复数代数形式四则运算及其几何意义-王彦文

3.2.1复数四则运算——的加减运算及其几何意义

（第一课时）青铜峡一中王彦文知识回顾(4)复数的几何意义是什么？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？(1)虚数单位i(2)复数的分类？(3)复数相等的等价条件？认识新知1、复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定。当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。证：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R)则z1+z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，z2+z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然

z1+z2=z2+z1同理可得(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中依然成立。探究一?复数的加法满足交换律，结合律吗？z1+z2=z2+z1(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1∈C，z2∈C，z3∈CyxO设及分别与复数及复数对应，则,∴向量就是与复数对应的向量.复数与复平面内的向量有一一的对应关系。我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？探究二?复数是否有减法？如何理解复数的减法？复数的减法规定是加法的逆运算，即把满足（c+di）+（x+yi）=a+bi

的复数x+yi

叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作（a+bi）－（c+di）请同学们推导复数的减法法则。事实上，由复数相等的定义，有：c+x=a，d+y=b由此，得x=a－

c，y=b－

d所以x+yi=(a－

c)+(b－

d)i即：（a+bi）－（c+di）=(a－c)+(b－d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。两个复数相减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减，即思考?类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义？yxO探究三?设及分别与复数及复数对应，则,∴向量就是与复数对应的向量.1.计算练习：1)(-2+3i)+(5-i)=(-1+5i)-(-4i)=(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(这里a,bR)★练习1,满足条件的复数A.一条直线B.两条直线C.圆D.其它在复平面上对应点的轨迹是()2.复数满足,则的最大值是____;最小值是______.C复数四则运算——复数代数形式的乘除运算性质平面向量复数模大小的比较不能比较大小模可以比较大小几何意义与坐标平面的点一一对应加法运算减法运算不能比较大小模可以比较大小与复平面的点一一对应复数与平面向量的性质类比例2：设z1=x+2i,z2=3-yi(x,y∈R),且z1+z2=5-6i,求z1-z2解：∵z1=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i∴(3+x)+(2-y)i=5-6i∴z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i3+x=5,2-y=-6.∴x=2y=8∴3、计算：（1）(－

3－4i)+(2+i)－(1－5i)=___________

（2）(

3－2i)－(2+i)－(________)=1+6i4、已知x∈R，y为纯虚数，且（2x－1)+i=y－(3－y)i

则x=_______y=_______－2+2i－9i－4i分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：（2x－1)+i=(a－3)i+ai2=－

a+(a－3)i－由复数相等得2x－1=－aa－3=1x=y=4i课堂练习1.(2+4i)+(3-4i)

2.5-(3+2i)

3.(-3-4i)+(2+i)-(1-5i)4.(2-i)-(2+3i)+4i=(2+3)+(4-4)i=5=(5-3)+(0-2)i=2-2i=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i=(2-2+0)+(-1-3+4)i=05.(3+5i)+(3-4i)6.(-3+2i)-(4-5i)7.(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(3+3)+(5-4)i=6+i=(-3-4)+[2-(-5)]i=-7+7i=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i巩固提高

两个复数的和（差）依然是一个复数，它的实部是原来的两个复数实部的和（差），它的虚部是原来的两个复数虚部的和（差），并满足交换律和结合律。1、复数加法：Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di)2、减法：Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di)3、几何意义：复数的加法可以按照向量的加法进行，复数的减法可以按照向量的减法进行。知识回顾1.复数的乘法法则：说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数；

(2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并.(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何z1,z2,z3∈C,有例1.计算(－2－i)(3－2i)(－1+3i)

复数的乘法与多项式的乘法是类似的.

我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算,类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算.

实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.练习:1+i1+i2+i3+…+i2012的值为()(A)1(B)-1(C)0(D)iA

注意a+bi与a-bi两复数的特点.例3.计算(a+bi)(a-bi)思考：在复数集C内，你能将分解因式吗？例2

2、定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数.思考：设z=a+bi(a,b∈R),那么复数z=a+bi的共轭复数记作另外不难证明:

例4

已知复数是的共轭复数，求x的值．

解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得解得所以．

探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算。试探究复数除法的法则。把满足(c+di)(x+yi)

=a+bi

(c+di≠0)

的复数x+yi叫做复数a+bi

除以复数c+di的商,3.复数的除法法则

先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母实数化).即分母实数化

复数代数形式的除法实质：

分母实数化

例5.计算解:先写成分式形式

化简成代数形式就得结果.

然后分母实数化即可运算.(一般分子分母同时乘以分母的共轭复数)解题步骤：(2)D（1）已知求练习（2）已知求（3）（4）设，求证：（1）；（2）

证明：（1）（2）3.互为共轭复数的两个复数之和一定为实数4.互为共轭复数的两个复数之差一定为虚数2.实数与实数相加为实数，

虚数与虚数相加为虚数判断正误：错误的请举出反例1.实数与虚数相加一定为虚数正确错误正确错误①如果n∈N*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i.(事实上可以把它推广到n∈Z.）②设,则有:事实上,与统称为1的立方虚根,而且对于,也有类似于上面的三个等式.③4、一些常用的计算结果2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1,x2,求x14+x24的值.解:注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.3.已知复数是的共轭复数，求x的值．

解：因为的共轭复数是，根据复数相等的定义，可得解得所以