理（一）

多重模糊推理的模式为：规则1

:IFxisA1THENyisB1规则2

:IFxisA2THENyisB2┇规则n

:IFxisAnTHENyis Bn

事实：x isA*结论：yis B*其中，U和V为两个论域，A1，A2┅An和A*是论域U上的模糊集,B1，B2┅Bn和B*是论域V上的模糊集。

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202397多重模糊推理（二）

对这种多重模糊推理，其推理的思路是把多重模糊推理模式综合成上面讨论的最简单模式，然后按上述方法进行推理；或者把它看成n个最简单模式，分别按上述方法进行推理得到n个推理结果最后再把它们综合成一个最终的推理结果。根据这个思路及不同的综合方法，形成了不同的多重模糊推理方法。下面介绍几种常见的方法。

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202398Zadeh的先聚合后推理方法Zadeh提出的先聚合后推理(FirstAggregateThenInfer,简称FATI)方法：先把n条规则的模糊关系Ri(Ai→Bi)(ｉ=1,…,n)取交，综合为一个总的模糊关系R(A→B),然后进行推理，得出最终结果B*：

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/202399Dubois的先推理后聚合方法Dubois提出的先推理后聚合(FirstInferThenAggregate,简称FITA)方法,先分别以每条规则为大前提，以A*为小前提进行推理，得出中间结果B*i(i=1,…,n),然后将各个B*i取交，综合得出最终结果B*：

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/2023100先取并再合成方法先取并再合成推理方法，先把n条规则的模糊关系Ri(Ai→Bi)(ｉ=1,…,n)取并，综合为一个总的模糊关系R(A→B)，然后以A→B为大前提,以A*为小前提进行推理，得出最终结果B*：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/2023101先合成再取并方法先合成再取并推理方法,先分别以每条规则为大前提，以A*为小前提进行推理，得出中间结果B*i(i=1,…,n),然后将各个B*i取并，综合得出最终结果B*：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/2023102选择性先合成再综和方法选择性先合成再综和方法，与前面几种方法的区别是，它不是使用多规则中的所有规则，而是选择性的使用其中部分的规则。比较A*与Ai间的某种距离d(A,Ai)(i=1,…,m),并确定阈值θ。A*激活所有满足条件d(A,Ak)<θ的规则{Ak→Bk|d(A,Ak)<θ}第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理1/14/2023103多维模糊推理(一)多维模糊推理的模式为：规则:IFx1

isA1

…且xn

isAnTHENyisB事实:x1

isA1*

…且xnisAn*

结论: yisB*其中，Ui（i=1，2，…，n）和V为论域，Ai，Ai*是论域Ui上的模